Как найти периметр додекаэдра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Периметр додекаэдра с учетом площади боковой поверхности Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Площадь боковой поверхности додекаэдра: 1750 Квадратный метр —> 1750 Квадратный метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

302.562982746858 метр —> Конверсия не требуется

12 Периметр додекаэдра Калькуляторы

Периметр додекаэдра с учетом площади боковой поверхности формула

Периметр додекаэдра = 30*sqrt((2*Площадь боковой поверхности додекаэдра)/(5*sqrt(25+(10*sqrt(5)))))

P = 30*sqrt((2*LSA)/(5*sqrt(25+(10*sqrt(5)))))

Источник

Додекаэдр — это многогранник с двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двадцатью вершинами. Это трехмерная фигура, состоящая из нескольких многоугольников, у каждого из которых одиннадцать или меньше сторон..

Додекаэдр характеризуется тем, что представляет собой твердую фигуру, и, согласно некоторым научным исследованиям, он может приблизительно соответствовать представлению Вселенной.

Додекаэдр является правильным, если он состоит из двенадцати правильных пятиугольников (пятиугольников), как мы увидим позже.

Элементы додекаэдра

Элементами додекаэдра, которые показывают нам рисунок ниже, являются:

Лица: Это стороны многогранника, которые в случае изображения в качестве примера представляют собой пятиугольники, подобные тому, который образован ABCKQ и который имеет другой цвет.
Края: Это сегмент, который представляет собой объединение двух граней, таких как AB или BC.
Вершины: Это те точки, где есть преимущество перед другими. На рисунке это будут: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S и T.
Двугранный угол: Он состоит из объединения двух лиц.
Угол многогранника: Это тот, который образован сторонами, которые соединяются в единую вершину фигуры.

Типы додекаэдра

Додекаэдры можно классифицировать по разным критериям. Например, в зависимости от формы они могут быть:

Выпуклый: Когда соединить любые две точки многогранника, можно провести прямую, не выходящую за пределы фигуры.
Вогнутая: Если хотя бы две точки додекаэдра можно соединить прямой линией, которая в какой-то момент выходит из фигуры.

Аналогичным образом, в зависимости от их регулярности, они могут быть:

Обычный: Все их грани равны друг другу и представляют собой правильные пятиугольники. То есть, у которых пять сторон имеют одинаковые размеры, а также их внутренние углы также равны (см. Изображение выше).
Нерегулярный: Все они имеют разные грани, каждый из которых представляет собой многоугольник, который может быть правильным, а может и не быть.

На изображении, где мы объясняем элементы додекаэдра, мы показываем случай правильного додекаэдра.

Площадь и объем додекаэдра

В общем, чтобы найти площадь додекаэдра, нам нужно добавить площади всех его сторон.

Ограничиваясь случаем правильного додекаэдра, мы можем вычислить площадь (A) и объем (V) по следующим формулам, где a — сторона каждого пятиугольника, образующего фигуру:

Пример додекаэдра

Если у нас есть правильный додекаэдр, образованный пятиугольниками, имеющими периметр 30 метров. Какова площадь и объем многогранника?

Во-первых, мы должны найти к, разделив периметр на количество сторон, потому что все они равны:

а = 30/5 = 6

Затем применяем формулы, показанные выше:

Вы поможете развитию сайта, поделившись страницей с друзьями

Источник

Правильный додекаэдр

(вращающаяся модель, 3D-модель)

Тип

правильный многогранник

Свойства

выпуклый

Комбинаторика

Элементы

12 граней
30 рёбер
20 вершин

Χ = 2

Грани

правильные пятиугольники

Конфигурация вершины

5³

Вершинная фигура

Развёртка

Двойственный многогранник

правильный икосаэдр

Классификация

Обозначения

U₂₃, C₂₆, W₅

Символ Шлефли

{5,3}

Символ Витхоффа^[en]

3 | 2 5

Диаграмма Дынкина

Группа симметрии

I_h, H₃, [5,3], (*532)

Группа вращения

I, [5,3]<sup+, (532)

Количественные данные

Длина ребра

Площадь поверхности

${displaystyle 3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}a^{2}}$

Объём

${displaystyle {tfrac {15+7{sqrt {5}}}{4}}a^{3}}$

Двугранный угол

${displaystyle arccos(-1/5^{1/2})approx 116.565}$

Телесный угол при вершине

${displaystyle pi -tan ^{-1}left({frac {2}{11}}right)quad approx 2.96}$

Правильный додекаэдр на Викискладе

Пра́вильный додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников^[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр и его описанная сфера

Содержание

1 История
2 Основные формулы
3 Свойства
4 Элементы симметрии додекаэдра
5 Связь со сферическим замощением
6 Интересные факты
7 В культуре
8 См. также
9 Примечания
10 Ссылки

История

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости^[2]^[3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»^[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба^[5]^[6]^:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях^[7]^[6]^:318-319^[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы

Если за длину ребра принять , то площадь поверхности додекаэдра равна

${displaystyle S=3a^{2}{sqrt {5(5+2{sqrt {5}})}}approx 20{,}65a^{2}}$

Объём додекаэдра:

${displaystyle V={frac {a^{3}}{4}}(15+7{sqrt {5}})approx 7{,}66a^{3}}$

Радиус описанной сферы^[9]:

${displaystyle R={frac {a}{4}}(1+{sqrt {5}}){sqrt {3}}approx 1{,}4a}$

Радиус вписанной сферы^[9]:

${displaystyle r={frac {a}{4}}{sqrt {10+{frac {22}{sqrt {5}}}}}approx 1{,}11a}$

Свойства

Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(-1/√5)≈116°,565^[9].
Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.
В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.
Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности. Эти две величины равны, соответственно, и , где — длина ребра додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдра

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Связь со сферическим замощением

Правильный додэкаэдр также индуцирует замощение сферы правильными пятиугольниками.

