Можно ли вписать окружность в параллелограмм и наоборот
Содержание:
-
Параллелограмм, вписанный в окружность
- Свойство радиуса окружности, описанной около прямоугольника
- Пример решения задачи. Параллелограмм и описанная окружность
-
Параллелограмм, описанный около окружности
- Радиус окружности, вписанной в ромб
- Задачи. Параллелограмм и вписанная окружность.
Параллелограмм, вписанный в окружность
Параллелограмм — это четырехугольник с попарно параллельными и равными противолежащими сторонами.
Все четыре стороны этой фигуры принадлежат одной плоскости.
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов равна 180°. Если сумма противоположных углов параллелограмма равна 180°, то такой параллелограмм — прямоугольник.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности.
Свойство радиуса окружности, описанной около прямоугольника
Радиус описанной окружности равен половине диагонали прямоугольника.
Пример решения задачи. Параллелограмм и описанная окружность
Задача 1
Дано: прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см.
Найти: радиус описанной окружности.
Решение: диагональ прямоугольника равна (sqrt{8^2+6^2}=10 (см)); следовательно, радиус описанной окружности равен 10÷2=5 (см).
Ответ: 5 см.
Параллелограмм, описанный около окружности
Когда параллелограмм можно описать около окружности? Другими словами — при каком условии можно вписать окружность или круг в параллелограмм?
Так как параллелограмм — это частный случай четырехугольника, будет действовать то же правило, что и для любого другого четырехугольника. Окружность можно вписать в параллелограмм, только если суммы его противоположных сторон равны.
Это условие выполняется только для тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).
Если в задаче дано, что в параллелограмм вписана окружность, то из этого условия можно сделать вывод, что все его стороны равны, и данный параллелограмм является ромбом. Если по условию один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.
Радиус окружности, вписанной в ромб
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти несколькими способами.
Если известны диагонали и сторона
Формула 1
(r=frac{Dd}{4a}), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- а — сторона ромба;
- D — большая диагональ;
- d — меньшая диагональ.
Если известны диагонали
Формула 2
(r=frac{Dd}{2sqrt{D^2+d^2}}), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- D — большая диагональ;
- d — меньшая диагональ.
Если известны сторона и угол
Формула 3
(r=frac{a·sinalpha}2), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- а — сторона ромба;
- α — острый угол.
Если известны диагонали и угол
Формула 4
(r=frac d2cosalpha/2=frac d{2sqrt2}sqrt{1+cosalpha})
Формула 5
(r=frac D2sin;alpha/2=frac D{2sqrt2}sqrt{1-cosalpha}), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- D — большая диагональ;
- d — меньшая диагональ;
- α — острый угол.
Если известны диагонали и сторона
Формула 6
(r=frac{Dsqrt{a^2-D^2/4}}{2a})
Формула 7
(r=frac{dsqrt{a^2-d^2/4}}{2a}), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- D — большая диагональ;
- d — меньшая диагональ;
- а — сторона ромба.
Если известна высота ромба
Формула 8
(r=frac h2), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- h — высота ромба.
Если известны площадь и полупериметр
Формула 9
(r=frac Sp), где:
- r — радиус вписанной окружности;
- S — площадь ромба;
- p — полупериметр ромба.
Задачи. Параллелограмм и вписанная окружность.
Задача 2
Дано: параллелограмм со вписанной окружностью. Одна из сторон параллелограмма равна 5 см.
Найти: периметр параллелограмма.
Решение: в параллелограмм можно вписать окружность только если это ромб. Четыре стороны ромба равны. Следовательно, периметр данного параллелограмма равен 5·4=20 (см).
Ответ: 20 см.
Задача 3
Дано: параллелограмм MNKP с диагоналями 12 см и 16 см. В MNKP вписана окружность.
Найти: радиус вписанной окружности.
Решение:
Из того, что в параллелограмм MNKP вписана окружность, делаем вывод, что MNKP — ромб.
Параллелограмм MNKP не является квадратом, так как его диагонали не равны. MK=16 см, NP=12 см.
ΔMOP прямоугольный, (∠MOP=90°. MO=8 см, OP=6 см. S_{MОР}=(8·6)÷2=24 (см^2)).
