Как найти пересечение промежутков система

Вычисление пересекающихся интервалов в линейных и замкнутых пространствах имен

Здравствуйте! И сразу прошу прощение, за слишком мудрёное название, но оно наиболее полно отражает излагаемый ниже материал.

Я думаю многие из вас сталкивались с необходимостью вычисления пересекающихся интервалов. Но задача с которой я столкнулся на днях — оказалась не столь тривиальной. Но, обо всем по порядку.

Вычисление пересекающихся интервалов в линейном пространстве имен

Если у вас уже есть представление о пересечении интервалов, то пройдите сразу сюда.

Вычисление пересечений временных интервалов (отрезков времени) на прямой линии времени не составляет особого труда. Мы можем условно иметь пять видов временных пересечений.
Обозначим один отрезок времени как » «, а другой «/ /»

1. Смещение вперед по оси времени «/ / «
2. Смещение назад по оси времени » / /»
3. Вхождение » / / «
4. Поглощение » / / «
5. Совпадение «X X»

Таким образом, мы можем выразить каждое конкретное пересечение с помощью знаков <, > и =. А имея в арсенале знаки <= и >= мы можем сократить количество шаблонов для вычисления до четырех (срастив, таким образом, «вхождение» и «совпадение» либо «поглощение» и «совпадение» или даже «смещние» и «совпадение»). Кроме того, либо «вхождение» либо «поглощение»(но не то и другое вместе) можно также упразднить, считая его частным случаем «смещения».
Итак, имея таблицу вида:

Для выборки из таблицы всех пользователей пересекающих заданный интервал (допустим 4-8), используем запрос:

SET @start:=4;
SET @end:=8;
SELECT * FROM `table`
WHERE
(`start` >= @start  AND `start` < @end)  /*смещение вперед*/
OR
(`end` <= @end AND `end` > @start)  /*смещение назад*/
OR
(`start` < @end AND `end` > @start) /*вхождение - на самом деле здесь не обязательно оно обработается одним из предыдущих выражений*/
OR
(`start` >= @start AND `end` <= @end)/*поглощение и совпадение*/

Данный запрос вернет первого, второго и третьего пользователей. Всё довольно просто.

Хм. А что если нужно выбрать непересекающиеся интервалы?
На самом деле всё еще проще: в отличии от пересечения, случаев НЕпересечения всего два:

• Смещение назад » / /»
• Смещение вперед «/ / «

а на непрерывной линии времени нам нужно лишь проверить меньше ли конец одного интервала, чем начало другого.
А занчит SQL запрос сводится к

SET @start:=4;
SET @end:=8;

SELECT * FROM `table`
WHERE
`start` >= @end  OR `end` <= @start  /*оба случая смещения*/

И вот тут мы вспоминаем про отрицания выражений. Если вычислять непересечения намного проще чем пересечения, то почему бы просто не отбросить все непересечения?

WHERE 
NOT ( `start` >=  @end  OR `end` <= @start  )

Раскрываем скобки (спасибо Yggaz ):

WHERE `start` < @end AND `end` > @start

Вуа-ля! Все намного лаконичнее!

Всё это очень прекрасно, и замечательно работает… пока линия времени прямая.

Вычисление пересекающихся интервалов в замкнутых пространствах имен

С вычислениями на линии времени мы разобрались. Так что же такое «замкнутое» пространство имен?

Это такое пространство имен, которое, при исчерпании имён первого порядка, не переходит на новый порядок а возвращается к своему началу.

Линейное пространство имен:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…

Замкнутое пространство имен:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4,…

Предположим, что у нас есть таблица с расписанием графика работы (пусть это будет круглосуточный колл-центр):
*минуты «00» опущены для простоты выражений

Я работаю с 10 до 19 и хочу знать какие именно работники будут пересекать мой график работы.
Делаем выборку, заданной ранее схеме:

SET @start:=10;
SET @end:=19;
SELECT * FROM `table`
WHERE 
NOT ( `start` >=  @end  OR `end` <= @start )

Все отлично! Я получил данные трёх работников, чей интервал пересекается с моим.

