Как посчитать периметр треугольника
Онлайн калькулятор
Периметр разностороннего треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр разностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры:
Введите их в соответствующие поля и узнаете чему равен периметр треугольника (Р).
Теория
Чему равен периметр разностороннего треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр разностороннего треугольника, у которого сторона a = 2 см, сторона b = 3 см, а сторона c = 4 см:
Периметр равнобедренного треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры:
- длину двух равных сторон (a)
- длину основания (b)
Теория
Чему равен периметр равнобедренного треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр равнобедренного треугольника, у которого стороны a = 2 см, а сторона b = 3 см:
Периметр равностороннего треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину трёх равных сторон (a)
- радиус описанной окружности (R)
- радиус вписанной окружности (r)
Как найти периметр треугольника
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.
Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
В чем измеряется периметр:
Как узнать периметр треугольника
Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.
Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:
P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:
P = 3 * a, где a — длина стороны.
Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.
Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.
Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:
P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.
Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:
P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.
Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Нахождение периметра треугольника: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр треугольника и разберем примеры решения задач.
Формула вычисления периметра
Периметр (P) любого треугольника равняется сумме длин всех его сторон.
P = a + b + c
Периметр равнобедренного треугольника
Равнобедренным называют треугольник, у которого две боковые стороны равны (примем их за b). Сторона a, имеющая отличную от боковых длину, является основанием. Таким образом, периметр можно считать так:
P = a + 2b
Периметр равностороннего треугольника
Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все стороны равны (примем ее за a). Периметр такой фигуры вычисляется так:
P = 3a
Примеры задач
Задание 1
Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 3, 4 и 5 см.
Решение:
Подставляем в формулу известные по условиям задачи величины и получаем:
P = 3 см + 4 см + 5 см = 12 см.
Задание 2
Найдите периметр равнобедренного треугольника, если его основание равняется 10 см, а боковая сторона- 8 см.
Решение:
Как мы знаем, боковые стороны равнобедренного треугольника равны, следовательно:
P = 10 см + 2 ⋅ 8 см = 26 см.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-treugolnika
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Просто посчитайте сумму всех сторон.
- P — искомый периметр;
- a, b, c — стороны треугольника.
2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Умножьте площадь треугольника на 2.
Разделите результат на радиус вписанной окружности.
- P — искомый периметр;
- S — площадь треугольника;
- r — радиус вписанной окружности.
3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:
- Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
- Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
- Найдите корень из результата.
Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.
- P — искомый периметр;
- b, c — известные стороны треугольника;
- ɑ — угол между известными сторонами;
- a — неизвестная сторона треугольника.
4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону
Умножьте сторону на 3.
- P — искомый периметр;
- a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).
5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Умножьте боковую сторону на 2.
Прибавьте к результату основание.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
- b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).
6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Найдите квадраты боковой стороны и высоты.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата и умножьте его на 2.
Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника;
- h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).
7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.
Извлеките корень из полученного числа.
Прибавьте к результату оба катета.
- P — искомый периметр;
- a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).
8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата.
Прибавьте катет и гипотенузу.
- P — искомый периметр;
- a — любой катет прямоугольника;
- c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника
Формула
Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, надо длину его стороны умножить на три.
Периметр равностороннего треугольника — это сумма длин его сторон. У равностороннего треугольника
все стороны равны. Поэтому чтобы найти периметр равностороннего треугольника
$ABC$, со стороной
$a$ нужно воспользоваться формулой
$$P_{Delta A B C}=a+a+a=3 a$$
Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника
Пример
Задание. Найти периметр треугольника
$ABC$ со стороной, равной 5 дм.
Решение. Воспользуемся формулой для нахождения периметра равностороннего треугольника:
$$P_{Delta A B C}=3a$$
Тогда искомый периметр равен:
$P_{Delta A B C}=3 cdot 5=15$ (дм)
Ответ. $P_{Delta A B C}=15$ (дм)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Периметр равностороннего треугольника
$ABC$ равен
27 см. Найти длины его стороны.
Решение. Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
$$P_{Delta A B C}=3 a$$
Подставим в нее заданное значение периметра и выразим из полученного уравнения искомую длину
$a$:
$27=3 a Rightarrow a=27: 3=9$ (см)
Ответ. $a=9$ (см)
Читать дальше: как найти периметр круга.
