Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Просто посчитайте сумму всех сторон.
- P — искомый периметр;
- a, b, c — стороны треугольника.
2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Умножьте площадь треугольника на 2.
Разделите результат на радиус вписанной окружности.
- P — искомый периметр;
- S — площадь треугольника;
- r — радиус вписанной окружности.
3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:
- Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
- Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
- Найдите корень из результата.
Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.
- P — искомый периметр;
- b, c — известные стороны треугольника;
- ɑ — угол между известными сторонами;
- a — неизвестная сторона треугольника.
4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону
Умножьте сторону на 3.
- P — искомый периметр;
- a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).
5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Умножьте боковую сторону на 2.
Прибавьте к результату основание.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
- b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).
6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Найдите квадраты боковой стороны и высоты.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата и умножьте его на 2.
Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника;
- h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).
7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.
Извлеките корень из полученного числа.
Прибавьте к результату оба катета.
- P — искомый периметр;
- a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).
8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата.
Прибавьте катет и гипотенузу.
- P — искомый периметр;
- a — любой катет прямоугольника;
- c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника
Формула
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника нужно найти сумму длин его сторон.
Таким образом, если $ABC$ — прямоугольный треугольник, в
котором
$a$ и
$b$ — длинны катетов, а
$c$ — длина гипотенузы, то периметр находится по формуле:
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника
Пример
Задание. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 дм и 4 дм, а гипотенуза —
5 дм. Найти его периметр.
Решение. Найдем периметр этого треугольника по формуле
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
Подставляя заданные длины сторон, получим:
$P_{Delta A B C}=a3+4+5=12$ (дм)
Ответ. $P_{Delta A B C}=12$ (дм)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В прямоугольном треугольнике
$ABC$ длина гипотенузы и одного из катетов соответственно равны
13 м и 12 м. Найти периметр $Delta A B C$.
Решение. Введем обозначение
$a$ и
$b$ — дины катетов,
$c$ — длина гипотенузы. По условию
$c=13$ м и
$a=12$ м. Длину
$b$ второго катета найдем по теореме Пифагора:
$$b=sqrt{c^{2}-a^{2}}$$
Подставляя заданные длины сторон, получим
$b=sqrt{13^{2}-12^{2}}=sqrt{169-144}=sqrt{25}=5$ (м)
Теперь по формуле
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
можем найти искомый периметр:
$P_{Delta A B C}=13+12+5=30$ (м)
Ответ. $P_{Delta A B C}=30$ (м)
Читать дальше: как найти периметр равнобедренного треугольника.
Расчёт периметра прямоугольного треугольника по катетам
Калькулятор рассчитывает периметр прямоугольного треугольника по катетам.
Введите первый катет
Введите второй катет
Периметром треугольника называется сумма всех длин его сторон.
Формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
Подставим в формулу периметра
Получится
Где b, c — катеты
Разберём пример
Дан прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 найти его периметр
По теореме Пифагора найдём гипотенузу
Подставим в формулу периметра
Похожие калькуляторы
{P=a+b+c}
Чтобы найти периметр треугольника необходимо сложить длины трех его сторон. Однако, существует множество других формул, которые позволяют рассчитать периметр треугольника. На странице мы собрали самые известные формулы для расчета периметра треугольника, а также удобный калькулятор.
Содержание:
- калькулятор периметра треугольника
- формула периметра треугольника через стороны
- формула периметра треугольника по средним линиям
- формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
- формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
- формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
- формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
- формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте
- формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте
- формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
- формула периметра равностороннего треугольника по высоте
- формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности
- примеры задач
Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки.
Формула периметра треугольника через стороны
{P = a+b+c}
a, b и c — стороны треугольника
Формула периметра треугольника по средним линиям
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон.
{P=2a+2b+2c}
a, b и c — средние линии треугольника
Формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними
{P=a+b+sqrt{a^2+b^2-2ab cdot cos(alpha)}}
a и b — стороны треугольника
α — угол между сторонами a и b
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (90 градусов).
{P = a+c+sqrt{c^2-a^2}}
a — катет прямоугольного треугольника
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
Формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
{P = a+b+sqrt{a^2+b^2}}
a и b — катеты прямоугольного треугольника
Формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу
{P=csin(alpha)+ccos(alpha)+c}
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
α — прилежащий к гипотенузе угол
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
{P=a \tg(alpha)+a+dfrac{a}{cos(alpha)}}
a — катет прямоугольного треугольника
α — прилежащий к катеру угол
Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
{P=a+dfrac{a}{\tg(alpha)}+dfrac{a}{sin(alpha)}}
a — катет прямоугольного треугольника
α — противолежащий к катеру угол
Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.
