Перейти к содержанию
Периметр правильного пятиугольника
На чтение 1 мин
Пятиугольник – это многоугольник, который имеет пять углов.
Правильный пятиугольник – это выпуклый пятиугольник, у которого все углы и все стороны равны.
a – сторона правильного пятиугольника
A, B, C, D, E – вершины пятиугольника
Периметр правильного пятиугольника (P) равен сумме 5-ти его сторон (a) или:
Вам также может понравиться
Дуга – это часть окружности, отсекаемая хордой.
0156
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных
0125
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных
0125
Эллипс – это множество точек плоскости, для которых
03.3к.
Многоугольник – это геометрическая фигура, которая
0149
Шестиугольник – это многоугольник, который имеет шесть углов.
0452
Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна
090
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы и
092
Периметр пятиугольника
Пятиугольник – это многоугольник, который имеет пять углов.
Правильный пятиугольник – это выпуклый пятиугольник, у которого все углы и все стороны равны.
a – сторона правильного пятиугольника
A , B , C , D , E – вершины пятиугольника
Периметр правильного пятиугольника (P) равен сумме 5-ти его сторон ( a ) или:
Периметр пятиугольника (пентагона).
Пятиугольник (пентагон) — геометрическая фигура, ограниченная пятью отрезками. произвольный пятиугольник может иметь разные стороны, разные углы и строиться с самопересечениями, однако такая форма многоугольника крайне редко встречается в реальности.
Формула расчёта периметра пятиугольника (пентагона) зная длину сторон: p = a × 5,
где a — длина стороны.
Формула расчёта периметра пятиугольника (пентагона) зная радиус вписанной окружности: a = 1,4131 × r,
где r — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта периметра пятиугольника (пентагона).
Формула расчёта периметра пятиугольника (пентагона) зная радиус описанной окружности: a = 1,1756 × r,
где r — радиус описанной окружности, дальше используем формулу расчёта периметра пятиугольника (пентагона).
Как найти периметр фигуры
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение периметра
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.
В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.
Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.
Формулы нахождения периметра
Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.
Равносторонний многоугольник
У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.
P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.
P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.
Окружность
У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.
L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!
Решение задач
Площадь прямоугольника равна 80 см 2 , длина составляет 10 см. Чему равен периметр фигуры?
- Для использования формулы P = 2 × (a + b), нам нужно найти ширину;
- Так как S = a × b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 80 : 10 = 8 см;
- Далее подставляем известные данные в формулу: (10 +
× 2 = 36 см;
× 2 = 36 см;Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?
- Мы знаем, что периметр — это сумма длин всех сторон, а значит, если вычесть из данного периметра сторону основания — получим сумму двух оставшихся сторон: 40 − 6 = 34 см;
- Известно, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны;
- Далее делим получившуюся сумму на два: 34 : 2 = 17 см;
Ответ: две другие стороны равны по 17 см.
Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.
- Периметр равностороннего пятиугольника равен 4 × 5 = 20 см, значит, радиус окружности равен 20 см;
- Длина окружности равна π × 2 × 20 = 40π см;
Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
http://codemg.ru/geometry/perimetr_pyatiugolnika.php
http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-figury
Как найти периметр пятиугольника
Нахождение периметра пятиугольника — задача, требующая обширных теоретических знаний, пространственного и логического мышления. Важно также и правильно оформить решение.
Вам понадобится
- — Тетрадь;
- — линейка;
- — карандаш;
- — ручка;
- — калькулятор.
Инструкция
Пятиугольник – это многоугольник с пятью углами. Пятиугольники бывают правильными и неправильными. Правильный пятиугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.
Неправильный пятиугольник – это многоугольник, стороны и углы которого не равны. В базовом курсе геометрии чаще рассматриваются правильные пятиугольники.
Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр пятиугольника, вычислите длину каждой стороны, а затем сложите их.