Ок, а если я работаю в ночь? Допустим с 20 до 6? То есть начало моего интервала больше его конца. Выборка из таблицы по этим условиям вернет полную ахинею. То есть крах случается, когда мой временной интервал пересекает «нулевую» отметку суток. Но ведь и в базе могут хранится интервалы пересекающие «нулевую» отметку.
С подобной проблемой я столкнулся два дня назад.

Проблема выборки интервалов по линейной методике из таблицы с данными нелинейной структуры была на лицо.
Первое, что мне пришло в голову — это расширить пространство суток до 48 часов, тем самым избавляясь от «нулевой» отметки. Но эта попытка потерпела крах — потому что интервалы между 1 и 3 никак не могли попасть в выборку между 22 и 27(3). Эх! Вот если бы у меня была двадцати-четыричная система счисления, я бы просто убирал знак второго порядка и все дела.

Я предпринял попытку найти решение этой проблемы в интернете. Информации по пересечению интервалов на «линейном» времени было сколько угодно. Но то ли этот вопрос не имел широкого обсуждения, то ли гуру SQL держали решение «для себя» — решения по замкнутой системе нигде небыло.

В общем, поспрашивав на форумах советов от гуру, я получил решение: нужно было разбить пересекающие «ноль» интервалы на две части, тем самым получив два линейных интервала, и сравнивать их оба с интервалами в таблице (которые тоже нужно было разбить на две части, если они пересекают ноль). Решение работало и вполне стабильно, хоть и было громоздким. Однако меня не покидало ощущение, что всё «намного проще».
И вот, выделив пару часов для этого вопроса, я взял тетрадь и карандаш… Привожу то, что у меня получилось:

Суть в том, что сутки — есть замкнутая линия времени — окружность.
А временные интервалы — суть дуги этой окружности.
Таким образом, мы для отрицания непересечений (см. первую часть поста), можем построить пару схем непересечения:

В первом случае мы имеем обычную линейную схему для отрицания непересечений. Во втором одна из дуг пресекает «нулевую» отметку. Есть и третий случай, который можно сразу принять как пересечение ( без отрицаний непересечения ): Оба интервала пересекают «нулевую» отметку, а значит пересекаются по определению. Кроме того, есть еще два случая, когда интервалы (вводимый и взятый из таблицы) «меняются» местами.
Немного наколдовав с базой (где-то даже методом высоконаучного тыка), мне удалось собрать вот такой запрос:

SET @start:= X ;
SET @end:= Y;

SELECT * FROM `lparty_ads`
	WHERE
	((`prime_start` < `prime_end` AND @start < @end) 
		AND  NOT (`prime_end`<= @start  OR  @end <=`prime_start` )
 	OR 
	(( (`prime_start` < `prime_end` AND @start > @end) OR (`prime_start` > `prime_end` AND @start < @end))
		AND NOT 
		( `prime_end` <= @start AND @end <= `prime_start` ))
	OR (`prime_start` > `prime_end` AND @start > @end))

И упрощенный вариант из комментария от kirillzorin:

set @start := X;
set @end := Y;
select * from tab
where greatest(start, @start) <= least(end, @end)
      or ((end > @start or @end > start) and sign(start - end) <> sign(@start - @end))
      or (end < start and @end < @start);

Запрос вполне работоспособен и, что самое забавное, справедлив для любых замкнутых систем счисления — будь то час, сутки, неделя, месяц, год. А еще, этот метод не использует «костылей», вроде дополнительных полей.

Скорее всего, я изобрёл велосипед. Но ввиду того, что сам я не нашел подобной информации, когда она мне понадобилась — предполагаю, что этот метод не слишком широко освещен. На этом моё повествование заканчивается.

Математика

Тестирование онлайн

Пересечение неравенств

Если требуется найти все такие значения переменной x, при которых справедливы одновременно два (или больше) неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Найти пересечение решений.

Обозначение:

Точка «2» является решением, точку «3» исключаем из общего решения.

В ответ записываем числовой промежуток, который «заштрихован» на всех координатных прямых каждого решения. Пересечение штриховки.

Двойное неравенство можно представить в виде системы неравенств

Объединение неравенств

Если требуется найти все такие значения переменной x, при которых справедливо хотя бы одно из двух (или более) неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств. Найти объединение решений.

