Как найти периметр криволинейной фигуры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности

Краткие теоретические сведения

Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:

2. Найти угол между двумя линиями на поверхности в точке их пересечения:
Если две линии, лежащие на поверхности с первой квадратичной формой $I_1=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2$, пересекаются в некоторой точке $P$ поверхности и имеют в этой точке направления $(du:dv)$ и $(delta u:delta v)$, то косинус угла между ними определяется по формуле: begin mbox,varphi = displaystylefrac<sqrtcdotsqrt> \ mbox,varphi = displaystylefrac<sqrtcdotsqrt>. end Говорим, что кривая на поверхности $vec=vec(u,v)$ в точке $(u,v)$ имеет направление $(du:dv)$, если вектор $dvec=vec_udu+vec_vdv$ является касательным вектором кривой в этой точке.

3. Найти площадь области $Omega$ на поверхности: begin S = iintlimits_sqrtdu,dv, end где $D$ — прообраз $Omega$ на плоскости $(u,v)$.

Решение задач

Задача 1 (почти Феденко 684)

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями $v=3u$ на поверхности с первой квадратичной формой begin I_1=du^2+frac19,mbox^2u,dv^2 end между точками $M_1(u_1,v_1)$ и $M_2(u_2,v_2)$.

Решение задачи 1

Задача 2 (почти Феденко 682)

Под каким углом пересекаются линии $$ u+v=a, ,, u-v=a,$$ лежащие на поверхности: begin x=u,mboxv, ,, y=u,mbox,v, ,, z=au. end

Решение задачи 2

Первая квадратичная форма данной поверхности: begin I_1=(1+a^2),du^2+u^2,dv^2. end

Данные линии пересекаются в точке: begin left < beginu+v&=a,\ u-v&=a. end right. quad Rightarrow quad P(u=a,v=0). end

Направления данных линий: begin du+dv=0, ,, delta u-delta v=0,, Rightarrow end begin du = -dv, ,, delta u = delta v. end

Задача 3

Дана поверхность: $$z=axy.$$ Найти углы между координатными линиями.

Решение задачи 3

Координатные линии на данной поверхности задаются уравнениями: $x=x_0$, $y=y_0$. Запишем коэффициенты первой квадратичной формы: begin &E=1+(z_x)^2=1+a^2y^2,\ &F=z_xz_y=a^2xy, \ &G=1+(z_y)^2=1+a^2x^2. end

Направления координатных линий: begin &x=x_0 ,, Rightarrow dx=0,\ &y=y_0 ,, Rightarrow delta y=0. end

Задача 4 (Дополнение к Задаче 3)

Как мы вывели в примере выше, угол между координатными линиями равен

Из формулы следует, что координатная сеть поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом), тогда и только тогда, когда $F$=0.

Задача 5 (Феденко 683)

Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника $$ u=pm av^2/2,,, v=1,$$ расположенного на поверхности $$I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.$$

Вершины треугольника: begin &A(u=0,, v=0),\ &B(u=-frac<2>,, v=1), \ &C(u=frac<2>,, v=1). end

Зная координаты вершин и уравнения сторон, найдем длины дуг, составляющих стороны треугольника $ABC$, и углы между линиями в точках их пересечения, то есть в вершинах треугольника: begin &s_1 = |BC| = a,\ &s_2 = |AC| = frac76 a,\ &s_3 = |BC| = frac76 a,\ &P_<triangle ABC>=s_1+s_2+s_3=frac<10><3>a. end begin &mbox,A = 1, ,, mbox,B=mbox,C=frac23. end

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов

Задание №4. Начала интегрального исчисления, простейшие дифференциальные уравнения, основы теории числовых и функциональных рядов.

I. Вычисление неопределенных интегралов

I.1. Применение основной таблицы интегралов. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. 8. ;

9. ; 10.

I.2. Замена переменных в неопределенном интеграле. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. .

I.3. Интегрирование по частям. Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.

I.4. Интегрирование рациональных функций:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; ; 9) ;

10) ; 11) ; 12)

I.5. Интегрирование иррациональных функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6)

I.6. Интегрирование тригонометрических функций:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; ; 9) ;

10)

I.7. Интегрирование показательных и логарифмических функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ; 7) ;

II. Вычисление определенных интегралов.

II.1. Применение формулы Ньютона-Лейбница:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; ; 9) ; 10) ;

11) ; 12)

II.2. Замена переменной в определенном интеграле:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

II.3. Средние значения функций.

Вычислить среднее значение функций в заданном сегменте:

1) в сегменте [1;4].

2) в сегменте [1;1,5].

3) и в сегменте [0;π].

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в сегменте [-1;1]

II.4. Вычисление площадей плоских фигур.

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

2). Окружность разделена параболой на две части. Найти площади обеих частей.

3). Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действительной оси.

4). Вычислить площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b], ограниченной линией .

5) Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией .

II.5. Вычисление длины дуги кривой.

1) Найти длину дуги линии от до .

2) Найти периметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осью абсцисс и линиями и .

3) На циклоиде найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

II.6. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения.

1) Вычислить площадь поверхности вращения параболы вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой .

2) Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды (от 0 до π) вокруг оси абсцисс.

3) Фигура, ограниченная гиперболой и прямой (h>0), вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

4) Симметричный параболический сегмент с основанием а и высотой h вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается («лимон Кавальери»).

III. Решение простейших дифференциальных уравнений.

III.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общие решения уравнений:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6)