Периметр параллелограмма зависит от длины его сторон. И хотя формула для расчета несложная, мы сделали калькулятор, который позволяет рассчитать периметр параллелограмма в режиме онлайн. Наш калькулятор рассчитает периметр параллелограмма по двум сторонам или по двум диагоналям и одной из сторон.
Содержание:
- калькулятор периметра параллелограмма
- формула периметра параллелограмма через две стороны
- формула периметра параллелограмма через диагонали и одну из сторон
- примеры задач
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На сайте вы можете рассчитать периметры других четырехугольников: квадрат, ромб, прямоугольник.
Формула периметра параллелограмма через две стороны
{P = 2 (a + b)}
a и b — стороны параллелограмма
Формула периметра параллелограмма через диагонали и сторону
{P = 2a+ sqrt{2{d_1}^2 + 2{d_2}^2 — 4a^2}}
или
{P = 2b+ sqrt{2{d_1}^2 + 2{d_2}^2 — 4b^2}}
a и b — стороны параллелограмма
d1 и d2 — диагонали параллелограмма
Примеры задач на нахождение периметра параллелограмма
Задача 1
Найдите периметр параллелограмма со сторонами 3см и 4.5см.
Решение
Так как из условия задачи мы знаем длины сторон, то воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длин сторон и произведем расчет:
P = 2 (a + b) = 2 (3 + 4.5) = 2 (7.5) = 15 : см
Ответ: 15см
Воспользуемся калькулятором для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите периметр параллелограмма, если его стороны равны 5см и 80мм.
Решение
Для начала переведем 80мм в сантиметры и получим, что 80мм = 8см. В остальном задача аналогична предыдущей, так что повторим процесс ее решения:
P = 2 (a + b) = 2 (5 + 
= 2 (13) = 26 : см
Ответ: 26см
Для проверки снова используем калькулятор . При этом мы можем не переводить 80мм в сантиметры, а просто задать длину стороны в миллиметрах.
Любой многоугольник имеет периметр, который можно определить как сумму всех сторон фигуры. Для
вычисления выведены формулы, опирающиеся на отдельные свойства геометрического объекта, упрощающие
расчеты. Величина обозначается буквой P. Выражается в единицах измерения длины.
Под параллелограммом понимают четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Расчеты периметра фигуры основываются на следующих теоремах о свойствах данного
четырехугольника:
- Противоположные стороны попарно равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин сторон.
Прямоугольник, квадрат, ромб являются частными случаями данного четырехугольника. Рассчитывая Р этих
фигур, можно применить те же формулы.
- Периметр параллелограмма через две стороны
- Периметр параллелограмма через две диагонали и любую
известную сторону - Периметр параллелограмма через любую известную сторону,
высоту и острый угол
Через две стороны
Самая простая формула вычисления периметра параллелограмма учитывает то, что его противоположные
стороны попарно равны. Для вычисления достаточно знать основные измерения фигуры.
Используем общепринятые в математике обозначения: a – длина, b – ширина, P – периметр.
Тогда
формула для нахождения выглядит так:
P = 2 * (a + b)
Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример 1. Требуется найти длину ограждения территории. Измерения показали, что
участок имеет следующие размеры 12 м, 11 м, 12 м, 11 м. Можно воспользоваться общим подходом:
сложить полученные величины. Но лучше применить свойство четырехугольника с попарно равными
противоположными сторонами.
P= 12 + 11 + 12 + 11 = 46 м
P = 2 * (12 + 11) = 2 * 23м
В
обоих вариантах результат расчета один – 46 м.
Пример 2. Папа с сыном мастерят фоторамку для большого настенного портрета. Они решили сделать ее в
оригинальной форме – параллелограмм с размерами 54 см и 72 см. Для расчета необходимого количества
багета нужно найти периметр рамки с припуском на угловые стыки в 5%.
P = 2∙(64+72)=2∙136=272 см
С учетом припусков умельцам потребуется 252∙1,05 =285,6 см. Багет продается только в метрах. Придется
приобрести 3 м материала. Папа понимает, что остается 14 см неиспользованного материала. Зная
правила расчета, мастера принимают решение увеличить каждый элемент рамки на 3 см, снизив при этом
потери до 2 см.
Через две диагонали и любую известную сторону
Для нахождения периметра параллелограмма через две диагонали и одну известную сторону следует
воспользоваться формулой:
P = √(2a + 2D² + 2d² — 4a²)
где D, d — диагонали, a — сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример: Пусть D равна 12, d — 10, a = 11, все величины даны в миллиметрах. Тогда P = √(2*11² +
2*12² + 2*10² — 4*11²) = 24мм
Интересен подход, который основывается на свойствах фигуры и позволяет сделать расчеты при известных
длинах диагоналей и одной из сторон. Введем дополнительные обозначения для диагоналей – c1, c2.
Тогда математическая связь между рассматриваемыми величинами фиксируется следующим образом:
a²+b² = (c1² + c2²)/2. Из данной формулы можно найти неизвестную величину. Если
- дано a, то b² = ((c1² + c2²) — a²)/2
- дано b, то a² = ((c1² + c2²) — b²)/2
Найдя корень квадратный из полученной величины, можно воспользоваться стандартным расчетом для
нахождения P. P = 2 * (a + b) Пример. Дан параллелограмм со стороной 6 см, диагоналями 8, 10 см.
Требуется найти P. Квадрат ширины равен: b² = ((8² + 10²) — 6²)/2 = (64+100)/2 — 36 = 46
Вычисляя корень квадратный из 46 с точностью до десятых, получим примерно 6,8. Тогда P = 2 * (6+6,8)
= 25,6 см.
