Как найти периметр основания правильного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Периметр правильного треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 166.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 166.

Правильный треугольник особенно выделяется на фоне других фигур. Любой параметр такого треугольника может быть определен из длины стороны. Особенной простотой отличается нахождение периметра.

Определения

Для начала вспомним несколько определений, которые потребуются для того, чтобы решать задачи на нахождение периметра правильного треугольника:

Правильным треугольником является треугольник, все стороны которого равны, а каждый из углов составляет 60 градусов.
Правильный треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому любая высота правильного треугольника будет являться биссектрисой и медианой.
Некоторые формулы для произвольного треугольника при применении к правильному треугольнику можно значительно упростить с помощью теоремы Пифагора.

Периметр треугольника

Что такое периметр? Это сумма длин всех сторон.

Формула периметра одинакова для любой фигуры. Это всегда сумма длин всех сторон.

Рис. 1. Различные фигуры.

Конкретно для правильного треугольника, нужно вспомнить, что все стороны этой фигуры равны между собой. Сторон у треугольника 3, а значит, формула периметра выглядит следующим образом:

$$P=3a$$

Пример

Сложную задачу на нахождение периметра правильного треугольника придумать нелегко. Поэтому решим интересную, но простую задачу на заданную тематику. В процессе решения рассмотрим применение теоремы Пифагора для решения задач с правильным треугольником.

Площадь правильного треугольника АВС равняется $9sqrt{3}$

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Любую характеристику правильного треугольника можно найти, если есть хотя бы одна из длин. Неважно, будет это сторона, площадь, периметр, медиана или биссектриса. Любой длины будет достаточно для решения задачи.

Вспомним формулу площади треугольника и упростим ее для правильного треугольника.

Площадь треугольника находится как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

В правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ, которая совпадет с высотой и биссектрисой. Тогда треугольник АВМ будет прямоугольным. По теореме Пифагора найдем АМ.

Рис. 3. Сумма углов треугольника.

$$АМ=sqrt{AB^2-BM^2}= sqrt{а^2-{аover{2}}^2}= sqrt{а^2-{{а^2}over{4}}}=sqrt{{3a^2}over{4}}$$

Подставим значение АМ в формулу площади:

$$S={1over{2}}*a*h={1over{2}}*a*a*{sqrt{3}over{2}}=a^2*{sqrt{3}over{4}}$$

Из этой формулы выразим значение стороны:

$$a=sqrt{4Sover{sqrt{3}}}=sqrt{{4*{9over{sqrt{3}}}}over{sqrt{3}}}=6$$

Теперь найти периметр не составит проблем.

$$P=3a=3*6=18$$

Что мы узнали?

Мы привели формулу периметра правильного треугольника. На примере показали, как можно найти площадь правильного треугольника через площадь. На том же примере показали примерный ход решения любой задачи на решение правильного треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

chashkova-tatyan чашкова

5/5
Анна Ножеева

5/5
Данила Салин

5/5

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 166.

А какая ваша оценка?

Источник

Периметр Правильного Треугольника: Определение и Формулы

Правильный треугольник — это треугольник, у которого
все стороны и углы равны.

Правильный треугольник, также называют равносторонним
и равноугольным. Все углы в таких треугольника имеют
градусную меру в 60 градусов.

Периметр правильного треугольника — это периметр
треугольника, у которого все стороны и углы равны.

Периметр в правильном треугольнике, можно найти с
помощью площади, длины сторон, радиуса и так далее.

Формула периметра
правильного треугольника

Формула периметра правильного треугольника, через сторону:

Формула периметра правильного треугольника, через радиусвписанной окружности:

Формула периметра правильного треугольника, через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного треугольника, через площадь:

С помощью этих формул можно найти периметр через площадь,
сторону, радиус вписанной и описанной окружностей.

Периметр правильного треугольника

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 106.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 106.

