Как найти периметр четырехугольника по векторам

Четырехугольник представляет собой геометрическую фигуру, владеющую четырьмя сторонами и таким же числом углов. Само­стоятельно от типов четырехугольников, для подсчета их периметра существует цельный подход. Но у него есть свои разновидности, которые вытекают из типа четырехугольника.

Вам понадобится

1. Для того, дабы рассчитать периметр четырехугольника ABCD со сторонами AB, BC, CD и DA, необходимо сложить совместно всякую из его его сторон:P = AB+BC+CD+DA, гдеP – периметр четырехугольника.

2. Если дан квадрат со стороной a (у квадрата все стороны равны), то его периметр будет вычислен таким образом:P = 4*a.

3. Если дан прямоугольник либо параллелограмм (у них обоих противолежащие стороны равны), то его площадь будет рассчитываться так:P = 2*(a+b), где a и b – стороны прямоугольника/параллелограмма.

Периметр – это сумма длин сторон какой-нибудь геометрической фигуры. Иными словами, если взять нить и выложить с ее поддержкой на столе, скажем, квадрат, а потом измерить длину этой нити, то полученная цифра и будет периметром данного квадрата. Все знают, что такое периметр, но не весь может сразу сообразить, как его рассчитать.Для измерения периметра различных фигур существуют разные методы.

1. Квадрат. Общеизвестно, что у квадрата есть 4 стороны и они равны. Следственно формула для вычисления его периметра выглядит так:P=4а,где а – это длина одной стороны данной фигуры.Проще говоря, измерьте одну из сторон квадрата и умножьте эту цифру на число сторон, то есть на 4. В нашем случае периметр равен 16 см (4*4).

2. Прямоугольник и ромб. У этих 2-х фигур только параллельные друг другу стороны равны, соответственно периметр определяется дальнейшим образом:Р=2(а+b),где а и b – соприкасающиеся стороны. Таким образом, на нашем примере периметр прямоугольника равен 24 см (2*(8+4)).

3. Треугольник. От того что треугольники бывают абсолютно различными – равнобедренными, неправильными, с прямыми углами, то исключительным правильным методом определить периметр такой фигуры является формула:Р=a+b+c.То есть для вычисления периметра треугольника примитивно измерьте длины всех 3 сторон и сложите полученные цифры. В нашем случае периметр треугольника равен 10,7 см (2+5+3,7).

4. Круг. Периметр круга называют длиной окружности, которая вычисляется по специальной формуле:Р=d*3,14,где d – это диаметр окружности, а 3,14 – это число «пи», которое намеренно выведено учеными для определения периметра данной геометрической фигуры. Наш круг (см.рисунок) имеет в диаметре 3 см, то есть периметр окружности равен 9,42см (3*3,14).

Периметром в всеобщем случае называют длину линии, которая ограничивает замкнутую фигуру. Для многоугольников периметром является сумма всех длин сторон. Эту величину дозволено измерить, а для многих фигур и примитивно рассчитать, если знамениты длины соответствующих элементов.

Вам понадобится

1. Дабы измерить периметр произвольного многоугольника, измерьте при помощи линейки либо иным измерительным прибором все его стороны, а после этого обнаружьте их сумму. Если дан четырехугольник со сторонами 5, 3, 7 и 4 см, которые измерены линейкой, обнаружьте периметр, сложив их совместно Р=5+3+7+4=19 см.

2. Если же фигура произвольная и включает в себя не только прямые линии, то измерьте ее периметр обыкновенной веревкой либо ниткой. Для этого расположите ее так, дабы она верно повторяла все линии, ограничивающие фигуру, и сделайте на ней отметку, если дозволено, легко обрежьте ее дабы избежать путаницы. После этого при помощи рулетки либо линейки, измерьте длину нитки, она и будет равна периметру данной фигуры. Неукоснительно следите за тем, дабы нить максимально верно повторяла линию для большей точности итога.

3. Периметр трудной геометрической фигуры измеряйте роликовым дальномером (курвиметром). Для этого не линии намечается точка, в которую устанавливается ролик дальномера и прокатывается по ней, до возвращения в начальную точку. Дистанция, измеренная роликовым дальномером, и будет равна периметру фигуры.

4. Периметр некоторых геометрических фигур вычисляйте. Скажем, дабы обнаружить периметр всякого верного многоугольника (выпуклого многоугольника, стороны которого равны), длину стороны умножьте на число углов либо сторон (они равны). Дабы обнаружить периметр положительного треугольника со стороной 4 см умножьте это число на 3 (Р=4?3=12 см).