Если в задаче дано, что сторона правильного пятиугольника АВСDF равна 5 см, то периметр его будет равен:
P = 5АВ
P = 5*5 = 25
В данном случае вы просто умножаете длину стороны пятиугольника на количество сторон, т.к. все они равны между собой (Рис.1).
Если же в задании вам встретился неправильный пятиугольник, то вы должны сначала найти длину каждой его стороны, а потом сложить их.
К примеру, в задаче говорится, что ВО = 8, ОF = 4, ВС = 7, угол ВОА = 90, угол ОАМ = 45, ОМ = 3, АВ = DF, ВС = СD. Вначале рассмотрите треугольник АОВ: ВО = 8. Из условия следует, что АО = ОF = 4. Треугольник АОВ является прямоугольным. АО и ОF – катеты, АВ – гипотенуза. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Следовательно, АВ ^2 = АО ^2 + ОF ^2.
АВ ^2 = 8^2 + 4^2
АВ ^2 = 64 + 16
АВ ^2 = 80
АВ = √80
АВ = 8,94
АВ = DF = 8,94.
Затем рассмотрите треугольник АОF. АО = ОF = 4, ОМ = 3. Угол АОВ = DОF = 90 (как накрест лежащие). Следовательно, АОМ = ВОD (как накрест лежащие), и значит АОМ + ВОD = 360 — АОВ + DОF = 180. АОМ = 90.
Отсюда следует, что треугольник АОF – прямоугольный.
Значит угол АМО = АОМ – ОАМ,
АМО = 90 – 45, АМО = 45.
Следовательно, треугольник АОF – равнобедренный. А в равнобедренных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Значит АМ = ОМ = 3.
Отсюда АF = 2АМ = 6.
Теперь вы можете вычислить периметр пятиугольника АВСDF.
Р = 8,94*2+7*2+6
Р = 37,88
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Пятиугольник — это многоугольник с пятью углами. Если углы и стороны такого многоугольника равны, то он считается правильным и называется пентагон. Это оригинальная фигура, которую большинство людей встречает только в учебнике по геометрии.
Геометрия пятиугольника
Пятиугольник — геометрическая фигура, ограниченная пятью отрезками. Произвольный пятиугольник может иметь разные стороны, разные углы и строиться с самопересечениями, однако такая форма многоугольника крайне редко встречается в реальности. Самой распространенной формой пятиугольника считается пентагон — выпуклый многоугольник с равными сторонами и углами. Геометрическая фигура считается выпуклой, если все точки фигуры лежат с одной стороны от любой прямой, проведенной через две соседние вершины.
В отличие от треугольника, изучение которого не прерывалось на протяжении веков, все тайны пятиугольника были открыты еще в Древней Греции. В третьем веке до нашей эры Евклид описал метод построения пентагона с помощью линейки и циркуля. Пифагор изучал диагонали пентагона, которые образуют отдельную фигуру — пентаграмму, идеальную по мнению античного ученого, так как отношение сторон пентаграммы и пентагона демонстрирует золотое сечение.
Пятиугольник в реальности
В человеческой повседневности пятиугольник встречается редко, так как пентагоном невозможно замостить плоскость без пробелов, а пентагональные призмы неудобно хранить. Форма пентагона используется обычно в архитектуре, и наиболее известным объектом, имеющим форму правильного пятиугольника, является здание министерства обороны США.
Додекаэдр – трехмерное воплощение пятиугольника, является правильным многогранником, каждая сторона которого — пентагон. В древности были распространены римские додекаэдры — бронзовые объекты, составленные из 12 пятиугольников, однако истинное назначение предметов до сих пор не выяснено. Сегодня наиболее очевидным реальным додекаэдром является игральная кость, которая выступает в качестве генератора случайных чисел для настольных ролевых игр.
В природе форма пятиугольника не встречается, однако некоторые организмы, например иглокожие, обладают пентасимметрией. Кроме того, в природе не существует кристаллов, грани которых были бы пятиугольными.