Ортографическая проекция^[en]	Стереографическая проекция

Интересные факты

Форму, близкую к додекаэдру, имеет описанная Эрнстом Геккелем в 1887 году радиолярия Circorrhegma dodecahedra^[10].
В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре^[11]^[12]^[13].

В культуре

Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх^[14], и обозначается при этом d12 (dice — кости).
Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней^[14].
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры^{[источник не указан 1002 дня]}.
В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса^{[источник не указан 1002 дня]}.
В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы^{[источник не указан 1002 дня]}.

См. также

Пентагондодекаэдр — неправильный додекаэдр
Римский додекаэдр
Мегаминкс
Ромбододекаэдр
Ромбоикосододекаэдр
Двенадцатигранники

Примечания

↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Stefano De’ Stefani (1885-86). «Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
↑ Amelia Carolina Sparavigna. An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.
↑ Платон. «Тимей»
↑ Euclid’s Elements. Book XIII. Proposition 17.
↑ ¹ ² Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
↑ Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 156—163.
↑ Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.
↑ ¹ ² ³ Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
↑ В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
↑ The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
↑ Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
↑ Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.
↑ ¹ ² A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.

Ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Правильный додекаэдр

Источник

Вы здесь:

Главная
Додекаэдр

Додекаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Додека» означает двенадцать, «хедра» — означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).

Поэтому на вопрос — «что такое додекаэдр?», можно дать следующее определение: «Додекаэдр это геометрическое тело из двенадцати граней, каждая их которых — правильный пятиугольник«.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел.
Додекаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный пятиугольник;
Число сторон у грани – 5;
Общее число граней – 12;
Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
Общее число вершин – 20;
Общее число рёбер – 30.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Додекаэдр имеет центр симметрии — центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Математические характеристики додекаэдра

Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы додекаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.

Радиус вписанной сферы додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра.

Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:

Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:

Правильные многогранники

Существует всего пять правильных многогранников:

Тетраэдр
Куб (Гексаэдр)
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Правильные многогранники — подробнее

Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый;
все его грани являются правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3})

Объем тетраэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{12}sqrt{2})

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{6})

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

( displaystyle R=frac{a}{12}sqrt{6})

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

( displaystyle S=6{{a}^{2}})

Объем куба:

( displaystyle V={{a}^{3}})

Радиус описанной вокруг куба сферы:

( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{3})

Радиус вписанной в куб сферы:

( displaystyle r=frac{a}{2})

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

( displaystyle S=2{{a}^{2}}sqrt{3})

Объем октаэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{3}sqrt{2})

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{2})

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{6}sqrt{6})

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

( displaystyle S=5{{a}^{2}}sqrt{3})

Объем икосаэдра:

( displaystyle V=frac{5{{a}^{3}}}{12}left( 3+sqrt{5} right))

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{2left( 5+sqrt{5} right)})

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{4sqrt{3}}left( 3+sqrt{5} right))

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

( displaystyle S=3{{a}^{2}}sqrt{5left( 5+2sqrt{5} right)})

Объем додекаэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{4}left( 15+7sqrt{5} right))

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}left( 1+sqrt{5} right)sqrt{3})

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{4}sqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}})

Решение задачи №8 на тему «Правильные многогранники»

Задача:

В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) с ребром ( displaystyle sqrt{12}) найдите ( displaystyle A{{C}_{1}}).

Решение:

( displaystyle d=asqrt{3}),

где ( displaystyle d) – диагональ куба,( displaystyle a) – сторона куба.( displaystyle A{{C}_{1}}) – это и есть диагональ куба.

Тогда ( displaystyle A{{C}_{1}}=asqrt{3}=sqrt{12}cdot sqrt{3}=sqrt{36}=6).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Периметр додекаэдра с учетом площади боковой поверхности Решение

12 Периметр додекаэдра Калькуляторы

Периметр додекаэдра с учетом площади боковой поверхности формула

Элементы додекаэдра

Типы додекаэдра

Площадь и объем додекаэдра

Пример додекаэдра

Вы поможете развитию сайта, поделившись страницей с друзьями

Правильный додекаэдр

Содержание

История

Основные формулы

Свойства

Элементы симметрии додекаэдра

Связь со сферическим замощением

Интересные факты

В культуре

См. также

Примечания

Ссылки

Додекаэдр

Математические характеристики додекаэдра

Популярное

Правильные многогранники

Правильные многогранники — подробнее

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Куб (Гексаэдр)

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Решение задачи №8 на тему «Правильные многогранники»

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+