Определения

Правильным треугольником является треугольник, все стороны которого равны, а каждый из углов составляет 60 градусов.
Правильный треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому любая высота правильного треугольника будет являться биссектрисой и медианой.
Некоторые формулы для произвольного треугольника при применении к правильному треугольнику можно значительно упростить с помощью теоремы Пифагора.

Периметр треугольника

Что такое периметр? Это сумма длин всех сторон.

Формула периметра одинакова для любой фигуры. Это всегда сумма длин всех сторон.

Пример

Площадь правильного треугольника АВС равняется $9sqrt<3>$

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Вспомним формулу площади треугольника и упростим ее для правильного треугольника.

Рис. 3. Сумма углов треугольника.

Подставим значение АМ в формулу площади:

Из этой формулы выразим значение стороны:

Теперь найти периметр не составит проблем.

Что мы узнали?

Периметр равностороннего треугольника

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника(или найти периметр правильного треугольника), нужно знать его сторону.

В общем случае для нахождения периметра треугольника используют формулу

Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, формула упрощается:

Таким образом, формула периметра равностороннего треугольника:

(а — длина его стороны).

1) Найти периметр равностороннего треугольника, сторона которого равна 10 см.

По формуле Р=3а имеем: Р=3∙10=30 (см).

2) Периметр равностороннего треугольника равен 21 см. Найти его сторону.

Р=3а, значит, а=Р:3. Таким образом, длина стороны треугольника равна а=21:3= 7 (см).

3) Найти периметр правильного треугольника АВС, если АВ=25 см.

источники:

http://obrazovaka.ru/matematika/perimetr-pravilnogo-treugolnika.html

Периметр равностороннего треугольника

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника

Формула

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, надо длину его стороны умножить на три.

Периметр равностороннего треугольника — это сумма длин его сторон. У равностороннего треугольника
все стороны равны. Поэтому чтобы найти периметр равностороннего треугольника
$ABC$, со стороной
$a$ нужно воспользоваться формулой

$$P_{Delta A B C}=a+a+a=3 a$$

Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника

Пример

Задание. Найти периметр треугольника
$ABC$ со стороной, равной 5 дм.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения периметра равностороннего треугольника:

$$P_{Delta A B C}=3a$$

Тогда искомый периметр равен:

$P_{Delta A B C}=3 cdot 5=15$ (дм)

Ответ. $P_{Delta A B C}=15$ (дм)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Периметр равностороннего треугольника
$ABC$ равен
27 см. Найти длины его стороны.

Решение. Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$$P_{Delta A B C}=3 a$$

Подставим в нее заданное значение периметра и выразим из полученного уравнения искомую длину
$a$:

$27=3 a Rightarrow a=27: 3=9$ (см)

Ответ. $a=9$ (см)

Читать дальше: как найти периметр круга.

Источник

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
S — площадь треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
b, c — известные стороны треугольника;
ɑ — угол между известными сторонами;
a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника;
h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любой катет прямоугольника;
c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Источник

Периметр Правильного Треугольника: Определение и Формулы

Обновлено 14.01.2022

Правильный треугольник — это треугольник, у которого
все стороны и углы равны.

Периметр правильного треугольника — это периметр
треугольника, у которого все стороны и углы равны.

Периметр в правильном треугольнике, можно найти с
помощью площади, длины сторон, радиуса и так далее.

Формула периметра
правильного треугольника

Формула периметра правильного треугольника, через сторону:
[ P = 3a ]
Формула периметра правильного треугольника, через радиус вписанной окружности:
[ P=6sqrt{3}r ]
Формула периметра правильного треугольника, через радиус описанной окружности:
[ P = 3sqrt{3}R ]
Формула периметра правильного треугольника, через площадь:
[ P = sqrt{frac{S}{frac{sqrt{3}}{36} }} ]

С помощью этих формул можно найти периметр через площадь,
сторону, радиус вписанной и описанной окружностей.

Источник