Периметр пентагона
Периметр любой геометрической фигуры — это сумма длин всех сторон. Пентагон имеет пять равных сторон, поэтому его периметр находится по простой формуле:
P = 5 a,
где a – длина одной стороны.
Сторона пятиугольника и радиусы вписанной r и описанной R окружностей приблизительно соотносятся как:
- a = 1,1756 R
- a = 1,4131 r
Таким образом, алгоритм нашего калькулятора позволяет рассчитать периметр пентагона, зная только один из трех параметров на выбор:
- сторона;
- радиус описанной окружности;
- радиус вписанной окружности.
Рассмотрим пару примеров на определение периметра правильного пятиугольника.
Примеры из жизни
Пентагон
Пентагон — всемирно известное здание, в котором располагается штаб министерства обороны США. Объект получил название благодаря своей форме, так как здание геометрически является правильным пятиугольником. Давайте посчитаем периметр Пентагона. Согласно данным из Википедии, каждая сторона здания равна 281,05 м. Зная сторону, мы можем легко вычислить периметр штаба:
P = 1 405,25
Таким образом, суммарная длина сторон Пентагона составляет практически полтора километра.
Школьная задача
Допустим, вам нужно определить периметр правильного пятиугольника, зная, что радиус описанной вокруг него окружности равен 5 см. Вы можете последовательно использовать приведенные выше соотношения для вычисления стороны пентагона, а затем и его периметра. Давайте сэкономим время и просто введем значение в форму калькулятора «Радиус описанной окружности R».
P = 29,38
Помимо периметра, калькулятор определил значения стороны пентагона, а также радиус вписанной в него окружности.
Заключение
Правильный пятиугольник — достаточно редкая в человеческой повседневности и природе фигура. Впрочем, вычисление параметров пентагона может понадобиться вам при решении школьных задач или рабочих вопросов. Используйте для этих целей наш онлайн-калькулятор, который определяет периметр пятиугольника, зная только один параметр фигуры.
Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник — это такой пятиугольник у которого все пять сторон равны и его пять углов равны.
Правильный пятиугольник
Центр правильного пятиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.
Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.
Отрезки OA, OB — радиусы правильного пятиугольника.
Обозначения на рисунке для правильного пятиугольника
| n=5 | число сторон и вершин правильного пятиугольника, | шт |
|---|---|---|
| α | центральный угол правильного пятиугольника, | радианы, ° |
| β | половина внутреннего угла правильного пятиугольника, | радианы, ° |
| γ | внутренний угол правильного пятиугольника, | радианы, ° |
| a | сторона правильного пятиугольника, | м |
| R | радиусы правильного пятиугольника, | м |
| p | полупериметр правильного пятиугольника, | м |
| L | периметр правильного пятиугольника, | м |
| h | апофемы правильного пятиугольника, | м |
Основные формулы для правильного пятиугольника
Периметр правильного пятиугольника
[ L = 5a ]
Полупериметр правильного пятиугольника
[ p = frac{5}{2}a ]
Центральный угол правильного пятиугольника в радианах
[ α = frac{2}{5}π ]
Центральный угол правильного пятиугольника в градусах
[ α = frac{360°}{5} = 72° ]
Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в радианах
[ β = frac{3}{10}π ]
Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в градусах
[ β = frac{3}{10}180° = 54° ]
Внутренний угол правильного пятиугольника в радианах
[ γ = 2β = frac{3}{5}π ]
Внутренний угол правильного пятиугольника в градусах
[ γ = frac{3}{5}180° = 108° ]
Площадь правильного пятиугольника
[ S = ph = frac{5}{2}ha ]
Или учитывая формулу Площади правильного пятиугольника получим
[ S = frac{5}{2} a sqrt{Big(frac{a}{2 sin(π/5)}Big)^2-frac{a^2}{4}} ]
Отсюда получим апофему правильного пятиугольника
[ h = sqrt{Big(frac{a}{2 sin(π/5)}Big)^2-frac{a^2}{4}} ]
Правильный пятиугольник |
стр. 269 |
|---|