Через любую известную сторону, высоту и острый угол
Воспользуемся известными формулами, связывающими длину известной стороны, высоту, острый угол.
Обозначим:
- высоту, проведенную к длине a как h;
- острый угол – α.
Тогда формула для определения периметра следующая:
P = 2 * (a + h / sin α)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Для нахождения известны: сторона — 7 см, высота, проведенная к смежной стороне –
6 см, острый угол – 30º.
Вычислим ширину по заданным величинам: P = 2 * (7 + 6 / sin30) = 38см
Воспользовавшись свойствами фигуры, дополнительными преобразованиями, основанными на теореме
косинусов, теореме синусов, периметр параллелограмма можно найти при различных исходных данных. В
любом случае, в ходе расчетов необходимо получить значения длины и ширины, а затем подсчитать их
удвоенную сумму.
Когда требуется вычисление периметра параллелограмма
К расчету периметра люди прибегают, определяя количество расходных материалов при проведении работ по
ремонту, облагораживанию помещений, дачных участков, других территорий.
Умение находить сумму длин всех измерений любого четырехугольника пригодится во многих профессиях,
быту. Определение количества отделочной ленты для обработки швейного изделия, плинтуса для комнаты,
ограждения для участка – это те ситуации, в которых понадобятся знания по вычислению периметра
любого четырехугольника.
Периметр параллелограмма
Формула периметра параллелограмма ABCD со сторонами: (
A B=C D=a, B C=A D=b
) (рис. 1), имеет вид
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Стороны параллелограмма ABCD равны соответственно 3 и 5 см. Найти его периметр.
По условию обозначим a=3 см и b=5 см. Для нахождения периметра параллелограмма воспользуемся формулой
(
P_{A B C D}=2(a+b)
)
Подставляя исходные данные, получим:
(
P_{A B C D}=2 cdot(3+5)=16
) (см)
Периметр параллелограмма равен
(
P_{A B C D}=16
)см
ПРИМЕР 2
Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 2 см, а меньшая диагональ – (
sqrt{3}
) см, а угол между ним (
30^{circ}
)
Сделаем рисунок (рис. 2).
По условию (
B D=sqrt{3}, A D=2
), а (
angle B D A=30^{circ}
) Рассмотрим (
Delta A B D
). Запишем теорему косинусов, для неизвестной стороны AB:
(
A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 B D cdot A D cdot cos angle B D A
)
Подставляя заданные значения, получим?
(
A B^{2}=(sqrt{3})^{2}+2^{2}-2 sqrt{3} cdot 2 cdot cos 30^{circ}
)
(
A B^{2}=3+4-2 sqrt{3} cdot 2 cdot frac{sqrt{3}}{2}
)
(
A B^{2}=7-6 Rightarrow A B=1(mathrm{см})
)
Периметр параллелограмма вычислим по формуле
(
P_{A B C D}=2(a+b)
)
Для данной задачи она запишется следующим образом:
(
P_{A B C D}=2(A B+A D)
)
Подставляя значения AB=1 и AD=2, получим:
(
P_{A B C D}=2 cdot(1+2)=6_{(mathrm{см})}
)
(
P_{A B C D}=6 mathrm{см}
)
Признаки параллелограмма
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2
Основные свойства параллелограмма
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
| AO = CO = | d 1 |
| 2 | |
| BO = DO = | d 2 |
| 2 |
AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
| a = | √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2 |
| 2 |
| b = | √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2 |
| 2 |
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
d 1 = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ
d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ
d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα
d 2 = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα
d 1 = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d 2 2
d 2 = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d 1 2
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
| d 1 = | 2S | = | 2S |
| d 2· sinγ | d 2· sinδ |
| d 2 = | 2S | = | 2S |
| d 1· sinγ | d 1· sinδ |
Периметр параллелограмма
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
P = 2 a + 2 b = 2( a + b )
P = 2 a + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
P = 2 b + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
Площадь параллелограмма
Формулы определения площади параллелограмма:
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Параллелограмм – четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
Противолежащие стороны параллелограмма имеют одинаковую длину. Периметр параллелограмма находят как удвоенную сумму двух его сторон:
Формулы для вычисления длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b);
2. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону и 2-е диагонали:
3. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону, высоту и sin угла:
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a , b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α , β — углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
S — площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):
Параллелограмм — геометрическая фигура, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.
Онлайн-калькулятор периметра параллелограмма
Свойства параллелограмма
Перечислим некоторые свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллелограмма попарно равны и параллельны.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Формула периметра параллелограмма
Чтобы найти периметр параллелограмма, нужно сложить длины всех его сторон.
P=a+b+a+b=2⋅a+2⋅b=2⋅(a+b)P=a+b+a+b=2cdot a+2cdot b=2cdot (a+b)
a,ba, b — длины двух смежных сторон параллелограмма.
Разберем задачу на нахождение периметра параллелограмма.
Сторона а параллелограмма равна 12 см, а сторона b — 7 см. Чему равен периметр параллелограмма?
Решение
a=12a=12
b=7b=7
Воспользуемся формулой нахождения периметра параллелограмма и подставим вместо aa и bb их численные значения:
P=2⋅(a+b)=2⋅(12+7)=2⋅19=38P=2cdot (a+b)=2cdot (12+7)=2cdot 19=38 см.
Ответ: 38 см.
Не знаете, где можно оформить контрольные работы на заказ? На бирже Студворк сотни авторов, которые готовы выполнить ваше задание!