Обозначение:

Точка «3» не является решением совокупности, точка «6» является, так как является решением первого неравенства.

В ответ записываем числовой промежуток, который «заштрихован» хотя бы на одной из координатных прямых каждого решения. Объединяем штриховки.

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A , множество друзей Майкла — через букву B , а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C :

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A , а множество друзей Майкла через букву B

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A , состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B , состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Пересечением множеств A , B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A , B и C . Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5 . Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5 . Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8] . Найти их пересечение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8] :

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6] , так и второму [4; 8] .

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6] , на нижней — промежуток [4; 8]

Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6] , принадлежат как промежутку [2; 6] , так и промежутку [4; 8] . Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6] . В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7] :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6] , который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1) .

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5) .

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4) . В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5) .

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5) , одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞) .

Решением второго неравенства y является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) .

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C , куда входят все элементы множеств A и B . Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Возьмем ещё один элемент из множества С , например, элемент 2. Что можно про него сказать?

Если 2 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A , и множеству B . Если мы захотим объединить множества A и B , то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:

Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B .

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

Теперь добавим элементы из множества B , которые не принадлежат множеству A . Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6 . Их и добавим во множество C

Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5] . Найти их объединение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5] , который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5] . На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0] , на нижней — промежуток [−3; 5]

Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] . Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5] , то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5] .

Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2 . Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] , то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4 . Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5] . В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2 . Оно принадлежит как промежутку [−7; 0] , так и промежутку [−3; 5] . Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2 ; −1] и [4 ; 7].

Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2 ;−1] и [4 ; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7] . Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:

Получили множество < −2, −1, 4, 5, 6, 7 >. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4 , не вошли в полученное множество

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15] , поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8 . Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x , при которых левая часть не равна правой части.

Решим неравенство 2x ≠ 8 . Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:

Получили равносильное неравенство x ≠ 4 . Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8 , то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8 . Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞) . Напомним, что для слова «или» используется символ ∪

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x , принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).

Неравенства, содержащие знак ≠ , также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак = . Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.

Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8 , как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства = , получим уравнение 2x = 8 . Разделим обе части данного уравнения на 2 , получим x = 4 .

Видим, что при x , равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.

Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞) . Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6] .

Множество значений x , при которых верно хотя бы одно из неравенств, будет принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . Так и записываем:

В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] . Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞) . Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5 . Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6

Пример 2. Решить совокупность неравенств

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Для начала найдём множество решений первого неравенства x . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Пример 3. Решить совокупность неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Множеством решений первого неравенства x является числовой промежуток (−∞; −3) .

Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0] .

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Исходные данные: числовые множества А = < 3 , 5 , 7 , 12 >и В = < 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 >. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А : 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В : 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: < 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 >. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >.
2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент — число 3 : он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5 : оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A : число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = < 5 , 12 >.

Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >; пересечение исходных множеств — А ∩ В = < 5 , 12 >.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С , возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = < 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 >, В = < 2 , 7 , 9 , 21 >и С = < 7 , 9 , 1 , 3 >. Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = < 9 , 21 >, а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = < 9 , 21 >. В итоге: А ∩ В ∩ С = < 9 >.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = < 1 , 2 >, В = < 2 , 3 >, С = < 1 , 3 , 4 , 5 >. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = < 1 , 2 >.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой — 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ < — 5 , 4 >∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) . Т.е. множество всех действительных чисел R = ( — ∞ ; + ∞ ) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом ( — ∞ , — 5 , 4 ] или [ — 5 , 4 , + ∞ ) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: ( — ∞ , — 5 , 4 ] ∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) или ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ [ — 5 , 4 , + ∞ ) . .

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал ( 7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения ( 7 , 13 ) ∪ < 13 >∪ ( 13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество ( 7 , 32 ] можно представить, как ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] или ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32 ), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала ( 7 , 32 ) и множества из одного элемента < 32 >. Таким образом: ( 7 , 32 ] = ( 7 , 32 ) ∪ < 32 >.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами — 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: ( — ∞ , — 6 ) , ( — 6 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 8 , + ∞ ) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

( — ∞ , — 6 ) ∪ < — 6 >∪ ( — 6 , 0 ) ∪ < 0 >∪ ( 0 , 8 ) ∪ < 8 >∪ ( 8 , + ∞ ) .

