Как найти периметр трапеции если известны углы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины, например, высота или угол трапеции. При помощи известных величин, а также геометрических и тригонометрических правил можно найти неизвестные стороны трапеции.

1

Запишите формулу для вычисления периметра трапеции. Формула: , где – периметр, – верхнее основание, – нижнее основание, – левая боковая сторона, – правая боковая сторона.^[1]
2
В формулу подставьте известные длины сторон. Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.
- Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид:
3

Сложите длины сторон. Так вы найдете периметр трапеции.

Реклама

1
Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
- Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
2
Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.^[2]
- Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
3
Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.^[3] Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания.
- Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
4

Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , где – гипотенуза треугольника (сторона, противоположная прямому углу), – высота треугольника, – основание треугольника.^[4]
5
6

Возведите в квадрат известные значения. Затем при помощи вычитания обособьте переменную .
7

Извлеките квадратный корень, чтобы найти . (Чтобы получить информацию об упрощении квадратных корней, прочитайте эту статью.) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
8

Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника. Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны,^[5]то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
9

Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:. Нижнее основание трапеции равно сумме нижней стороны прямоугольника и оснований двух треугольников. В интернете поищите информацию о том, как складывать квадратные корни, или просто воспользуйтесь калькулятором, чтобы преобразовать квадратные корни в десятичные дроби.

Реклама

1
Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
- Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
2
Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.^[6]
- Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
3
Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.^[7]
- Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
4
5
В формулу синуса подставьте известные величины. Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
- Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так:
  $sin(35)={frac {6}{H}}$
6
Найдите синус угла. Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.
- При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид:
  $0,5738={frac {6}{H}}$
7

Найдите переменную H. Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.
8

Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника. Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: $sin theta ={frac {B}{H}}$ . Так вы найдете гипотенузу второго треугольника, которая является второй боковой стороной трапеции.
9

Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , где – гипотенуза треугольника (сторона, противоположная прямому углу), – высота треугольника.
10
11

Найдите . Вы получите основание первого прямоугольного треугольника, которое является первой неизвестной частью нижнего основания трапеции.
12
13
Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:. Нижнее основание трапеции равно сумме нижней стороны прямоугольника и оснований двух треугольников.
- В нашем примере:
  Таким образом, приблизительный периметр трапеции равен 45,5059 см.
Реклама

Советы

Для специальных прямоугольных треугольников (треугольник 30-60-90^[8] или треугольник 90-45-45^[9]) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.^[10]

Что вам понадобится

Калькулятор
Карандаш
Бумага

Об этой статье

Эту страницу просматривали 119 107 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Периметр трапеции калькулятор онлайн умеет вычислять периметр четырьмя способами:

По четырем сторонам.
По основанию и боковой стороне равнобедренной трапеции.
По средней линии и боковым сторонам.
По высоте и верхнему основанию и боковым сторонам.

Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).
Формула периметра трапеции:
где a — верхнее основание, h — высота, с и d — боковые стороны.

Решение:

x1 = √c² — h²

= √4² — 2.7²

= √16 — 7.29

= 2.951

x2 = √d² — h²

= √4² — 2.7²

= √16 — 7.29

= 2.951

P = 2a + c + d + x1 + x2

= 2·2 + 4 + 4 + 2.951 + 2.951

17.902

Ответ: Периметр трапеции с верхним основанием a = 2 высотой h = 2.7 и боковыми сторонами с = 4, d = 4 равен 17.902

Периметр трапеции — это сумма четырех сторон.
Так как, довольно часто, не все стороны известны, то периметр может быть найден и по другим формулам. Вывод этих формул основан на правилах геометрии и тригонометрии.

Как найти периметр трапеции?

Найти периметр трапеции очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

1) По четырем сторонам

где a,b,c,d — стороны трапеции.

2) По основанию и боковой стороне равнобедренной трапеции

где a,b,c — стороны трапеции.

3) По средней линии и боковым сторонам

где c,d — боковые стороны и L — длина средней линии.

4) По высоте и верхнему основанию и боковым сторонам

ггде a — верхнее основание, h — высота, с и d — боковые стороны.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

что нужно знать о периметре трапеций — основные сведения

Содержание:

Трапеция. Основные понятия и определения
Способы нахождения периметра
Формулы для вычисления периметра к каждому из способов
Примеры задач по теме и их решения

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция — четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой.

Две параллельные стороны называют основаниями (верхним и нижним), а непараллельные — боковыми сторонами.

Выделяют особый вид трапеции — равнобедренную или равнобокую.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Равнобедренной называют трапецию, боковые ребра которой равны, и углы при нижнем основании равны между собой.

Примечание 1

Допускается применять как термин «равнобокая», так и «равнобедренная», так как эти понятия аналогичны друг другу.

В равнобедренную трапецию всегда можно вписать и описать около нее окружность.