5. Дабы обнаружить периметр произвольного треугольника, сложите длины всех его сторон. Если не даны все стороны, а есть углы между ними, обнаружьте их по теореме синуса либо косинуса. Если знамениты две стороны прямоугольного треугольника, третью обнаружьте по теореме Пифагора и обнаружьте их сумму. Скажем, если вестимо, что катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см, то гипотенуза будет равна ?(3?+4?)=5 см. Тогда периметр Р=3+4+5=12 см.

6. Дабы обнаружить периметр круга, обнаружьте длину окружности, которая его ограничивает. Для этого ее радиус r умножьте на число ??3,14 и число 2 (P=L=2???r). Если знаменит диаметр, рассматривайте, что он равен двум радиусам.

Для решения этой задачи способами векторной алгебры, вам нужно знать следующие представления: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить качество суммы внутренних углов четырехугольника.

Вам понадобится

1. Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной всецело, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Расположение вектора огромнее ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, владеющие идентичными длинами и одним направлением. Следственно при применении координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (предисловие располагается в начале координат).

2. По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов именуется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец в конце второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это дозволено продолжать и дальше, строя цепочку подобно расположенных векторов. Изобразите данный четырехугольник ABCD векторами a, b, c и d в соответствии рис. 1. Видимо, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.

3. Скалярное произведение в данном случае комфортнее каждого определить на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Тут ф1 – угол между векторами a и d. Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими выражением: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

4. Основные представления векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой задачи довольно задание 3 векторов, расположенных, возможен, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Дозволено финально сразу задать координаты точек A, B, C, D, но данный метод является избыточным (4 параметра взамен 3-х).

5. Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Обнаружить углы между его сторонами. Решение. В связи с высказанным выше, 4-й вектор (для AD) d(dx,dy)=a+ b+c={ax+bx +cx, ay+by+cy}={1,3}. Следуя методике вычисления угла между векторами аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1. В соответствии с примечанием 2 – ф4=2п- ф1 – ф2- ф3=п/4.

Видео по теме

Обратите внимание!
Примечание 1. В определении скалярного произведения применяется угол между векторами. Тут, скажем, ф2 – это угол между АВ и ВС, а между a и b данный угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Подобно для ф3.Примечание 2. Знаменито, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Следственно ф4=2п- ф1 – ф2- ф3.

Любая выпуклая и плоская геометрическая фигура имеет ограничивающую ее внутреннее пространство линию – периметр. У многоугольников он состоит из отдельных отрезков (сторон), сумма длин которых определяет протяженность периметра. Участок плоскости, ограниченный этим периметром, тоже может быть выражен через длины сторон и углы в вершинах фигуры. Ниже приведены соответствующие формулы для одного из видов многоугольников – параллелограмма.

1. Если в условиях задачи даны длины 2-х смежных сторон параллелограмма (a и b) и величина угла между ними (?), то этого будет довольно для вычисления обоих параметров. Для расчета периметра (P) четырехугольника сложите длины сторон и вдвое увеличьте полученное значение: P = 2*(a+b). Вычислять площадь (S) фигуры придется с подмогой тригонометрической функции – синуса. Перемножьте длины сторон, а итог умножьте на синус знаменитого угла: S = a*b*sin(?).

2. Если знаменита длина лишь одной из сторон (a) параллелограмма, но есть данные о высоте (h) и величине угла (?) в всякий из вершин многоугольника, то это дозволит обнаружить и периметр (P) и площадь (S). Сумма всех углов в любом четырехугольнике равна 360°, а в параллелограмме те из них, что лежат в противоположных вершинах, идентичны. Следственно для нахождения величины оставшегося незнакомым угла отнимите от 180° величину вестимого. Позже этого разглядите треугольник, составленный из высоты и лежащего наоборот него угла, величины которых знамениты, а также неведомой пока стороны. Примените к нему теорему синусов, и узнаете, что длина стороны будет равна отношению высоты к синусу угла, лежащего наоборот нее: h/sin(?).

3. Позже проведения заблаговременных расчетов предыдущего шага составьте необходимые формулы. Подставьте полученное выражение в формулу нахождения периметра из первого шага и получите такое равенство: P = 2*(a+h/sin(?)). В том случае, если высота соединяет две противоположные стороны параллелограмма, длина которых дана в начальных условиях, для нахождения площади примитивно перемножьте эти два значения: S=a*h. Если же это условие не соблюдено, то подставьте в формулу выражение для иной стороны, полученное в предыдущем шаге: S=a*h/sin(?).

Видео по теме

Среди основных задач аналитической геометрии на первом месте стоит представление геометрических фигур неравенством, уравнением либо системой тех либо других. Это допустимо вследствие использованию координат. Бывалый математик, только взглянув на уравнение, без труда скажет, какую геометрическую фигуру дозволено начертить.