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Исходные данные: заданы числовые множества А = ( 7 , + ∞ ) и В = [ — 3 , + ∞ ) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами — 3 и 7 .

и

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: ( — ∞ , — 3 ) , < — 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) .

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );

— точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );

— промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: ( — ∞ , — 3 ) , < — 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) . Начнем с множества ( — ∞ , — 3 ) , наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество < — 3 >. Число — 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой — 3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество ( — 3 , 7 ) .

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку — < 7 >. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ — 3 , + ∞ ) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток ( 7 , + ∞ ) .

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = ( 7 , + ∞ ) .

1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества ( — ∞ , — 3 ) , < — 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество ( — ∞ , — 3 ) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество ( — ∞ , — 3 ) не войдет в искомое объединение:

Множество < — 3 >входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B :

Множество ( — 3 , 7 ) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B :

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество ( 7 , + ∞ ) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ — 3 , + ∞ ) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Исходные данные: множества А = ( — ∞ , — 15 ) ∪ < — 5 >∪ [ 0 , 7 ) ∪ < 12 >и В = ( — 20 , — 10 ) ∪ < — 5 >∪ ( 2 , 3 ) ∪ < 17 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Ответ: А ∩ В = ( — 20 , — 15 ) ∪ < — 5 >∪ ( 2 , 3 ) ; А ∪ В = ( — ∞ , — 10 ) ∪ < — 5 >∪ [ 0 , 7 ] ∪ < 12 , 17 >.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Исходные данные: множества А = < — 2 >∪ [ 1 , 5 ] и B = [ — 4 , 3 ] .

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В :

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

( — ∞ , — 4 ) , < — 4 >, ( — 4 , — 2 ) , < — 2 >, ( — 2 , — 1 ) , < 1 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >, ( 3 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , + ∞ ) .

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: < — 2 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >и ( 3 , 5 ) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что < — 2 >является частью множества B , ведь точка с координатой — 2 – внутренняя точка отрезка [ — 4 , 3 ) . Интервал ( 1 , 3 ) и множество < 3 >также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество ( 3 , 5 ) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: < — 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

Ответ: А ∩ В = < — 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Исходные данные: множества А = ( — ∞ , 12 ] , В = ( — 3 , 25 ] , D = ( — ∞ , 25 ) ꓴ < 40 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: ( — ∞ , — 3 ) , < — 3 >, ( — 3 , 12 ) , < 12 >, ( 12 , 25 ) , < 25 >, ( 25 , 40 ) , < 40 >, ( 40 , + ∞ ) .

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал ( — 3 , 12 ) и множество < — 12 >: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] .

Объединение заданных множеств составят множества: ( — ∞ , — 3 ) — элемент множества А ; < — 3 >– элемент множества А ; ( — 3 , 12 ) – элемент множества А ; < 12 >– элемент множества А ; ( 12 , 25 ) – элемент множества В ; < 25 >– элемент множества В и < 40 >– элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Ответ: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Исходные данные: А = [ — 7 , 7 ] ; В = < — 15 >∪ [ — 12 , 0 ) ∪ < 5 >; D = [ — 15 , — 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; Е = ( 0 , 27 ) . Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: ( — ∞ , — 15 ) , < — 15 >, ( — 15 , — 12 ) , < — 12 >, ( — 12 , — 10 ) , < — 10 >, ( — 10 , — 7 ) , < — 7 >, ( — 7 , 0 ) , < 0 >, ( 0 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , 10 ) , < 10 >, ( 10 , 27 ) , < 27 >, ( 27 , + ∞ ) .

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Давайте решим задачу: нужно
заполнить водой пустой бассейн вместимостью 3000 л. Сколько литров воды в час
нужно наливать в бассейн, чтобы через 2 часа он был наполнен более половины и
чтобы через 3 часа бассейн не переполнился?

Решение:

Когда необходимо найти такие значения х,
при которых одновременно верны два неравенства с одной переменной, их записывают
совместно и говорят, что они образуют систему неравенств.