Как найти периметр равностороннего треугольника
Поиск периметра равностороннего треугольника означает расчет расстояния вокруг самой фигуры. Самый простой способ – это сложить все стороны. Однако бывают случаи, когда известна лишь высота треугольника или одна сторона, как быть в таких ситуациях? Статья подскажет, как быстро находить периметр треугольника при разных условиях.
1
Равносторонний треугольник – что собой представляет
Такой треугольник имеет три конгруэнтные стороны и три равных угла. Зная размер одной из сторон, можно найти остальные. Поскольку треугольник имеет три соразмерные стороны, он автоматически имеет три идентичных угла. Они в сумме дают 180º, которую, согласно их идентичности, следует разделить на 3. Это означает, что любой угол треугольника равен 60 º. Можно сделать заключение, что равносторонний треугольник является острой фигурой.
2
Как найти периметр равностороннего треугольника
Поскольку стороны равностороннего треугольника конгруэнтны, для вычисления его периметра требуется длина одной стороны. Можно сказать, что простая формула периметра равносторонней фигуры : Р = c+c+c, где с – длина одной из сторон.
- Узнайте периметр треугольника с конгруэнтными сторонами, если размер одной – 7 дм.
- Из условия известно, что сторона фигуры 7 дм, т.е. другие стороны идентичны.
- Согласно формулы периметр треугольника: Р = с + с + с, Р = 7+7+7 = 21 дм.
3
Упрощенный способ нахождения периметра равностороннего треугольника
Конечно, более простой способ найти границы треугольника – это умножить длину каждой стороны на три. Формула будет состоять: P = 3 х а, где а – длина стороны.
- Оцените периметр равностороннего треугольника с заданной стороной 7 дм.
- Подставьте значения согласно формулы: P = 3 х а , P = 3 х 7
P = 21 - Периметр треугольника составляет 21 дм.
- Когда изначально стороны треугольника заданы в сантиметрах, ваш ответ также должен быть в сантиметрах. В приведенном примере длина сторон составляет 7 дм, поэтому правильное значение периметра будет 21 дм.
4
Как найти периметр равностороннего треугольника через высоту
Рассчитать периметр равностороннего треугольника возможно, если дана одна высота. Следуя теореме Пифагора, найдите одну из сторон через высоту.
- Высота треугольника с равными сторонами 7 см, найдите периметр.
- Согласно условия h = 7 см, следуя формуле:
- Р= 2√3 х 7 = 24,249 см.
5
Онлайн расчет периметра равностороннего треугольника
Существует несколько сайтов (например, справочный портал Калькулятор или познавательный портал 2mb), которые помогут быстро рассчитать периметр треугольника, достаточно лишь ввести его параметры.
6
Как найти периметр равностороннего треугольника – обратный расчет
Бывают случаи, когда в школе требуется найти сторону равностороннего треугольника, когда в условии указан периметр фигуры. Примените полученные знания : Р = 3 х с, значит с = Р : 3
- Найдите длину стороны равностороннего треугольника, когда периметр 24 см.
- Исходя из формулы: с = Р : 3, с = 24 : 3 = 8 см
- Длина сторон заданного треугольника 8 см.
Нахождение периметра равностороннего треугольника не составит труда, если правильно применять основные формулы расчета.
Общие сведения
Изучение любой фигуры, процесса или явления всегда начинается с определений. Треугольником называется геометрическое тело, состоящее из трех, не лежащих на одной прямой, вершин. Прямая — совокупность бесконечного количества точек, лежащих в одной плоскости и проходящих без искажений.
Вершина — точка, образованная сторонами треугольника. Периметр — суммарное значение всех сторон любой фигуры. Высота — отрезок, проведенный из любой вершины на сторону, которая является противоположной, под углом в 90 градусов.
Медиана — часть прямой, проведенной из вершины, но не под прямым углом, а соединяющая ее с серединой противолежащей стороны. Биссектриса — прямая, делящая угол на 2 равных величины.
Виды треугольников
Треугольники классифицируются по углам и сторонам. На основании первого критерия можно выделить несколько типов фигур:
- Остроугольный.
- Прямоугольный.
- Тупоугольный.
