Как найти периметр сечения пирамиды плоскостью

Периметр сечения пирамиды

5 июня 2016

Довольно лёгкая задача на доказательство и построение. Учимся находить периметр сечения пирамиды плоскостью.:)

Смотрите также:

1. Пробный ЕГЭ 2016: задача 14 с доказательством и углами из стереометрии
2. Задание 14: Площадь сечения многогранника
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
5. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Как найти периметр сечение в треугольной пирамиде sabc

В треугольной пирамиде SABC все ребра равны 8 см.Построить сечение пирамиды плоскостью,проходящей через ребро AS и точку M — середину ребра BC.Вычислить периметр полученного сечения.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Найдем площадь ΔАSМ.Вся грани данной пирамиды равна. Значит АМ=SМ.
SМ²=ВS²-ВМ²=64-16=48.
Добавим на рисунке отрезок МК⊥АS, точка К — середина АS.
ΔSКМ: КМ²=МS²-КS²=48-16=32.
КМ=√32=4√2.
Найдем площадь сечения ΔАSМ.
SΔ=0,5·8·4√2=16√2 см²

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

Как найти периметр сечение в треугольной пирамиде sabc

Треугольная пирамида ABCD пересекается с плоскостью P по четырехугольнику EFGH так, что вершины E и F лежат на ребрах AB и AC и длина отрезка EF равна 1. Известно, что плоскость P параллельна противоположным ребрам AD и BC, которые равны соответственно 4 и 2. Найти периметр четырехугольника.

Поскольку плоскость параллельна двум скрещивающимся ребрам тетраэдра, она пересекает две грани по прямым, параллельным одному из ребер, а другие две — по прямым, параллельным второму ребру. Значит, сечение —

Поскольку и EF— средняя линия треугольника ABC, а точки E и F — середины ребер. Тогда остальные стороны параллелограмма — тоже средние линии в соответствующих гранях, откуда

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N= 3, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит, Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N = 4, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит, кроме того, NK = 4 как средняя линия треугольника A₁B₁C₁.

Опустим из точки N высоту NH на сторону AB. Имеем: Высота NH равна Следовательно, искомая площадь сечения равна

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 507887: 507910 510460 Все

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA’B’C’D’ является квадрат ABCD со стороной высота призмы равна Точка K — середина ребра BB’. Через точки K и С’ проведена плоскость α, параллельная прямой BD’.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

а) Проведём KE — среднюю линию треугольника BB’D’. E — середина B’D’, следовательно, точка пересечения диагоналей верхнего основания и сечение содержит диагональ A’C’. Треугольник A’C’K является искомым сечением по признаку параллельности прямой и плоскости.

Прямоугольные треугольники A’B’K и С’B’K равны по двум катетам, поэтому A’K = С’K, следовательно, треугольник A’C’K — равнобедренный.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N= 3, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит, Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3 как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 507887: 507910 510460 Все

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной высота призмы равна Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и C₁ проведена плоскость α параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

а) В треугольнике BB₁D₁ проведём среднюю линию KL. Точка L лежит в плоскости α, поскольку прямые KL и BD₁ параллельны.

Искомый периметр равен 26.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 509821: 514244 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

а) Прямая MN — средняя линия треугольника Пусть отрезок SE пересекает MN в точке K, тогда Пусть K’ — проекция точки K на плоскость ABC, а O — центр основания (проекция точки S), тогда K’ лежит на OE, то есть на медиане CE. Кроме того, точка K’ принадлежит сечению α. Заметим, что так как то по теореме Фалеса При этом, как медиана. Таким образом,

б) Так как прямая MN параллельна прямой AB, плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой RP, параллельной прямой AB, то есть сечение является трапецией. При этом, так как треугольники AMR и BNP равны, то то есть трапеция равнобедренная. По доказанному, Пусть γ — угол при основании боковой грани пирамиды. Тогда По теореме косинусов,

Следовательно,

Таким образом,

Имеем: Пусть и — проекции M и N на ABC. Далее, SH — высота, прямые SH и параллельны друг другу. Значит, перпендикулярна ABC. Прямая пересекает прямые AC и BC в точках P и Q соответственно. Плоскость PMNQ — искомое сечение. Пусть CK — медиана треугольника ABC, точка H — точка пересечения медиан треугольника ACB. Следовательно, CH : HK = 2 : 1, — средняя линия треугольника AHB, HT = TK. Значит,

б) Имеем: треугольники PCQ и ACB подобны с (из пункта а). Следовательно, Следовательно, по теореме косинусов:

Следовательно,

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)	2
Выполнен только один из пунктов — а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Дан куб с ребром длины 1. Точка P — середина ребра точка Q делит отрезок в отношении считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков и

а) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ куба.