Фигурная скобка показывает, что нужно найти
такие значения х, при которых оба неравенства системы обращаются в
верные числовые неравенства.

Система, которую мы записали для решения
задачи – это пример системы линейных неравенств с одной переменной.

Определение:

Решением системы неравенств с
одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из
неравенств системы.

В виде системы может быть записано и любое
двойное неравенство.

Например

Решить систему неравенств –
значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Рассмотрим несколько примеров решения систем
линейных неравенств с одной переменной.

Пример 1: решим систему
неравенств.

Пример 2: решим систему
неравенств.

Решение:

Пример 3: решим систему
неравенств.

Решение:

Пример 4: решим двойное
неравенство.

Решение:

Запишем алгоритм решения систем линейных
неравенств с одной переменной.

Для того чтобы решить систему неравенств,
надо:

1. Решить каждое из неравенств системы.

2. Изобразить множество решений каждого
неравенства на координатной прямой.

3. Найти пересечение промежутков (если оно
есть) и записать в виде обозначения промежутка или в виде неравенства,
задающего этот промежуток, или сделать вывод об отсутствии решения системы.

Итоги:

Операции над числовыми промежутками.

        Операций над промежутками совсем немного. Всего две. Это пересечение и объединение. При решении серьёзных заданий с неравенствами эти две операции над промежутками необходимо проделывать постоянно. В самых разных сочетаниях. По своей сути это очень простые операции. Но, справедливости ради, эти самые операции являются вторым источником досадных ошибок при решении неравенств после тождественных преобразований. Разберёмся?

        Пересекать и объединять числовые промежутки, проще всего при помощи числовой оси. Начнём с пересечения, оно хоть и проще в визуальном восприятии, но простора для ошибок даёт больше…

Как пересекать промежутки?

        Сама по себе операция пересечения промежутков совсем простая. Тем не менее, именно пересечение промежутков — самая богатая на сюрпризы операция, которая столько людей ушибла! И очень больно ушибла. Но мы-то с вами — люди думающие и осторожные! С сюрпризами разберёмся, да и под ноги смотреть будем.) И не споткнёмся на ровном месте.

        Итак, для начала запоминаем:

        Пересечением двух числовых промежутков называется их общая часть.

        И всё! Смутить могут только слова «общая часть». Всё просто. Общая часть — это те точки (или кусочки оси), которые одновременно входят в каждый из промежутков. Слова «общая часть» и «одновременно» здесь синонимы. Если раз и навсегда разобраться в этих нехитрых словах, то при ответе на любой вопрос о пересечении любых промежутков вы даже не заметите проблем! Намёк понятен?)

        Возможно, вы до сих пор в сомнениях, но картинка с числовой осью, наш главный помощник, всё сразу же прояснит! Это только на конкретных примерах показать можно.

        Начнём с совсем простенького, безо всяких подводных камней в виде выколотых точек. Допустим, нам надо пересечь два промежутка:

        [-2; 6]

        и

        [4; +∞)

        Первым делом рисуем числовую ось, отмечаем все граничные точки правильными кружочками. Они здесь — чёрные:

        Вот так. Следующим шагом подштриховываем оба промежутка на одной оси. Чтобы не запутаться, для отличия пользуемся штриховкой с разных сторон оси в разных направлениях. Не нужно ювелирно штриховать по линеечке, мы не на черчении. Штрихуем грубо, брутально, но — разборчиво. Где-то штриховки будут встречаться одна под другой, образуя «ёлочку», но ничего не смущаемся, это — именно то, что нам и нужно! Получим такую картинку:

        А теперь смотрим и соображаем: какой кусочек числовой оси подштрихован обоими видами штриховки одновременно? Верно! Кусочек между точками 4 и 6. Или — промежуток [4; 6]. Этот промежуток и будет пересечением промежутков [-2; 6] и [4; +∞). И все дела.)

        Математически результат пересечения оформляют вот так:

        [-2; 6] ⋂ [4; +∞) = [4; 6]

        Значок «⋂» означает «пересечение».

