Как посчитать периметр треугольника
Онлайн калькулятор
Периметр разностороннего треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр разностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры:
Введите их в соответствующие поля и узнаете чему равен периметр треугольника (Р).
Теория
Чему равен периметр разностороннего треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр разностороннего треугольника, у которого сторона a = 2 см, сторона b = 3 см, а сторона c = 4 см:
Периметр равнобедренного треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры:
- длину двух равных сторон (a)
- длину основания (b)
Теория
Чему равен периметр равнобедренного треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр равнобедренного треугольника, у которого стороны a = 2 см, а сторона b = 3 см:
Периметр равностороннего треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину трёх равных сторон (a)
- радиус описанной окружности (R)
- радиус вписанной окружности (r)
Как найти периметр треугольника
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.
Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
В чем измеряется периметр:
Как узнать периметр треугольника
Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.
Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:
P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:
P = 3 * a, где a — длина стороны.
Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.
Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.
Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:
P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.
Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:
P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.
Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Периметр равнобедренного треугольника
Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нужно знать всего две его стороны — основание и боковую сторону.
В общем случае формула для нахождения периметра треугольника выглядит так:
где a, b и c — длины сторон треугольника.
две стороны равны (боковые),
формулу можно упростить:
Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин основания и удвоенной боковой стороны:
Соответственно, периметр равнобедренного треугольника ABC можно найти по формуле:
(здесь AC — основание, AB — боковая сторона).
1) Найти периметр равнобедренного треугольника, если его основание равно 4 см, а боковая сторона — 9 см.
Здесь а=4 см, b=9 см. По формуле Р=а+2b имеем: P=4+2∙9=22 (cм).
2) Периметр равнобедренного треугольника равен 170 см, а его основание — 60 см. Найти боковую сторону треугольника.
Здесь а=60 см, Р=170 см. По формуле Р=а+2b, 2b=Р-а, b=(Р-а):2, b=(170-60):2=55 (см).
Задача нахождения периметра равностороннего треугольника решается еще проще. Её мы рассмотрим в следующий раз.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-treugolnika
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Просто посчитайте сумму всех сторон.
- P — искомый периметр;
- a, b, c — стороны треугольника.
2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Умножьте площадь треугольника на 2.
Разделите результат на радиус вписанной окружности.
- P — искомый периметр;
- S — площадь треугольника;
- r — радиус вписанной окружности.
3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:
- Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
- Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
- Найдите корень из результата.
Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.
- P — искомый периметр;
- b, c — известные стороны треугольника;
- ɑ — угол между известными сторонами;
- a — неизвестная сторона треугольника.
4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону
Умножьте сторону на 3.
- P — искомый периметр;
- a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).
5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Умножьте боковую сторону на 2.
Прибавьте к результату основание.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
- b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).
6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Найдите квадраты боковой стороны и высоты.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата и умножьте его на 2.
Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника;
- h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).
7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.
Извлеките корень из полученного числа.
Прибавьте к результату оба катета.
- P — искомый периметр;
- a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).
8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата.
Прибавьте катет и гипотенузу.
- P — искомый периметр;
- a — любой катет прямоугольника;
- c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Предварительные сведения
Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками
(рис. 1).
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.
В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 4
Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.
Определение 5
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.
«Как найти периметр треугольника» 👇
Определение 6
Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.
Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.
Как найти периметр разностороннего треугольника?
Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+β+γ$
Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.
Пример 1
Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=34+12+11=57$ см
Ответ: $57$ см.
Пример 2
Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.
Решение.
Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда
$α^2=6^2+8^2$
$α^2=100$
$α=10$
По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим
$P=10+8+6=24$ см
Ответ: $24$ см.
Как найти периметр равнобедренного треугольника?
Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+β=2α+β$
Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.
Пример 3
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=2cdot 12+11=35$ см
Ответ: $35$ см.
Пример 4
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.
Решение.
Рассмотрим рисунок по условию задачи:
Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.
По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда
$α^2=6^2+8^2$
$α^2=100$
$α=10$
По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим
$P=2cdot 10+12=32$ см
Ответ: $32$ см.
Как найти периметр равностороннего треугольника?
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+α=3α$
Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.
Пример 5
Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.
Решение.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=3cdot 12=36$ см
Ответ: $36$ см.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
{P=a+b+c}
Чтобы найти периметр треугольника необходимо сложить длины трех его сторон. Однако, существует множество других формул, которые позволяют рассчитать периметр треугольника. На странице мы собрали самые известные формулы для расчета периметра треугольника, а также удобный калькулятор.
Содержание:
- калькулятор периметра треугольника
- формула периметра треугольника через стороны
- формула периметра треугольника по средним линиям
- формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
- формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
- формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
- формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте
- формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте
- формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
- формула периметра равностороннего треугольника по высоте
- формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности
- примеры задач
Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки.
Формула периметра треугольника через стороны
{P = a+b+c}
a, b и c — стороны треугольника
Формула периметра треугольника по средним линиям
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон.
{P=2a+2b+2c}
a, b и c — средние линии треугольника
Формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними
{P=a+b+sqrt{a^2+b^2-2ab cdot cos(alpha)}}
a и b — стороны треугольника
α — угол между сторонами a и b
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (90 градусов).
