Как найти периметр прямого треугольника 4 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
S — площадь треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
b, c — известные стороны треугольника;
ɑ — угол между известными сторонами;
a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника;
h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любой катет прямоугольника;
c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Источник

Периметр прямоугольного треугольника

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

Нахождение периметра прямоугольного треугольника мало чем отличается от нахождения периметра любой другой фигуры. Здесь не существует специализированной формулы, разница только лишь в подходах к решению задач.

Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника

Как уже говорилось ранее, специализированных формул периметра прямоугольного треугольника нет. Чтобы найти периметр нужно просто просуммировать длины всех трех сторон.

Рис. 1. Произвольный треугольник

Но для треугольника действуют тригонометрические отношения, теорема Пифагора и ряд специальных формул площади. Эти формулы открывают целый набор подходов к решению задач, которые не характерны для произвольной фигуры. Рассмотрим несколько вариантов нахождения периметра прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Периметр прямоугольного треугольника

Задача 1

В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче 1

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов. Значение площади уже есть, значит, нужно найти второй катет и гипотенузу. Обозначим катеты латинскими буквами a и b, а гипотенузу буквой c. Пусть а=6.

Тогда: $$S={1over 2}*a*b=24$$

$$S={1over 2}*6*b=24$$

$$3b=24$$

b=8

Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.

$$c^2=a^2+b^2$$

$$c=sqrt{a^2+b^2}$$

$$c=sqrt{36+64}=10$$

Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:

P=a+b+c=10+8+6=24

Задача 2

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.

Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.

В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.

Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:

$$Cos(BAC)={ABover AC}={sqrt{3}over2}$$

$$AC={ABover {cos(BAC)}}$$

$$AC={8over{sqrt{3}over 2}}={16oversqrt{3}}=9,24$$ – значение округлим до сотых

BC найдем через значение тангенса.

$$tg(BAC)={BCover AB}={1oversqrt{3}}$$

$$BC=AB*{1oversqrt{3}}={ABoversqrt{3}}$$

$$BC={8oversqrt{3}}=4,62$$

Вычисление периметра произведем по общей формуле:

P=8+9,24+4,62=21,86

Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.

Найдем BC через значение тангенса.

$$tg(ACB)={ABover BC}={1oversqrt{3}}$$

$$BC={ABover {1oversqrt{3}}}=AB*sqrt{3}=8*sqrt{3}=13,86$$

Гипотенузу найдем через значение синуса.

$$sin(ACB)={ABover AC}={1over 2}$$

$$AC={ABover sin(ACB)}={ABover {1over 2}}=2*AB=2*8=16$$

Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.

Что мы узнали?

Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

А какая ваша оценка?

Источник

Загрузить PDF

Периметр треугольника — это общая длина всех его сторон.^[1] Самый простой способ найти периметр треугольника заключается в том, чтобы сложить длины всех его сторон, однако если вы не знаете длину хотя бы одной стороны треугольника, необходимо сначала найти ее. В первом разделе данной статьи рассказано, как вычислить периметр треугольника по трем известным сторонам — это наиболее простой и распространенный метод. Затем показано, как найти периметр прямоугольного треугольника, если известны длины двух сторон. И наконец, описано, как с помощью теоремы косинусов рассчитать периметр любого треугольника, если даны две стороны и угол между ними.

1
Запомните формулу, которая позволяет вычислить периметр треугольника. Если треугольник имеет стороны a, b и c, его периметр P равен: P = a + b + c.
- Таким образом, чтобы найти периметр треугольника, следует сложить длины всех трех его сторон.
2
Посмотрите на треугольник и узнайте длины всех трех сторон. Предположим, треугольник имеет следующие стороны: a = 5, b = 5 и c = 5.
- Рассматриваемый треугольник называется равносторонним, так как все три его стороны имеют одинаковую длину. Тем не менее формула для расчета периметра справедлива для любого треугольника.
3
Сложите длины всех трех сторон, чтобы найти периметр. В нашем примере 5 + 5 + 5 = 15, то есть P = 15.
- Рассмотрим другой пример: a = 4, b = 3 и c=5. В этом случае периметр равен: P = 3 + 4 + 5 = 12.
4
В ответе не забывайте указывать единицу измерения. Если стороны измеряются в сантиметрах, окончательный ответ также должен быть приведен в сантиметрах. Ответ должен быть в тех же единицах, в которых приведены длины сторон в условии задачи.
- В приведенном примере длина каждой стороны составляет 5 сантиметров, поэтому периметр равен 15 сантиметрам.
Реклама

1

Запомните, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольным называется такой треугольник, один из углов которого является прямым, то есть равен 90 градусам. Самая длинная сторона такого треугольника всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Прямоугольные треугольники очень часто встречаются в задачах по математике. К счастью, есть формула, с помощью которой всегда можно рассчитать длину неизвестной стороны!
2

Вспомните теорему Пифагора. Эта теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c стороны связаны следующим соотношением: a² + b² = c².^[2]
3

Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте стороны как a, b и c. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника — это гипотенуза. Она лежит напротив прямого угла. Обозначьте гипотенузу как c, а более короткие стороны — как a и b. Неважно, какой катет вы обозначите буквой a, а какой — буквой b, так как это не повлияет на конечный результат.
4
Подставьте в формулу значения известных сторон. Помните, что a² + b² = c². Вместо букв подставьте числа, данные в условии задачи.
- Предположим, в условии дано, что a = 3 и b = 4, тогда получаем: 3² + 4² = c².
- Если катет a = 6 и гипотенуза c = 10, тогда можно записать: 6² + b² = 10².
5
Решите полученное уравнение, чтобы найти неизвестную сторону. Для этого сначала возведите в квадрат известные длины сторон (просто умножьте данное число само на себя, например 3² = 3 * 3 = 9). Если вы ищете гипотенузу, сложите квадраты двух сторон и из полученной суммы извлеките квадратный корень. Если необходимо найти катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и из полученного числа извлеките квадратный корень.
- В первом примере складываем квадраты сторон 3² + 4² = c² и получаем 25= c². После этого извлекаем квадратный корень из 25 и находим c = 5.
- Во втором примере складываем квадраты сторон 6² + b² = 10² и получаем 36 + b² = 100. Переносим 36 в правую сторону уравнения: b² = 64. Извлекаем квадратный корень из 64 и находим b = 8.
6
Сложите длины трех сторон, чтобы найти периметр. Как мы помним, периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c. После того как мы нашли длины сторон a, b и c, необходимо сложить их, чтобы определить периметр.
- В первом примере: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- Во втором примере: P = 6 + 8 + 10 = 24.
Реклама

1

Выучите теорему косинусов. Эта теорема позволяет вычислить неизвестную сторону треугольника, если даны длины двух других сторон и величина угла между ними. Теорема косинусов очень полезна, она справедлива для всех треугольников. Эта теорема гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими им углами A, B и C справедлива следующая формула: c² = a² + b² – 2ab cos(C).^[3]^[4]
2
Дайте обозначения сторонам и углам треугольника. Обозначьте первую известную сторону как a, а противоположный ей угол — как A. Вторую известную сторону и противолежащий ей угол обозначьте соответственно b и B. Известный угол между этими сторонами обозначьте как C, а противолежащую ему сторону, длину которой необходимо найти, — как c.
- Предположим, дан треугольник со сторонами 10 и 12 и углом между ними 97°. В этом случае имеем: a = 10, b = 12, C = 97°.
3
Подставьте известные значения в формулу и найдите неизвестную сторону с. Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите полученные значения. Затем найдите косинус угла С с помощью обычного или онлайн-калькулятора.^[5] Умножьте cos(C) на 2ab и вычтите полученное число из суммы a² + b². В результате вы получите c². Извлеките квадратный корень, чтобы найти длину неизвестной стороны c. В нашем примере имеем:
- c² = 10² + 12² – 2 × 10 × 12 × cos(97°).
- c² = 100 + 144 – (240 × -0,12187) (мы округлили значение косинуса до 5 знаков после запятой).
- c² = 244 – (-29,25).
- c² = 244 + 29,25 (два минуса дают плюс!).
- c² = 273,25.
- c = 16,53.
4
Используйте вычисленную длину стороны c, чтобы найти периметр треугольника. Напомним, что периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c, то есть следует прибавить к известным величинам сторон a и b найденную длину стороны c.
- В нашем примере получаем: 10 + 12 + 16,53 = 38,53. Итак, периметр треугольника равен 38,53!
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 270 082 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти периметр треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Периметр прямоугольного треугольника

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 239.

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 239.

Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника

Рис. 1. Произвольный треугольник

Задача 1

В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.

Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.

Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:

Задача 2

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.

Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:

BC найдем через значение тангенса.

Вычисление периметра произведем по общей формуле:

Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.

Найдем BC через значение тангенса.

Гипотенузу найдем через значение синуса.

Что мы узнали?

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Формула

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника нужно найти сумму длин его сторон.

Таким образом, если $ABC$ — прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ — длинны катетов, а $c$ — длина гипотенузы, то периметр находится по формуле:

Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника

Задание. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 дм и 4 дм, а гипотенуза — 5 дм. Найти его периметр.

Решение. Найдем периметр этого треугольника по формуле

Подставляя заданные длины сторон, получим:

Ответ. $P_<Delta A B C>=12$ (дм)

Задание. В прямоугольном треугольнике $ABC$ длина гипотенузы и одного из катетов соответственно равны 13 м и 12 м. Найти периметр $Delta A B C$.