Рассмотрим еще несколько основных понятий.

Диагональ трапеции — линия, соединяющая две ее несмежные вершины.

Средняя линия — отрезок, параллельный основаниям трапеции и равный их полу сумме.

Высота — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции ко второму ее основанию.

К количественным характеристикам трапеции относят:

площадь;
периметр.

В данной статье рассмотрим способы, с помощью которых можно найти периметр трапеции.

Периметр трапеции — величина, равная сумме длин всех четырех ребер фигуры.

Периметр обозначают в виде большой буквы P.

Способы нахождения периметра

Периметр фигуры можно найти, если:

В произвольной трапеции известны длины всех четырех ребер. Это самый простой способ, однако для его применения необходимо знать длину каждого из ребер, а это не всегда возможно.
В равнобедренной трапеции известны длина боковой стороны и длины оснований.
В равнобедренной трапеции известна длина высоты, проведенной из вершины меньшего из оснований, и длины оснований. Такая высота делит большее основание на два отрезка. Больший из получившихся отрезков при этом равен полу сумме оснований или средней линии. Затем используют теорему Пифагора для прямоугольного треугольника и вычисляют длину бокового ребра.
Известна длина средней линии произвольной трапеции и длины ее боковых ребер.

Формулы для вычисления периметра к каждому из способов

Приведем формулы вычисления периметра для каждого из указанных способов.

Вычисление периметра по четырем сторонам

Формула 1

(P_{ABCD}=a+b+c+d)

Вычисление периметра равнобокой трапеции по основаниям и боковой стороне

Формула 2

(P_{ABCD}=2a+b+d)

Вычисление периметра равнобокой трапеции по высоте и основаниям

Сначала определим длину отрезка AH и бокового ребра AB.

Формула 3

(AH=AD-HD=d-frac{b+d}2=frac{d-b}2)

Формула 4

(AB=sqrt{AH^2+BH^2}=sqrt{frac{left(d-bright)^2}4+h^2})

Периметр вычислим по формуле:

Формула 5

(P_{ABCD}=2AB+AD+BC=2cdotsqrt{frac{left(d-bright)^2}2+h^2}+d+b=sqrt{left(d-bright)^2+4h^2}+d+b)

Вычисление периметра трапеции по средней линии

Формула 4

(P_{ABCD}=AB+CD+2left(frac{BC+AD}2right)=a+c+2l)

Примеры задач по теме и их решения

Пример 1

Периметр трапеции ABCD равен 40 см. Известно, что основания равны 10 см и 14 см. А одно боковое ребро больше второго на 2 см. Найдите длины боковых сторон трапеции.

Решение

Обозначим неизвестную длину меньшего ребра AB за x, тогда CD=x+2.

Из формулы для нахождения периметра получим уравнение с неизвестной переменной x:

(P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=10+14+x+(x+2)=2x+26=40)

Решив уравнение, получим, что AB=7 см, а CD=9 см.

Ответ: 7 см и 9 см.

Пример 2

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями 26 см и 16 см. Известно, что угол при большем основании равен 60 градусам. Найти периметр трапеции.

Решение

В трапеции проведем высоту BH, получим прямоугольный треугольник ABH. Длину отрезка AH найдем как половину разности оснований:

(AH=frac{AD-BC}2=5;см)

По определению косинуса угла:

(cosangle A=frac{AH}{AB};;Rightarrow;AB=frac{AH}{cosangle A}=frac5{cos60^0}=10;см)

Периметр равнобокой трапеции найдем по основаниям и боковой стороне:

(P_{ABCD}=2AB+BC+AD=20+16+26=62;см)

Ответ: 62 см.

Пример 3

Известно, что у трапеции ABCD ребра AB и CD равны и расположены под одинаковыми углами к AD, при этом BC=30 см. Из вершины B проведена высота BH=8 см такая, что отрезок AH=6 см. Найти периметр трапеции.

Решение

Чтобы найти периметр, необходимо вычислить длину большего основания. Трапеция по условию задачи является равнобедренной, тогда отрезок AH равен половине разности оснований:

(AH=frac{AD-BC}2;Rightarrow;AD=2cdot AH+BC=12+30=42;см)

Теперь вычислим периметр по высоте и основаниям:

(P_{ABCD}=sqrt{left(AD-BCright)^2+4BH^2}+AD+BC=sqrt{left(42-30right)^2+4cdot8^2}+42+30=92;см)

Ответ: 92 см.

Пример 4

Боковые ребра трапеции ABCD равны 12 см и 10 см. Известно, что одно основание больше другого в 2 раза, а периметр трапеции составляет 70 см. Найти длины оснований трапеции.

Решение

Решать задачу будем через среднюю линию – MN. Обозначим меньшее основание BC за x, тогда AD=2x.