{P = a+c+sqrt{c^2-a^2}}
a — катет прямоугольного треугольника
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
Формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
{P = a+b+sqrt{a^2+b^2}}
a и b — катеты прямоугольного треугольника
Формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу
{P=csin(alpha)+ccos(alpha)+c}
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
α — прилежащий к гипотенузе угол
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
{P=a \tg(alpha)+a+dfrac{a}{cos(alpha)}}
a — катет прямоугольного треугольника
α — прилежащий к катеру угол
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
{P=a+dfrac{a}{\tg(alpha)}+dfrac{a}{sin(alpha)}}
a — катет прямоугольного треугольника
α — противолежащий к катеру угол
Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.
{P = 2a+2sqrt{a^2-h^2}}
a — боковая сторона равнобедренного треугольника
h — высота равнобедренного треугольника
Формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте
{P = a+2sqrt{Big( Big(dfrac{a}{2} Big)^2+h^2 Big)}}
a — основание равнобедренного треугольника
h — высота равнобедренного треугольника
Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
{P=2b+a}
a — основание равнобедренного треугольника
b — боковая сторона равнобедренного треугольника
Формула периметра равностороннего треугольника по высоте
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.
{P=2sqrt{3}h}
h — высота равностороннего треугольника
Формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности
{P = 6sqrt{dfrac{3S}{pi}}}
S — площадь вписанной в равносторонний треугольник окружности
Примеры задач на нахождение периметра треугольника
Задача 1
Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6см 9см и 10см.
Решение
Для решения задачи применим формулу №2. Подставим в нее длины средних линий и произведем вычисления.
P = 2a+2b+2c = 2 cdot 6 + 2 cdot 9 + 2 cdot 10 = 12 + 18 + 20 = 50 : см
Ответ: 50 см
Ответ проверим с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите периметр треугольника со сторонами 14см, 17см и 17см.
Решение
А для этой задачи подойдет первая формула.
P = a+b+c = 14 + 17 + 17 = 48 : см
Если обратить внимание на то, что у треугольника в условии две стороны имеют одинаковую длину, то можно понять, что данный треугольник равнобедренный. И тогда задачу можно решить используя формулу для равнобедренного треугольника.
P=2b+a = 2 cdot 17 + 14 = 34 + 14 = 48 : см
Ответ: 48 см
Проверим ответ по первой и второй формуле.
Задача 3
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой.
P = a+b+sqrt{a^2+b^2} = 12+16+sqrt{12^2+16^2} = 28+sqrt{144+256} = 28+sqrt{400} = 28+20 = 48 : см
Ответ: 48 см
Полученный результат удобно проверить с помощью калькулятора .
Задача 4
Найдите периметр равнобедренного треугольника основание которого равно 13см а боковая сторона 8см.
Решение
Для равнобедренного треугольника, у которого известно основание и боковая сторона нам подходит эта формула.
P=2b+a = 2 cdot 8 + 13 = 16 + 13 = 29 : см
Ответ: 29 см
Проверка .
Задача 5
Найдите периметр равностороннего треугольника, если его высота равна 9см.
Решение
Для равностороннего треугольника с известной высотой мы применим эту формулу.
P = 2sqrt{3}h = 2sqrt{3} cdot 9 = 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см
Ответ: 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см
Проверить ответ поможет калькулятор .
Как найти периметр треугольника
Содержание:
- Периметр треугольника
-
Способы нахождения
- По трем сторонам
- По площади и радиусу вписанной окружности
- По двум сторонам и углу между ними
- По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
- По двум катетам (для прямоугольного)
-
Примеры решения задач
- Задача №1
- Задача №2
- Задача №3
- Задача №4
- Задача №5
Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.
Периметр треугольника
Определение
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.
Определение
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.
Способы нахождения
По трем сторонам
Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:
(P = a+b+c)
где a, b и с — это стороны треугольника.
В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:
(P=a+2b) или (P=a+2c )
где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.
Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:
(P=3a)
где a — это любая сторона фигуры.
По площади и радиусу вписанной окружности
Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:
(P=frac{2S}r)
где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.
По двум сторонам и углу между ними
Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.
Теорема косинусов выглядит так:
(a^2=b^2+c^2-2bctimescosalpha)
где α — известный угол.
Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:
(P=sqrt{b^2+c^2-2bctimescosalpha}+b+c)
По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.
Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:
(d^2=a^2-h^2)
(d=sqrt{a^2-h^2})
где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.
Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.
(P=2sqrt{a^2-h^2}+2a)
По двум катетам (для прямоугольного)
Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).
(c^2=a^2+b^2)
(c=sqrt{a^2+b^2})
где a и b — катеты треугольника.
Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:
(P=sqrt{a^2+b^2}+a+b)
Примеры решения задач
Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.
Задача №1
Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.
Решение:
Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.
Ответ: 16 см.
Задача №2
Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.
Решение:
Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.
Ответ: 14 см.
Задача №3
Нам известно, что площадь треугольника — 24 см2, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.
Решение:
В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac{2S}r). С уже известными нам величинами получаем: (P=frac{2times24}8 = 6) см.
Ответ: 6 см.
Задача №4
Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.
Решение:
Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt{a^2-h^2}+2a). С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt{4^2-2^2}+2times2 = 4sqrt3+4) см.
Ответ: P=4sqrt3+4 см.
Задача №5
Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.
Решение:
В формулу (P=sqrt{a^2+b^2}+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt{5^2+7^2}+5+7 = sqrt{74}+12) см.
Ответ: (P=sqrt{74}+12) см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так