{P = 2a+2sqrt{a^2-h^2}}
a — боковая сторона равнобедренного треугольника
h — высота равнобедренного треугольника
Формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте
{P = a+2sqrt{Big( Big(dfrac{a}{2} Big)^2+h^2 Big)}}
a — основание равнобедренного треугольника
h — высота равнобедренного треугольника
Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
{P=2b+a}
a — основание равнобедренного треугольника
b — боковая сторона равнобедренного треугольника
Формула периметра равностороннего треугольника по высоте
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.
{P=2sqrt{3}h}
h — высота равностороннего треугольника
Формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности
{P = 6sqrt{dfrac{3S}{pi}}}
S — площадь вписанной в равносторонний треугольник окружности
Примеры задач на нахождение периметра треугольника
Задача 1
Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6см 9см и 10см.
Решение
Для решения задачи применим формулу №2. Подставим в нее длины средних линий и произведем вычисления.
P = 2a+2b+2c = 2 cdot 6 + 2 cdot 9 + 2 cdot 10 = 12 + 18 + 20 = 50 : см
Ответ: 50 см
Ответ проверим с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите периметр треугольника со сторонами 14см, 17см и 17см.
Решение
А для этой задачи подойдет первая формула.
P = a+b+c = 14 + 17 + 17 = 48 : см
Если обратить внимание на то, что у треугольника в условии две стороны имеют одинаковую длину, то можно понять, что данный треугольник равнобедренный. И тогда задачу можно решить используя формулу для равнобедренного треугольника.
P=2b+a = 2 cdot 17 + 14 = 34 + 14 = 48 : см
Ответ: 48 см
Проверим ответ по первой и второй формуле.
Задача 3
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой.
P = a+b+sqrt{a^2+b^2} = 12+16+sqrt{12^2+16^2} = 28+sqrt{144+256} = 28+sqrt{400} = 28+20 = 48 : см
Ответ: 48 см
Полученный результат удобно проверить с помощью калькулятора .
Задача 4
Найдите периметр равнобедренного треугольника основание которого равно 13см а боковая сторона 8см.
Решение
Для равнобедренного треугольника, у которого известно основание и боковая сторона нам подходит эта формула.
P=2b+a = 2 cdot 8 + 13 = 16 + 13 = 29 : см
Ответ: 29 см
Проверка .
Задача 5
Найдите периметр равностороннего треугольника, если его высота равна 9см.
Решение
Для равностороннего треугольника с известной высотой мы применим эту формулу.
P = 2sqrt{3}h = 2sqrt{3} cdot 9 = 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см
Ответ: 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см
Проверить ответ поможет калькулятор .
Как найти периметр треугольника
Содержание:
- Периметр треугольника
-
Способы нахождения
- По трем сторонам
- По площади и радиусу вписанной окружности
- По двум сторонам и углу между ними
- По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
- По двум катетам (для прямоугольного)
-
Примеры решения задач
- Задача №1
- Задача №2
- Задача №3
- Задача №4
- Задача №5
Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.
Периметр треугольника
Определение
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.
Определение
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.
Способы нахождения
По трем сторонам
Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:
(P = a+b+c)
где a, b и с — это стороны треугольника.
В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:
(P=a+2b) или (P=a+2c )
где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.
Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:
(P=3a)
где a — это любая сторона фигуры.
По площади и радиусу вписанной окружности
Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:
(P=frac{2S}r)
где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.
По двум сторонам и углу между ними
Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.
Теорема косинусов выглядит так:
(a^2=b^2+c^2-2bctimescosalpha)
где α — известный угол.
Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:
(P=sqrt{b^2+c^2-2bctimescosalpha}+b+c)
По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.
Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:
(d^2=a^2-h^2)
(d=sqrt{a^2-h^2})
где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.
Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.
(P=2sqrt{a^2-h^2}+2a)
По двум катетам (для прямоугольного)
Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).
(c^2=a^2+b^2)
(c=sqrt{a^2+b^2})
где a и b — катеты треугольника.
Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:
(P=sqrt{a^2+b^2}+a+b)
Примеры решения задач
Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.
Задача №1
Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.
Решение:
Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.
Ответ: 16 см.
Задача №2
Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.
Решение:
Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.
Ответ: 14 см.
Задача №3
Нам известно, что площадь треугольника — 24 см2, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.
Решение:
В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac{2S}r). С уже известными нам величинами получаем: (P=frac{2times24}8 = 6) см.
Ответ: 6 см.
Задача №4
Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.
Решение:
Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt{a^2-h^2}+2a). С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt{4^2-2^2}+2times2 = 4sqrt3+4) см.
Ответ: P=4sqrt3+4 см.
Задача №5
Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.
Решение:
В формулу (P=sqrt{a^2+b^2}+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt{5^2+7^2}+5+7 = sqrt{74}+12) см.
Ответ: (P=sqrt{74}+12) см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так