Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:
Все стороны и углы одинаковы:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn
Основные свойства правильного многоугольника
1. Все стороны равны:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an
2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn
3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O
4. Сумма всех углов n-угольника равна:
180° · (n — 2)
5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:
β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°
6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O
Правильный n-угольник — формулы
Формулы длины стороны правильного n-угольника
1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формулы площади правильного n-угольника
1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула периметра правильного многоугольника:
Формула периметра правильного n-угольника:
P = na
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
Формула угла между сторонами правильного n-угольника:
 |
| Рис.3 |
Правильный треугольник
Формулы правильного треугольника:
1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r √3
2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:
a = R√3
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 3√3
7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного треугольника:
α = 60°
 |
| Рис.4 |
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольнику — квадрат.
Формулы правильного четырехугольника:
1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2
6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2
7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2
8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Правильный шестиугольник
Формулы правильного шестиугольника:
1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
a = R
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
R = a
5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 2√3
7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:
α = 120°
Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r · (√2 — 1)
2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2 — √2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:
S = a2 2(√2 + 1)
6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 8(√2 — 1)
7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
S = R2 2√2
8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:
α = 135°
Перейти к содержанию
На чтение 1 мин
Многоугольник – это геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.
a – сторона правильного многоугольника
A, B, C, D, E, F – вершины многоугольника
Периметр правильного многоугольника (P) равен произведению его стороны (a) на число сторон (n):
Вам также может понравиться
Дуга – это часть окружности, отсекаемая хордой.
0156
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных
0124
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных
0125
Эллипс – это множество точек плоскости, для которых
03.2к.
Шестиугольник – это многоугольник, который имеет шесть углов.
0446
Пятиугольник – это многоугольник, который имеет пять углов.
0349
Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна
089
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы и
092
Правильный многоугольник
- формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- формулы правильного n-угольника
- правильный треугольник
- правильный четырехугольник
- правильный шестиугольник
- правильный восьмиугольник
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.
a1=a2=a3=…=an-1=an
,
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
где a1…an — длины сторон правильного многоугольника,
α1…αn — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.
Основные свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an - Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn - Центр вписанной окружности Oв совпадает с центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O.
- Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
- Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
- Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
- В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.
Формулы правильного n-угольника
Формулы длины стороны правильного n-угольника
Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·tg180°n
(через градусы),
a = 2·r·tgπn
(через радианы)
Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
a = 2·R·sin180°n
(через градусы),
a = 2·R·sinπn
(через радианы)
Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
r = a:2·tg180°n
(через градусы),
r = a:2·tgπn
(через радианы)
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
R = a:2·sin180°n
(через градусы),
R = a:2·sinπn
(через радианы)
Формулы площади правильного n-угольника
Формула площади n-угольника через длину стороны
S = n·a24·ctg180°n
Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
S = n·r2·tg180°n
Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
S = n·R22·sin360°n
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.
P = n·a
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
Формула угла между сторонами правильного n-угольника
αn = n-2n·180°
Правильный треугольник
Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.
Формулы правильного треугольника
Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.
a = 2·r·3
Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.
a = R·3
r = a·36
R = a·33
Формула площади правильного треугольника через длину стороны
S = a2·34
Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·3·3
Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·34
Углы между сторонами правильного треугольника
α1=α2=α3=60°
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Формулы правильного четырехугольника
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.
a = 2·r
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.
a = R·2
Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.
r = a2
Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.
R = a·22
Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.
S = a2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.
S = 4·r2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.
S = 2·R2
Углы между сторонами правильного четырехугольника
α1=α2=α3=α4=90°
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.
Формулы правильного шестиугольник
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·33
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
a = R
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
r = a·32
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
R = a
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
S = a2·3·32
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·2·3
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·32
Углы между сторонами правильного шестиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.
Формулы правильного восьмиугольника
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·2-1
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
a = R·2-2
Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
r = a·2+12
Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
R = a·4+222
Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны
S = a2·2·2+1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·8·2-1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·2·2
Углы между сторонами правильного восьмиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°
- Коротко о важном
- Таблицы
- Формулы
- Формулы по геометрии
- Теория по математике
Формула расчета периметра многоугольника
Содержание:
-
Что такое периметр многоугольника
- Свойства многоугольника
-
Как вычислить периметр правильного многоугольника
- Свойства правильного многоугольника
- Формула
-
Для неправильного многоугольника
- Описание
- Формула
-
По заданным координатам
- Как начертить многоугольник
- Формула для расчета периметра
- Примеры решения задач
Что такое периметр многоугольника
Определение
Периметр многоугольника в геометрии — это результат сложения длин всех его сторон.
Свойства многоугольника
- Все стороны прямые.
- Стороны не пересекаются (кроме звездчатых).
- Двумерная фигура.
- Сумма внешних углов всегда равна 360º.
- Сумма внутренних углов равна (frac{n(n-3)}2) (для правильных фигур).
Как вычислить периметр правильного многоугольника
Свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны.
- Все углы равны.
- Центр равно удален ото всех вершин и сторон.
- Сумма всех углов равна 180º×(n−2).
