Как найти периметр прямоугольника в прямоугольном треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формула
Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника

Формула

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника нужно найти сумму длин его сторон.

Таким образом, если $ABC$ — прямоугольный треугольник, в
котором
$a$ и
$b$ — длинны катетов, а
$c$ — длина гипотенузы, то периметр находится по формуле:

$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$

Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника

Пример

Задание. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 дм и 4 дм, а гипотенуза —
5 дм. Найти его периметр.

Решение. Найдем периметр этого треугольника по формуле

$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$

Подставляя заданные длины сторон, получим:

$P_{Delta A B C}=a3+4+5=12$ (дм)

Ответ. $P_{Delta A B C}=12$ (дм)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В прямоугольном треугольнике
$ABC$ длина гипотенузы и одного из катетов соответственно равны
13 м и 12 м. Найти периметр $Delta A B C$.

Решение. Введем обозначение
$a$ и
$b$ — дины катетов,
$c$ — длина гипотенузы. По условию
$c=13$ м и
$a=12$ м. Длину
$b$ второго катета найдем по теореме Пифагора:

$$b=sqrt{c^{2}-a^{2}}$$

Подставляя заданные длины сторон, получим

$b=sqrt{13^{2}-12^{2}}=sqrt{169-144}=sqrt{25}=5$ (м)

Теперь по формуле

$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$

можем найти искомый периметр:

$P_{Delta A B C}=13+12+5=30$ (м)

Ответ. $P_{Delta A B C}=30$ (м)

Читать дальше: как найти периметр равнобедренного треугольника.

Источник

Периметр прямоугольного треугольника

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

Нахождение периметра прямоугольного треугольника мало чем отличается от нахождения периметра любой другой фигуры. Здесь не существует специализированной формулы, разница только лишь в подходах к решению задач.

Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника

Как уже говорилось ранее, специализированных формул периметра прямоугольного треугольника нет. Чтобы найти периметр нужно просто просуммировать длины всех трех сторон.

Рис. 1. Произвольный треугольник

Но для треугольника действуют тригонометрические отношения, теорема Пифагора и ряд специальных формул площади. Эти формулы открывают целый набор подходов к решению задач, которые не характерны для произвольной фигуры. Рассмотрим несколько вариантов нахождения периметра прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Периметр прямоугольного треугольника

Задача 1

В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче 1

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов. Значение площади уже есть, значит, нужно найти второй катет и гипотенузу. Обозначим катеты латинскими буквами a и b, а гипотенузу буквой c. Пусть а=6.

Тогда: $$S={1over 2}*a*b=24$$

$$S={1over 2}*6*b=24$$

$$3b=24$$

b=8

Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.

$$c^2=a^2+b^2$$

$$c=sqrt{a^2+b^2}$$

$$c=sqrt{36+64}=10$$

Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:

P=a+b+c=10+8+6=24

Задача 2

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.

Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.

В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.

Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:

$$Cos(BAC)={ABover AC}={sqrt{3}over2}$$

$$AC={ABover {cos(BAC)}}$$

$$AC={8over{sqrt{3}over 2}}={16oversqrt{3}}=9,24$$ – значение округлим до сотых

BC найдем через значение тангенса.

$$tg(BAC)={BCover AB}={1oversqrt{3}}$$

$$BC=AB*{1oversqrt{3}}={ABoversqrt{3}}$$

$$BC={8oversqrt{3}}=4,62$$

Вычисление периметра произведем по общей формуле:

P=8+9,24+4,62=21,86

Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.

Найдем BC через значение тангенса.

$$tg(ACB)={ABover BC}={1oversqrt{3}}$$

$$BC={ABover {1oversqrt{3}}}=AB*sqrt{3}=8*sqrt{3}=13,86$$

Гипотенузу найдем через значение синуса.

$$sin(ACB)={ABover AC}={1over 2}$$

$$AC={ABover sin(ACB)}={ABover {1over 2}}=2*AB=2*8=16$$

Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.

Что мы узнали?

Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 75.

А какая ваша оценка?

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Периметр прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника (рис. 1), длины сторон которого соответственно равны , , , вычисляется по формуле

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2

Задание

Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 12 и 5 дм. Найти периметр этого треугольника

Решение

Обозначим катеты заданного прямоугольного треугольника

. По теореме Пифагора найдем гипотенузу рассматриваемого треугольника:

$[ c^{2}=a^{2}+b^{2} ]$

подставим заданные значения катетов, получим

$c^{2}=12^{2}+5^{2} text{ } Rightarrow text{ } c = sqrt{144+25} = sqrt{169}=13$ (дм)

Периметр прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$[ P_{Delta} = a+b+c ]$

Подставим в последнюю формулу значения сторон, получим, что

$P_{Delta} = 12+5+13 = 30$ (дм)

Ответ

$P_{Delta} = 30$

дм

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Нужна помощь с
решением задач?

Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб
на первый заказ.

Источник

Площадь и периметр прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник образуют взаимно перпендикулярные катеты и гипотенуза – самая длинная сторона.
Сумма углов треугольника равна 180 °, так как один из углов прямой, то α + β = 90 °.
Длину сторон можно определить, используя теорему Пифагора, величины углов, используя тригонометрические функции.

прямоугольный треугольник

A
B
C

a
b
c

hc
cb
ca

α
β

a, b	катеты, образующие прямой угол
c	гипотенуза
h_c	высота на сторону c
α, β	угол

Калькулятор

Формулы

прямоугольный треугольник

площадь

$$ S = frac{a b}{2} = frac{c h_c}{2} $$

периметр

$$ P = a + b + c $$

теорема Пифагора

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

высота на сторону c

$$ h_c = a cdotsinbeta = b cdotsinalpha $$

угол

$$ alpha + beta = 90^circ $$

тригонометрические функции

$$
begin{aligned}
sinalpha &= frac{a}{c} \ \
cosalpha &= frac{b}{c} \ \
tanalpha &= frac{a}{b} \ \
cotalpha &= frac{b}{a}
end{aligned}
$$

$$
begin{aligned}
a^2 &= c cdot c_a \ \
b^2 &= c cdot c_b \ \
h_c^2 &= c_a cdot c_b
end{aligned}
$$

Calculat.org

Если у Вас имеются какие-либо предложения или замечания, мы будем рады узнать о них.

info@calculat.org

На других языках

При предоставлении услуг веб-сайт «Calculat.org» использует файлы куки.

Источник

Содержание материала

Как найти периметр прямоугольного треугольника
Видео
Прямоугольный треугольник в реальности
Что мы узнали?
Как узнать периметр треугольника
Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
Примеры решения задач
Задача
Задача
Задача
Задача
Задача

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Чтобы узнать как найти периметр прямоугольного треугольника, нужно вспомнить что такое периметр.Для того, чтобы найти периметр нужно сложить все длины сторон данного треугольника.Например, если МТЕ — прямоугольный треугольник, и он имеет катеты и и гипотенузу , то его периметр будет равен:

Рассмотрим примеры того, как найти периметр треугольника с прямым углом.

Пример 1.У прямоугольного треугольника гипотенузы равна 19 дм, а катеты соответственно по 13 дм и 17 дм. Найдем периметр этого треугольника.

Решение.Воспользуемся формулой для нахождения периметра прямоугольного треугольника:

Подставим известные значения и получим: (дм).

Ответ. (дм).

Пример 2.Известны гипотенуза и катет прямоугольного треугольника, длины которых равны соответственно 31 см и 23 см. Найдем периметр заданного треугольника.

Решение.Согласно условию дан прямоугольный треугольник, у которого есть две известные длины — длина гипотенузы и длина катета. Для того, чтобы найти периметр заданного треугольника, необходимо знать и длину второго катета. Поскольку треугольник является прямоугольным, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, из которой и найдем неизвестную длину:

(см).Найдем периметр согласно рассмотренной выше формуле: (см).

Ответ. (см).

ru.solverbook.com

Видео

Прямоугольный треугольник в реальности

Непосредственно прямоугольный треугольник встречается в реальности на каждом углу, как в прямом, так и в переносном смысле. Форму прямоугольного треугольника имеют грани тетраэдров и призм, которые в реальности превращаются в детали машин, керамическую плитку или скаты крыш. Угольник — чертежный инструмент, с которым человек впервые встречается на уроке геометрии, имеет форму именно прямоугольного треугольника и используется в проектировании, строительстве и столярном деле.

Что мы узнали?

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим, какие существуют формулы и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен сумме их длин.

Этот способ обычно проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2S / r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

, где a — боковая сторона, h — высота, проведенная к основанию.

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону. В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию, является медианой, т. е. делит сторону пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

, где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

, где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.

Гипотенуза. Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется «Египетский треугольник». Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу (P=sqrt{a^2+b^2}+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt{5^2+7^2}+5+7 = sqrt{74}+12) см.

Ответ: (P=sqrt{74}+12) см.

Формула

Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника

Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника

Задача 1

Задача 2

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Периметр прямоугольного треугольника

Примеры решения задач

Площадь и периметр прямоугольного треугольника

прямоугольный треугольник

Калькулятор

Формулы

прямоугольный треугольник

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Видео

Прямоугольный треугольник в реальности

Что мы узнали?

Как узнать периметр треугольника

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

Примеры решения задач

Задача

Задача

Задача

Задача

Задача

Теги