        Разбираем следующий пример. Пример совсем безобидный, но ступор у некоторых случается, да…)

        Пересечём, например, промежутки:

        [-2; +∞)

        и

        [4; 6]

        Как видим, граничные точки (те, что будем рисовать на оси) остались прежними — это -2, 4 и 6. Кружочки также не поменялись, так и остались чёрными. Только сами промежутки — другие.

        Рисуем. В этот раз я буду использовать второй способ рисования — дужки. Получим такую картинку:

        И опять соображаем: какой кусок оси содержит точки обоих промежутков одновременно?

        Не догадались? Тогда снова штрихуем промежутки в разных направлениях, прямо под дужками. И смотрим, где штриховки накладываются:

        Ну и как, осенило? Да! Второй промежуток [4; 6] — и есть наше пересечение (т.е. общая часть)! Да, весь целиком. Дело всё в том, что второй промежуток, [4; 6], целиком содержится в первом [-2; +∞). Ничего страшного, так бывает.

        В математической форме:

        [-2; +∞) ⋂ [4; 6] = [4; 6]

        Уловили идею? Ну-ка, быстренько закрепим успех!

        Найдите пересечения следующих числовых промежутков:

        (-∞; -3] ⋂ [-4; +∞) =

        [1; 7] ⋂ [5; 10] =

        [0; 8] ⋂ [1; 4] =

        (-∞; 0] ⋂ [-1; 0] =

        Ответы (в беспорядке):

        [1; 4]

        [-4; -3]

        [-1; 0]

        [5; 7]

        Что, примитив? Ну да, проще некуда. А вот сейчас начинаются первые сюрпризы! Я же обещал…)

        Сюрприз первый — пустое множество

        Попробуем пересечь, скажем, такие два промежутка:

        (-∞; 1] ⋂ [2; +∞)

        Дело нехитрое. Рисуем ось, точки-кружочки, помечаем дужками каждый промежуток, штрихуем, всё чин-чинарём…

        Получаем картинку:

        И? Где здесь общая часть? А нигде! Нету такого кусочка оси, который был бы закрашен разными штриховками одновременно. На нет и суда нет. В таких случаях говорят, что данные промежутки не пересекаются.

        Математически эта фишка записывается вот как:

        (-∞; 1] ⋂ [2; +∞) = Ø

        Этот перечёркнутый кружочек означает «пустое множество». Множество, в котором нет ни одного элемента. Ни одного числа… Очень частое явление. Особенно — при решении систем неравенств.

        Сюрприз второй — изолированная точка

        Всё то же самое, что и в предыдущем примере, только двойку во втором промежутке заменю на единичку. Вот так:

        (-∞; 1] ⋂ [1; +∞)

        Делать нечего, опять рисуем ось. В этот раз рисуем одну единственную точку 1. Закрашенную.

        А здесь какие мысли насчёт пересечения? Да! Единственная общая часть — точка 1. Одна точка. Любая другая точка — правее ли единички, левее ли — попадает лишь в один из пересекаемых промежутков. Либо только в левый, либо только в правый. И только лишь единичка попадает в оба промежутка сразу.

        В таких случаях результат пересечения (одна точка) оформляют так:

        (-∞; 1] ⋂ [1; +∞) = {1}

        Фигурные скобочки в такой записи означают множество. Числовое множество. Единичка внутри фигурных скобок — элемент этого множества. Один-единственный. Или — изолированная точка.

        Не следует думать, что пустое множество и изолированная точка –такая уж экзотика при решении неравенств. Такие сюрпризы попадаются в системах неравенств, в методе интервалов, в нахождении области определения функции, в уравнениях/неравенствах с модулем и прочих серьёзных темах. В соответствующих уроках убедимся.)

        Кто читает вдумчиво, тот заметил, что слово «множество» я употребил в этом уроке уже не один раз. И это неспроста. Дело в том, что числовые промежутки и операции над ними — это знакомство с ещё одним новым разделом математики, помимо неравенств. Раздел называется «Теория множеств» и работает именно с множествами объектов самой разной природы. Числовыми промежутками, в том числе. Но множества — отдельная большая тема. Не в этот раз…

        Полдела сделано. Можно заниматься наскальной живописью. Что-то типа такого:

        Несведущий человек отшатнётся в ужасе. А сведущий сразу твёрдой рукой напишет:

        (-∞; 1] ⋂ [0; 2] = [0; 1].