Из условия задания известен периметр фигуры, а значит, можно определить длину отрезка MN:

(P_{ABCD}=AB+CD+2MN=22+2MN=70;см)

(MN=frac{70-22}2=24;см)

Зная, что средняя линия равна полу сумме оснований, запишем и решим относительно переменной x следующее уравнение:

(MN=frac{BC+AD}2=frac{x+2x}2=24;см)

(begin{array}{c}x+2x=48;см\3x=48;см\x=16;смend{array})

Получили, что меньшее основание BC равно 16 см, а большее AD – 32 см.

Ответ: 16 см и 32 см.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Как найти периметр трапеции

Содержание:

Основные свойства трапеции
Способы нахождений периметра
- По всем сторонам
- По сторонам равнобедренной трапеции
- Через среднюю линию
Примеры решения задач

Определения

Трапеция — это четырехугольник, у которого лишь одна пара противолежащих сторон параллельна.

Периметр трапеции — это сумма длин всех его сторон.

Основные свойства трапеции

средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна половине их суммы;

Свойство 1

биссектриса любого угла данного четырехугольника отсекает на его основании отрезок, равный боковой стороне;

Свойство 2

треугольники ABO и DCO (на картинке), образованные диагоналями фигуры и ее основаниями, подобны;

Свойство 3

треугольники OAB и OCD, образованные диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;

Свойство 4

если сумма длин оснований четырехугольника равна сумме его боковых ребер, то в фигуру можно вписать окружность;

Свойство 5

точки M и N середины диагоналей лежат на одной прямой со средней линией фигуры. Также отрезок MN равен полуразность оснований четырехугольника;

Свойство 6

середины оснований фигуры, точка пересечения ее диагоналей, а также точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой;

Свойство 7

Свойства равнобедренной трапеции

в равнобедренной трапеции углы при обоих ее основаниях одинаковы;
диагонали равны;
равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность или описать окружность вокруг;
если диагонали перпендикулярны, то высота фигуры равна полусумме ее оснований.

Способы нахождений периметра

Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.

По всем сторонам

Периметр по всем сторон

Формула для нахождения периметра выглядит так:

P=a+b+c+d

где a, b, c, d — стороны трапеции.

По сторонам равнобедренной трапеции

Периметр по сторон 2

Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:

(P=2times a+b+c)

или

(P=2times c+a+b)

Через среднюю линию

Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:

(P=2times l+AB+CD)

где l — средняя линия фигуры.

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим наглядные примеры решения задач на нахождение суммы длин всех ребер этой фигуры.

Задача 1

Дана трапеция с боковыми сторонами 4 см и 5 см, а ее основания равны 7 см и 10 см. Найти периметр данного многоугольника.

Решение:

Нам пригодится самая первая формула для расчета:

P=a+b+c+d.

Подставляем значения и получаем:

P=4+7+5+10=26;см.

Ответ: 26 см.

Задача 2

Известно, что у трапеции две боковые стороны равны 7 см, а ее основания равны 5 см и 8 см. Нужно найти P четырехугольника.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, удобнее всего будет использовать формулу:

(P=2times a+b+c)

Таким образом, получается:

(P=2times 7+5+8=27) см.

Ответ: 27 см.

Задача 3

Средняя линия l трапеции равна 6 см, а боковые стороны 5 см и 9 см. Вычислить P фигуры.

Решение:

Считать будем по формуле

(P=2times l+a+c)

(P=2times 6+5+9=26) см.

Ответ: 26 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.82 (Голосов: 11)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Рассчитать периметр трапеции с помощью калькулятора или самостоятельно по формуле поможет материалы этой страницы. Кроме того вы можете рассчитать периметр равнобедренной трапеции.

Содержание:

калькулятор периметра трапеции
формула периметра трапеции через 4 стороны
формула периметра трапеции через среднюю линию и боковые стороны
примеры задач

Трапеция — выпуклый четырехугольник у которого две стороны параллельны (их называют основаниями), а две другие стороны, которые называют боковые стороны, непараллельны.

Периметр других четырехугольников также можно рассчитать на сайте: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб.

Формула периметра трапеции через все стороны

{P = a+b+c+d}

a, b, c и d — стороны трапеции

Формула периметра трапеции через среднюю линию и боковые стороны

{P = a+c+2L}

a и c — боковые стороны трапеции

L — средняя линия трапеции

Пример задачи на нахождение периметра трапеции

Задача 1

Найдите периметр трапеции если ее основания равны 7см и 10см а боковые стороны 4см и 5см.

Решение

Применим первую формулу. Подставим в нее значения длин сторон трапеции и рассчитаем ее периметр:

P = a+b+c+d = 4+7+5+10 = 26 : см

Ответ: 26 см

Осталось проверить ответ с помощью калькулятора .

Источник