- Все внешние углы при сложении их градусных мер дадут 360º.
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и пересекают центр фигуры.
- Возможно вписать окружность и описать круг. Площадь кольца зависит от длины стороны многоугольника.
Формула
P=a×n
где a — длина стороны, n — количество сторон.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для неправильного многоугольника
Описание
У неправильного многоугольника все стороны разного размера.
Формула
Его периметр (P) можно рассчитать, сложив все длины его сторон (a, b, c,d и т.д.). Это первый способ.
P=a+b+c+d+…
Второй способ: если есть стороны с одинаковыми длинами, формулу можно сократить, использовав умножение.
Пример
Дан прямоугольник со сторонами 4см, 4см, 2см и 2см. Чтобы узнать периметр, можно просто их все сложить, как показано в формуле выше. А можно сделать так: 4×2+2×2, так как стороны попарно равны.
Этот способ подойдет и для фигур с большим количеством сторон, некоторые из которых равны.
Пример
Дан восьмиугольник со сторонами 5см, 5см, 3см, 3см, 3см, 2см и 1см. Периметр можно высчитать сложением, а можно считать так: 5×2+3×3+2+1.
По заданным координатам
Как начертить многоугольник
Еще один способ вычисления периметра многоугольника — построить фигуру на координатной прямой.
Для этого нужно:
- Построить координатные оси.
- Нанести на них заданные координаты (длины) сторон. Соединить точки.
Формула для расчета периметра
Далее нужно находить длины всех получившихся сторон.
- Размеры прямых сторон легко узнавать методом подсчета координатных меток между точками сторон. Записать получившиеся значения рядом со сторонами.
- Найти длину наклонных сторон. Это можно сделать по формуле: (d=sqrt{left(x_2-x_1right)^2+left(y_2-y_1right)^2})
Примечание
В формулу нужно подставить вместо x и y координаты сторон.
3. Найти периметр сложением длин всех сторон по формуле для неправильного многоугольника: P=a+b+c+d…, где a,b,c,d… — длины сторон. А если получился правильный: P=a×n, где a — длина стороны, а n — количество сторон фигуры.
Примеры решения задач
Примечание
Задания приведены разного уровня сложности. Расположены по принципу «от простого к сложному».
Во всех задачах нужно найти периметр фигур. Этот вопрос дублироваться в каждом примере ниже не будет.
Пример 1
Дан треугольник ABC. AB=28см, BC=51см, AC=46см.
Решение
P=AB+BC+AC=28+51+46=125см
Пример 2
В прямоугольнике ABCD длина синей стороны 12 см, а красной 18 см.
Решение
AD=BC=12см
AB=CD=18см.
P=12×2+18×2=24+36=60см.
Пример 3
Дан квадрат со стороной 12 см.
Решение
Мы знаем, что все стороны квадрата одинаковые. Их всего 4. Значит, P=12×4=48см.
Пример 4
Дана фигура (данные на рисунке).
Решение
На рисунке мы видим восьмиугольник. У него шесть сторон по 10 см и две стороны по 8 см. Значит, P=10×6+8×2=60+16+76см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 2.20 (Голосов: 5)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Среди геометрических фигур очень большую часть составляют многоугольники. Это квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, трапеция и другие n-угольники (n — количество сторон многоугольника).
Периметр любого многоугольника – это сумма длин всех его сторон.
Онлайн-калькулятор периметра многоугольника
Формула периметра многоугольника
P=a+b+c+d+e+…P=a+b+c+d+e+…,
где a,b,c,d,e,…a, b, c, d, e,… — длины сторон многоугольника.
Частным случаем многоугольника является так называемый правильный многоугольник.
Правильный многоугольник – это такой многоугольник, у которого все стороны равной длины.
Если говорить о периметре правильного многоугольника, то его можно найти, умножив длину стороны фигуры на количество сторон.
P=n⋅aP=ncdot a
aa — длина стороны многоугольника;
nn — количество сторон многоугольника.
Разберем задачи на нахождение периметра правильного и неправильного многоугольников.
Найти периметр правильного шестиугольника со стороной 10 см.
Решение
a=10a=10
n=6n=6
Воспользуемся формулой для нахождения периметра правильного шестиугольника и подставим вместо aa численное значение:
P=n⋅a=6⋅10=60P=ncdot a=6cdot 10=60 см.
Ответ: P=60P=60 см.
Стороны многоугольника равны 6 см, 5 см, 2 см, 3 см и 1 см. Найти периметр данной фигуры.
Решение
a=6a=6
b=5b=5
c=2c=2
d=3d=3
e=1e=1
В данной задаче нам дан неправильный многоугольник, так как его стороны разной длины. В этом случае нам подходит первая стандартная формула нахождения периметра. Сложим длины всех сторон многоугольника и найдем его периметр:
P=a+b+c+d+e=6+5+2+3+1=17P=a+b+c+d+e=6+5+2+3+1=17 см.
Ответ: P=17P=17 см.
Ищете, где где можно заказать контрольную работу недорого? Обратитесь к нашим экспертам!