б) Найдите периметр сечения куба плоскостью PQR.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AB, AD и Тогда координаты точек будут и (это центр грани ). Найдем уравнение плоскости PQR. Пусть это Подставляя координаты точек, получим систему уравнений.

Вычитая из второго уравнения третье, получим Возьмем тогда Из первого уравнения тогда и из второго Итак уравнение плоскости PQR имеет вид или В частности плоскость параллельна оси OX, поэтому сечение выглядит как прямоугольник, одна из сторон которого — ребро а вторая — параллельный этому ребру отрезок, проходящий через R.

а) Очевидно точка лежит в этой плоскости и на диагонали и делит эту диагональ в отношении

б) Две стороны прямоугольника равны 1. Остальные две можно найти по теореме Пифагора из треугольника где T — середина Далее,

Значит, периметр сечения равен

Ответ: а) б)

Источник

Для решения задачи нам нужно найти длины отрезков AM и DM, затем найти длины сторон периметра сечения пирамиды.

Обозначим через P точку пересечения отрезков AD и SM. Так как треугольник SMC прямоугольный, то по теореме Пифагора:

$$
SC^2 = SM^2 + MC^2 = 3^2 + 5^2 = 34
$$

Отсюда находим длину SP:

$$
SP = sqrt{SC^2 — PC^2} = sqrt{34 — left(frac{8}{2}right)^2} = sqrt{18}
$$

Так как треугольник AMP подобен треугольнику SMC, то

$$
frac{AM}{SM} = frac{SA}{SC}
$$

Отсюда находим длину AM:

$$
AM = frac{SM cdot SA}{SC} = frac{3 cdot sqrt{34}}{8}
$$

Аналогично, треугольник DMP подобен треугольнику SCD, поэтому

$$
frac{DM}{SM} = frac{CD}{SC}
$$

Отсюда находим длину DM:

$$
DM = frac{SM cdot CD}{SC} = frac{5 cdot sqrt{34}}{8}
$$

Теперь можем найти длины сторон периметра сечения пирамиды. Пусть E и F – точки пересечения периметра сечения со сторонами AB и BC соответственно. Тогда

$$
AE = AD — DM = 8 — frac{5 cdot sqrt{34}}{8}
$$

$$
EF = FM + ME = SM + AM = 3 + frac{3 cdot sqrt{34}}{8}
$$

$$
FC = CD — DM = frac{3 cdot sqrt{34}}{8}
$$

Периметр сечения пирамиды равен сумме длин сторон:

$$
AE + EF + FC = 8 — frac{5 cdot sqrt{34}}{8} + 3 + frac{3 cdot sqrt{34}}{8} + frac{3 cdot sqrt{34}}{8} = frac{67}{8} + frac{3 cdot sqrt{34}}{4}
$$

Ответ: $frac{67}{8} + frac{3 cdot sqrt{34}}{4}$.

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти сечение и периметр пирамиды. Добавлено: 02 май 2012, 18:56
Начинающий Зарегистрирован: 02 май 2012, 18:48 Сообщений: 1 Cпасибо сказано: 0 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	SABCD- правильная четырёхугольная пирамида, длина каждого ребра равна 2 см, точка О — середина ребра DC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку О перпендикулярно прямой SC. ВЫчислите периметр этого сечения. как-то так…
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 21:18
	а как, очень мало данных, чтобы найти периметр???!!!
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 21:49
	получается, что периметр равен 3 см! Я прав?
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 22:08
	а как получилось корень из двух? поясните, пожалуйста стоп, а если это правильная четырехугольная пирамида. у неё разве все-все ребра равны, даже с теми, которые в квадрате???
Вернуться к началу

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2ImLzVo).

Так как точки M, N и К середины ребер AF, FC и AB, то отрезок MN есть средняя линия боковой грани AFC, КМ средняя линия грани AFB. Тогда MN = АС / 2 = 8 / 2 = 4 см, МК = FB / 2 = 6 / 2 = 3 см.

Четвертая точка сечения, точка Р есть середина стороны ВС основания пирамиды.

Тогда КР средняя линия треугольника АВС.

Отрезки MN и КР параллельны стороне АС как средние линии, а следовательно, параллельны между собой.

Аналогично МК параллельно NP.

Тогда сечение MNРК параллелограмм, а тогда NP = МК = 3 см, КР = MN = 4 см.

Рсеч = 2 * (МК + КР) = 2 * (3 + 4) = 2 * 7 = 14 см.

Ответ: Периметр сечения равен 14 см.