        Так обычно оформляют пересечение промежутков в большинстве школ. Рисуют ось, штрихуют промежутки, ищут общую часть, да и записывают ответ. Такой способ хорош только в самых простых случаях. Пока точки — чёрные.

        Проблемы начинаются с появлением выколотых точек.

        Как работать с выколотыми точками?

        Как только в игру вступают выколотые (т.е. незакрашенные) точки, вся простота куда-то испаряется напрочь… Особенно, если одна и та же точка в разные промежутки входит по-разному. Где-то она выколота, где-то закрашена… И в каком виде рисовать её на одной оси? Закрашивать её или нет?! Вот и путается народ…

        Более того, обратите внимание! Во всех примерах этого урока мы пересекаем лишь два промежутка. Для простоты и понимания сути. А в более продвинутых заданиях (системы неравенств, нахождение ОДЗ и прочие крутые штучки) приходится пересекать и три, и пять… И все с разными кружочками и скобочками… Как не запутаться?

        Есть, есть один секретный способ не запутаться! Но о нём — в конце урока.

        А пока фиксируем в памяти одну простую вещь:

        Операция пересечения — штука жёсткая. Если точка НЕ входит хотя бы в ОДИН из пересекаемых промежутков, то она автоматически НЕ входит и в окончательный результат пересечения.

        Поясняю. Если какая-то точка хотя бы в одном из промежутков является выколотой, то нас уже не волнует, что там у неё с остальными промежутками (вторым, третьим, пятым…) — входит она в них или нет: в окончательный ответ такая точка УЖЕ не войдёт. Типа, даже если вы положили в борщ картошку, морковку, свёклу, лук, но в конце посолили стиральным порошком, кушать такой борщ вы уже не будете, да…) Уловили?

        Разберём ценные зелёные слова на практике. Был у нас в самом начале урока примерчик:

        [-2; 6] ⋂ [4; +∞)

        А теперь я немного видоизменю в нём один из промежутков. Сделаю во втором промежутке точку 4 выколотой. Т.е. скобочка перед четвёркой станет круглой. Вот такое пересечение теперь рассмотрим:

        [-2; 6] ⋂ (4; +∞)

        Рисуем, штрихуем, получаем картинку:

        Ищем общую часть, записываем ответ:

        [-2; 6] ⋂ (4; +∞) = (4; 6]

        Стоп! Внимание!

        Задаю вам ключевой вопрос: Почему четвёрка не вошла в окончательный ответ (4; 6], а шестёрка — вошла?

        Кто в теме и врубился в слова «общая часть» и «одновременно», тот сразу всё понял. А кто не в теме, то… начинаем рассуждать. Примерно так:

        «Так, берём первый промежуток (-2; 6]. Входит туда четвёрка? Разумеется! Раз уж она строго между -2 и 6. А во второй (4; +∞)? Э-э-э-э… нет! Скобочка там — круглая! Входит ли в таком случае четвёрка одновременно в оба промежутка? Нет! Во второй не вошла. Пересечение — штука жёсткая… Стало быть, и в результат пересечения четвёрка также не входит. Рисуем круглую скобочку: (4; …

        А шестёрка? Тут без вопросов: в первый промежуток число 6 попадает на границу, но в закрашенном виде, а во второй (4; +∞) входит явно. Входит одновременно в оба? Да! Рисуем квадратную скобку: …6].

        Итого: (4; 6].«

        Вот так. Я же говорил, что ключевое слово здесь — одновременно!

        Здесь-то ещё просто. А бывает куда злее! Когда неясно, как даже рисовать картинку-то… Например:

        (-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

        Всё как обычно, рисуем прямую и отмечаем одну единственную граничную точку 1.