1. Уравнением F (x, y) дозволено задать кривую либо прямую линию при выполнении 2-х условий: если координаты точки, которая не принадлежит заданной линии, не удовлетворяют уравнению; если всякая точка желанной линии со своими координатами удовлетворяет этому уравнению.

2. Уравнение вида x+?(y(2r-y) )=r arccos (r-y)/r задает в декартовых координатах циклоиду – траекторию, которая описывается точкой на окружности c радиусом r. При этом окружность не скользит по оси абсцисс, а катится. Какая при этом получается фигура, глядите на рисунке 1.

3. Фигура, координаты точек которой задаются следующими уравнениями:x=(R+r) cos? – rcos (R+r)/r ?y=(R+r) sin? – rsin (R-r)/r ?,именуется эпициклоидой. Она показывает траекторию, которую описывает точка на окружности с радиусом r. Эта окружность катится по иной окружности, имеющей радиус R, с внешней стороны. То, как выглядит эпициклоида, глядите на рисунке 2.

4. Если окружность, имеющая радиус r, скользит по иной окружности с радиусом R с внутренней стороны, то траектория, описываемая точкой на движущейся фигуре, именуется гипоциклоидой. Координаты точек полученной фигуры дозволено обнаружить через следующие уравнения:x=(R-r)cos?+rcos (R-r)/r ?y=(R-r)sin?-rsin (R-r)/r ?На рисунке 3 изображен график гипоциклоиды.

5. Если вы видите параметрическое уравнение типа x=x ?+Rcos?y=y ?+Rsin?либо каноническое уравнение в декартовой системе координат x2 + y2 = R2,то при построении графика вы получите окружность. Глядите рисунок 4.

6. Уравнение вида x?/a? + y?/b? =1описывает геометрическую фигуру под наименованием эллипс. На рисунке 5 вы увидите график эллипса.

7. Уравнением квадрата будет следующее выражение:|x|+|y| = 1Обратите внимание, что в данном случае квадрат размещен по диагонали. То есть оси абсцисс и ординат, ограниченные вершинами квадрата, являются диагоналями этой геометрической фигуры. График, на котором изображено решение данного уравнения, глядите на рисунке 6.

Видео по теме

Геометрия всецело построена на теоремах и доказательствах. Дабы подтвердить, что произвольная фигура ABCD является параллелограммом, необходимо знать определение и знаки этой фигуры.

1. Параллелограммом в геометрии именуется фигура с четырьмя углами, у которой параллельны противоположные стороны. Таким образом, ромб, квадрат и прямоугольник являются разновидностями этого четырехугольника.

2. Докажите, что две из противолежащих сторон равны и параллельны касательно друг друга. В параллелограмме ABCD это знак выглядит так: AB=CD и AB||CD. Нарисуйте диагональ АС. Полученные треугольники окажутся равными по второму знаку. АС – всеобщая сторона, углы ВАС и АСD, также как и ВСА и CAD, равны как лежащие накрест при параллельных прямых AB и CD (дано в условии). Но потому что эти накрест лежащие углы относятся и к сторонам AD и BC, значит эти отрезки также лежат на параллельных прямых, что и подвергалось доказательству.

3. Значимым элементами доказательства, что ABCD параллелограмм, являются диагонали, потому что в этой фигуре при пересечении в точке O они делятся на равные отрезки (AO=OC, BO=OD). Треугольники AOB и COD равны, потому что равны их стороны в связи с данными условиями и вертикальные углы. Из этого следует, что и углы DBA и CDB также как и CAB и ACD равны.

4. Но эти же углы являются накрест лежащими при том, что прямые AB и CD параллельны, а роль диагонали исполняет секущая. Доказав таким образом, что и два других образованных диагоналями треугольники равны, вы получите, что данный четырехугольник параллелограмм.

5. Еще одно качество, по которому дозволено подтвердить, что четырехугольник ABCD – параллелограмм звучит так: противоположные углы этой фигуры равны, то есть угол B равен углу D, а угол C равен A. Сумма углов треугольников, которые мы получим, если проведем диагональ AC, равна 180°. Исходя из этого получаем, что сумма всех углов данной фигуры ABCD равна 360°.

6. Припомнив данные задачи, дозволено легко осознать, что угол A и угол D в сумме составят 180°, подобно угол C + угол D = 180°. В тоже время эти углы являются внутренними, лежат на одной стороне, при соответствующих им прямых и секущих. Отсель следует, что прямые BC и AD параллельны, и приведенная фигура является параллелограммом.