В первом случае у фигуры все углы острые, т. е. градусная мера каждого не должна превышать 90 градусов. Если хотя бы один из них эквивалентен 90, треугольник является прямоугольным. Однако когда градусная мера одного из них превышает 90, он принадлежит к третьему типу.
Треугольники классифицируются еще и по сторонам. Распределение на группы происходит по такому принципу:
- Величины всех сторон не равны между собой (произвольный или разносторонний).
- Равны только значения двух боковых сторон (равнобедренный).
- Все стороны эквивалентны одному числу (равносторонний или правильный).
Равнобедренный треугольник можно считать прямоугольным и тупоугольным. Кроме того, равносторонняя фигура всегда является остроугольной. Далее необходимо перейти к доказательству теоремы о периметре.
Теорема о периметре
Каждому ученику известна формула периметра треугольника для 3 класса. Она является довольно примитивным соотношением, и применяется в абсолютно другом виде в старших классах и высших учебных заведениях. Математики предлагают рассмотреть доказательство теоремы о периметре правильного треугольника. Ее формулировка имеет следующий вид: периметр треугольника равен утроенному произведению одной из его сторон, когда фигура является правильной.
Доказывается утверждение очень просто. Для этого необходимо использовать следующий алгоритм:
- Обозначить стороны треугольника литерами «m», «n» и «о».
- Записать формулу периметра P в общем виде: P=m+n+o.
- Используя определение и свойство сторон правильного треугольника, записать соотношение во втором пункте с условием равенства всех сторон величине q в виде следующей формулы: P=q+q+q=3q.
- На основании соотношения, полученного в третьем пункте алгоритма, теорема доказана полностью.
Можно найти и другое доказательство теоремы, в которой используется прямоугольник. В фигуре нужно провести диагонали, а затем по формуле Пифагора выразить боковые стороны. Однако процесс доказательства утверждения является более сложным.
У каждой теоремы есть какие-либо следствия. Они позволяют существенно оптимизировать вычисления при решении задач. Далее необходимо рассмотреть полезные формулы.
Полезные формулы
Для вычисления различных параметров треугольника применяются определенные формулы. Кроме того, вводится новая величина, которая называется полупериметром. Она обозначается литерой «р» и составляет половину от периметра, т. е. р=Р/2. Специалисты рекомендуют использовать следующие формулы (если известны исходные параметры):
- Площадь (S) и высоту (l): Р=6S/l.
- Cторона (t): Р=3t.
- l: P=6l/(3)^(0.5).
- Радиус описанного круга: Р=3R (3)^(½).
- Величина радиуса вписанной окружности: Р=6r (3)^(½).
- Через формулу Герона: Р=[(S 2 — (t-3)^2)]/[6t — 8].
Последнее соотношение редко применяется при решении задач. Однако при известных величинах площади и одной из сторон правильного треугольника значения можно подставить сразу в формулу, а не тратить время на вычисление высоты.
Пример решения задачи
Для закрепления теоретического материала нужно решить задачу по геометрии. Ее условие имеет следующий вид:
- Площадь равностороннего треугольника эквивалентна 12*(3)^(½) сантиметрам.
- Если от значения площади S отнять сторону t (без учета единиц измерения), получится 8.
- При делении S на t получается 3.
В задаче нужно найти значение стороны. Чтобы выполнить эту операцию, необходимо составить 2 уравнения. Однако для начала требуется обозначить неизвестную величину переменной «t». В результате получается следующая система алгебраических выражений с неизвестными:
- S — t = 8.
- S: t = 3.
Чтобы вычислить величину переменной, необходимо выразить ее в первом тождестве, т. е. t=S-8. После этого нужно подставить все известные значения: t=12*(3)^(½) — 8 = 4*(3)^(½). Для проверки правильности решения нужно воспользоваться вторым соотношением, которое позволит вычислять площадь: 4*(3)^(½) * 3 = 12*(3)^(½).
Из последнего расчета можно сделать вывод, что сторона треугольника определена правильно и равна 4*(3)^(½). Значение периметра в этом случае будет равно 12*(3)^(½) сантиметров.
Таким образом, для решения задач по геометрии необходимо знать теорему о периметре и формулы для расчетов различных параметров равностороннего треугольника.