Решение. Введем обозначение $a$ и $b$ — дины катетов, $c$ — длина гипотенузы. По условию $c=13$ м и $a=12$ м. Длину $b$ второго катета найдем по теореме Пифагора:

Подставляя заданные длины сторон, получим

Теперь по формуле

можем найти искомый периметр:

Ответ. $P_<Delta A B C>=30$ (м)

источники:

http://obrazovaka.ru/matematika/perimetr-pryamougolnogo-treugolnika-formula.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_15_2.php

Источник

Основные определения

Наверное, каждый из нас сталкивался с треугольником. Это могло быть в школе, вузах, колледжах, на работе, во время помощи детям. Треугольник – это одна из самых простых геометрических фигур, но в то же время она выполняет очень важную роль. Множество свойств хранит треугольник. Но сегодня не будем вдаваться в подробности, а поговорим про периметр и порешаем задачи по нахождению его.

Если мы отметим на плоскости 3 точки и проведём к ним линии, то как раз получим треугольник.

Понятия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, которые соединены отрезками – сторонами. В зависимости от отношений между сторонами фигуры, то они бывают равносторонними, разносторонними и равнобедренными (р/б – равнобедренный, р/с – равносторонний).

Вершины треугольника – это точки, где соединяются 2 стороны фигуры.

Р/б треугольник – это треугольник у которого две стороны равны, но не равны третьей.

Р/с треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой.

Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны не равны между собой.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у у которого один угол равен 90^о. Самая длинная сторона называется гипотенузой, а две другие катетами.

Формула нахождения периметра

Из определения следует, что периметр геометрической фигуры – это сумма длин всех сторон, и треугольник не стал исключением. Общая формула имеет вид: Р = а + b + с. Периметр будет обозначаться Р. а, b и с — стороны треугольника. Решим задачу №1.

Задача 1

Пусть нам дан треугольник со сторонами 13 см, 15 см, 12 см. Нужно найти периметр данного треугольника.

Решение: [P=13+15+12=40] см.

Ответ: 40 см.

Периметр разностороннего треугольника

В прошлой задаче мы как раз нашли периметр разностороннего треугольника. Решим похожую задачу №2

Задача 2

Дан треугольник со сторонами 25 дм, 30 дм, 15 дм. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в метрах.

Решение:

P = 30 + 25 + 15 = 70 дм

70 : 10 = 7 м

Ответ: 7 м.

Периметр равнобедренного треугольника

Так как в р/б треугольнике 2 стороны равны (боковые), то формулу нахождения можно представить как: P = 2a + b. Решим 2 задачи.

Задачи 3 — 4

Дан равнобедренный треугольник АВС с биссектрисой, проведённой к основанию и равной 4 см, а также с боковой
стороной, равной 5 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Так как ВН – биссектриса р/б треугольника АВС, то она является как высотой, так и медианой. Следовательно, ΔАВН прямоугольный и АН = НС.

В ΔАВН по теореме Пифагора [A H^{2}=A B^{2}-B H^{2}=25-16=9]см

АН = НС = √9 = 3 см

АС = АН + НС = 3 + 3 = 6 см

Р = 6 + 2*5 = 16 см

Ответ: 16 см.

В треугольнике ДСВ ДС = СВ = 15 см, высота СК = 9 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

В ΔСКД по теореме Пифагора:

[text { ДК² }=text { ДС }^{2}-mathrm{CK}^{2}=225-81=144]см

ДК = √144 = 12 см.

Так как СК — высота в р/б треугольнике, проведённая к основанию, то она является медианой, следовательно, ДВ = ДК + КВ = 12 + 12 = 24 см.

Р = ДС + СВ + ДВ = 15 + 15 + 24 = 54 см.

Ответ: 54 см.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Периметр равностороннего треугольника

А это один из самых “хороших” треугольников, его ещё называют правильным, так как все стороны и углы равны между собой. Формула нахождения периметра будет иметь вид: P = 3a.

Задачи 5 — 6

Дан равносторонний треугольник со стороной а = 13. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Р = 3а = 3 * 13 = 39

Ответ: 39.

В равностороннем треугольнике АВС есть стороны: АВ = АС = СВ = 15 см, Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Р = 3АВ = 15 * 3 = 45 см.

Ответ: 45 см.

Периметр прямоугольного треугольника

Вычисляем по стандартной формуле: Р = а + в + с. Но у такого вида треугольников есть огромное преимущество – применение теоремы Пифагора.

Задачи 7 — 8

Дан прямоугольный треугольник с катетами а = 6 и в = 8. Найдите периметр.

Решение:

По теореме Пифагора: [c^{2}=в^{2}+a^{2}=64+36=100]

с = √100 = 10

Р = а + в + с = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: 24.

В прямоугольном треугольнике АВС, [angle mathrm{A}=90^{circ}, mathrm{AB}=9 mathrm{~см}, mathrm{AC} = 12см]. Надо найти периметр и площадь АВС.

Решение

По теореме Пифагора в ΔАВС:

[mathrm{CB}^{2}=mathrm{AC}^{2}+A mathrm{C}^{2}=144+81=225 mathrm{~см}]

СВ = √225 = 15 см

S = (АС * АВ) : 2 = (9 * 12) : 2 = 54 см

P = 15 + 9 + 12 = 36 см

Ответ: 36 см; 54 см.

Источник