(S_{MNKP}=24·4=96 (см^2)).
По теореме Пифагора ( MP=sqrt{MО^2+ОР^2}=sqrt{8^2+6^2}=10 (см)).
Полупериметр MNKP равен 20 см.
Следовательно, радиус вписанной окружности равен
(r=frac Sp=96÷10=9,6 (см)).
Ответ: 9,6 см.
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.
Пусть длин сторон параллелограмма равны a и 
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: 
Периметр параллелограмма 
Ответ: 24.
Примечание.
Заметим, что если в параллелограмме равны суммы длин противоположных сторон, то все стороны параллелограмма равны, следовательно, данный параллелограмм является ромбом.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
При этом параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольника. Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для параллелограмма.
Определения:
Высота параллелограмма (h) — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.
Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат.
Свойства углов и сторон параллелограмма
- Сумма углов параллелограмма равна 360°
- Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
На рисунке: ∠A+∠B=180∘,∠A+∠D=180∘,∠C+∠B=180∘,∠C+∠D=180∘. - У параллелограмма противоположные углы равны.
На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D. - У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
На рисунке: AB||CD и BC||AD; AB=CD,BC=AD.
Диагонали параллелограмма
Признаки параллелограмма
- Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,BC=AD.
- Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
- Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,AB||CD.
- Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AO=CO,BO=DO.
Параллелограмм и окружность
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Основные формулы:
Стороны и диагональ связаны соотношением: 
Периметр параллелограмма: 
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
2. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Комментарий:
- a, b — длины сторон,
- d1, d2 –диагонали,
- P-периметр,
- S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне - α — угол между сторонами параллелограмма,
- γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).
Как найти периметр параллелограмма
В школьной программе, по геометрии, можно часто встретить задания, в которых необходимо найти периметр параллелограмма. Для его нахождения нужно использовать всего лишь одну простую формулу.
1
Что такое параллелограмм?
- Параллелограмм – в переводе с греческого означает параллельный.
- По своей структуре параллелограмм – это четырехугольник, стороны которого параллельны друг другу. Две его боковые стороны ложатся наискось. Каждая из сторон равна друг другу, т. е, равны противоположные углы. Но каждая из прилегающих сторон может отличаться размером.
- В основном четырехугольник обозначается большими заглавными буквами ABCD.
- Еще одной особенностью параллелограмма, является тот факт, что он может являться квадратом, прямоугольником или ромбом.
- Чтобы вычислить является ли четырехугольник параллелограммом, необходимо использовать правила нахождения параллелограмма. Одним из таких правил является тот факт, когда его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Считается, что общая сумма углов, которые лежат параллельно, должна равняться 180 °С, т.е. A + B + C + D = 180 °С. Чтобы вычислить, нужно использовать правило параллельных прямых.
2
Что такое площадь параллелограмма?
- Площадью параллелограмма называется геометрическая фигура, у которой есть основание, высота, а также боковые стороны равны между собой.
- Для того, чтобы приступить к вычислению площади параллелограмма необходимо знать его высоту, а также измерить боковые стороны.
- Существуют специальные теоремы и доказательства, при помощи которых легко вычислить площадь параллелограмма.
3
Как найти периметр параллелограмма?
- Чтобы найти общую численную характеристику параллелограмма необходимо использовать формулу. Такая формула может изменяться, зависимости от заданных значений.
- Чтобы найти периметр необходимо воспользоваться основной формулой: P = 2 * (a + b), где а – верхняя сторона, b – боковая сторона.
- Например, одна из боковых сторон параллелограмма – а равна 4 см, а сторона b, которая перпендикулярно ей – 6 см. Вычисли периметр, используя формулу: a = 6 см, b = 4 см. P = 2 * (6+4) = 10 * 2 = 20 см.
- Значит, периметр данного параллелограмма будет равен 20 см.
- Значение периметра может измеряться при помощи единицы измерения длины.
- Периметр параллелограмма всегда равен удвоенной сумме двух его сторон.
Кроме периметра, также при помощи формул можно найти любое значение данной геометрической фигуры: высоту, площадь, площадь по вписанной окружности и другие необходимые параметры.