        И… что-то не рисуется… В первом промежутке единичка с круглой скобкой, во втором — с квадратной. А ось — одна… Каким именно кружочком — пустым или закрашенным — рисовать единицу на оси? Непонятно…

        Непонятно, если не понимать сути операции пересечения. А если понимать, то проблем — никаких. Наша граничная точка 1 в первый промежуток (-∞; 1) не входит. Выколота. Стало быть, при пересечении нам уже без разницы, закрашена ли единица во втором промежутке [1; +∞): в окончательный ответ она УЖЕ не войдёт!

        Вывод: на оси точка 1 изображается выколотой. Т.е. незакрашенной.

        Вот так:

        Штриховки нигде не накладываются, а единственная разделяющая точка 1 — выколота. Ответ очевиден — пустое множество:

        (-∞; 1) ⋂ [1; +∞) = Ø

        Обычно именно так и поступают со всеми подозрительными точками. Берут конкретную точку, поочерёдно подставляют её в каждый из промежутков, анализируют, входит/не входит, и если хоть куда-то не входит — вычёркивают отовсюду. Так рисуются все белые точки. Потом собирают все точки, которые входят одновременно во все промежутки. И рисуют чёрными… И только потом рисуют окончательную картинку… Кошмар? Согласен, кошмар. Когда ось только одна, а точек разной раскраски — много.

        Поэтому сейчас мы отдохнём от писанины и тягостных раздумий. А вместо этого — порисуем. Рисовать будем много, но зато результат окупится с лихвой. А количество ошибок резко сократится.)

        Обещанный секретный способ!

        Пересекаем промежутки без ошибок! Метод параллельных осей.

        Итак, снова пересекаем те же самые промежутки: [-2; 6] ⋂ (4; +∞).

        Сейчас берём в руки карандаш и рисуем… три параллельные оси! Всё правильно, именно три, я не обсчитался. На первых двух осях отдельно рисуем и штрихуем те промежутки, которые будем пересекать. Т.е. [-2; 6] и (4; +∞). На каждой из осей — свой. Соблюдаем одинаковый масштаб по всем трём осям! Это важно. Зачем нужна третья ось? Сейчас узнаем.) Получим такую картинку:

        А вот теперь — самое интересное! Настал черёд третьей, пустой (пока) оси. Сейчас делаем вот что. Все граничные точки начинаем проецировать на третью ось. Как? Через все граничные точки всех промежутков проводим вертикальные прямые. Прямо насквозь. А на третьей оси — делаем засечки в виде соответствующих точек. Представьте себе, что первые две оси мы просвечиваем рентгеном, а на третьей оси у нас снимок в виде всех «засветившихся» точек.) А это -2, 4 и 6. Других точек нет.

        Представили? Вот так:

        Следующим этапом фиксируем все точки соответствующими кружочками на первых двух осях. Принцип простой. Попала точка в промежуток (заштрихованную область) — значит, чёрная. Не попала — выколотая. Получаем ещё три кружочка — один белый (точка -2 на второй оси) и два чёрных (точка 4 на первой оси и точка 6 на второй). Вот так:

        А нужны они нам — эти кружочки-то?! Ещё как! Самый ответственный, третий этап — рисуем нужные кружочки на третьей оси. Для этого рассуждаем так же, как и при прикидке в уме: если на первых двух осях обе точки чёрные, то и на третьей оси точка также чёрная. Если же хоть одна из двух точек выколота — на третьей оси точка также выколота!

        Картинка станет вот такой:

        Остались пустяки. Четвёртым этапом штрихуем на третьей прямой тот её кусочек, который заштрихован на первых двух прямых одновременно. Вот так:

        Ответ: (4; 6]

        Решаем тот самый злой пример с единичкой и пустым множеством: (-∞; 1) ⋂ [1; +∞)

        Рисуем картинку с тремя осями и сразу видим всю необходимую информацию:

        Безо всяких сомнений ясно, что единичка — выколота, а штриховать на третьей оси и вовсе нечего…

        Ответ: Ø

        Казалось бы, и зачем целый урок разжёвывать очевидные вещи, мог бы и в пару-тройку примеров уложиться. Но… Если бы вы знали, сколько учеников косячит при решении неравенств именно на этом этапе — какие точки включаются в ответ, а какие — нет! И не самых слабых учеников, между прочим.

        Переходим к следующей важной операции — к объединению промежутков. В следующем уроке…