Как найти периметр треугольника координат в пространстве

Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин? Какая формула должна использоваться? Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам: Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 4 года назад  Периметр по координатам Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2): Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр. Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться. Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4. Рассмотрим несколько примеров. 1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1). P(ABC) = AB + AC + BC. AB = √(0 + 2²) = √4 = 2. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24. Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24. 2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1). P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD). AB = √(0 + 3²) = √9 = 3. AC = √(1² + 0) = √1 = 1. Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8. ** Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка. Порядок действий такой: Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат. Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями. Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения. Sadne­ss [5.6K] 4 года назад  Так как координаты вершин нам известны, то, для нахождения периметра, остаётся просто вычислить длину каждой стороны и сложить их. Длина отрезка вычисляется так: l=sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2); Важно: вычитаем всегда начало из конца. Нахождение на примере: Найдём длины всех трёх сторон и сложим. AB=sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)=sqrt((12 — 1)^2 + ((-5) — 8)^2)=sqrt(121 + 169)=sqrt(290); BC=sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)=sqrt((-2 — 12)^2 + (1 — -(5))^2)=sqrt(196 + 36)=sqrt(232); CA=sqrt((1 — (-2))^2 + (8 — 1)^2)=sqrt(9 + 49)=sqrt(58); Далее просто складываем полученные результаты: P=AB+BC+CA; Ну вот и всё, так просто находится периметр по заданным координатам(для любой фигуры). P.s извиняюсь за плохо подобранные координаты. Давайте сначала вспомним, что такое периметр фигуры и как его вычислить. Периметром называется сумма длин всех сторон данной фигуры. Таким образом, для вычисления периметра какой-либо фигуры нужно знать длину всех ее сторон. Затем дело останется за малым — просто сложить длины. По сути, сторона любого многоугольника ( треугольника, четырехугольника, пятиугольника и так далее ) представляется собой отрезок. Для вычисления длины отрезка по координатом его концов используется следующая формула: , где х1 и х2 — координаты концов отрезка по оси х, а y1 и y2 — координаты по оси у. Подставляем в формулу значения, проводим вычисления. Находим длину каждой из сторон. Суммируем все длины. Hamst­er133­7 [28.6K] 2 года назад  Периметр геометрических фигур по координатам вершин можно найти при помощи формулы Где x1,x2 это первая координата, y1,y2 это вторая координата. Данную формулу нужно применять к каждой паре соседних вершин многоугольника. После обхода и суммирования всех длин будет получен периметр. Алиса в Стран­е [364K] 3 года назад  Любая геометрическая фигура это совокупность отрезков, составляющих ее стороны, и вершин а ее периметр — сумма длин этих отрезков, сумма сторон, поэтому если мы найдем длины всех сторон и сложим их, то получим как раз периметр фигуры. Для того, чтобы найти длину отрезка АВ, зная его координаты, есть такая вот формула: где точка А имеет координаты (x1; y1), а точка В — координаты (x2; y2). Итак, длину отрезка мы находить научились. Допустим теперь, что у нас есть треугольник АВС, мы знаем координаты его вершин, по указанной выше формуле мы находим длины отрезков АВ, ВС, АС и складываем их, получая периметр этого треугольника АВС: АВ + ВС + АС. габба­с [215K] 4 года назад  Периметр любого многоугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. Значит задача сводится к нахождению длины отрезка по координатам его концов. А это известная формула из курса геометрии основной школы. Итак, длина отрезка d = sqrt(x2^2 — x1^2) + (y2^2 — y1^2), х1 и у1 координаты начала, х2,у2 — координаты конца отрезка. Таким образом находим длины всех сторон многоугольника и суммируем эти значения. Лара Изюми­нка [59.9K] 3 года назад  Во-первых, вспомним, что такое периметр — это сумма длин сторон. То есть нам нужны длины сторон многоугольника. Чтобы их найти, зная координаты точек, воспользуемся формулой из геометрии для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости: AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2. То есть нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов разницы координат по х и по у. Если фигура в пространстве, то добавится еще разница координат по z. AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2 Когда длины всех отрезков найдем остается их только сложить. Периметром фигуры зовется сумма длин всех сторон. Для поиска длинны сторон воспользуйтесь формулой длинны отрезка согласно координатам, которые заданы. (x1; y1) и (x2; y2): Так, если вы последовательно сложите значения, которые получите, то сможете получить периметр. Что касается примеров, при условии наличия координат по точкам А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Следует сложить — получить. Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Если геометрическая фигура находится в системе координат и координаты ее вершин известны, то длину сторон будем искать по такой формуле: У нас есть треугольник. Координаты его точек- А (4;2), В(-6;-3), С(0;8) Находим длины отрезков АВ, ВС и АС по формуле. Складываем полученные результаты и получаем периметр. Барха­тные лапки [382K] 3 года назад  Существует формула, по которой можно вычислить длину отрезка, если известны координаты. Делим нашу геометрическую фигуру на отрезки, считаем длину каждого отрезка и затем все значения длин складываем. Таким образом мы получаем периметр. Знаете ответ?

Периметр треугольника через координаты

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Расчет треугольника по координатам вершин

Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.

Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:

Обозначения треугольника

• длину стороны a — стороны, противолежащей вершине А
• длину стороны b — стороны, противолежащей вершине B
• длину стороны c — стороны, противолежащей вершине C
• значение угла α при вершине A
• значение угла β при вершине B
• значение угла γ при вершине C
• периметр треугольника
• площадь треугольника

Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.

Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин

Периметр — это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. Для , как и всех других многоугольников, это ломаная линия, составленная из его всех его сторон. Поэтому задача вычисления периметра треугольника, заданного координатами его вершин, сводится к вычислению длины каждой из сторон с последующим суммированием полученных величин.

Чтобы вычислить длину стороны, рассмотрите вспомогательный треугольник, составленный из самой стороны и двух ее проекций на оси абсцисс и ординат. В этой фигуре две проекции будут образовывать прямой угол — это вытекает из определения прямоугольных координат. Это означает, что они будут катетами в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой будет сама сторона. Ее длину можно вычислить по теореме Пифагора, надо лишь найти длины проекций (катетов). Каждая из проекций представляет собой отрезок, начальная точка которого определена меньшей координатой, конечная — большей, а их разница и будет длиной проекции.

Рассчитайте длину каждой стороны. Если обозначить координаты точек, определяющих треугольник, как A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃), то для стороны АВ проекции на оси абсцисс и ординат будут иметь длины X₂-X₁ и Y₂-Y₁, а длина самой стороны в соответствии с теоремой Пифагора будет равна АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²). Длины двух других сторон, рассчитанные через их проекции на оси координат, можно записать так: ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²), СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²).

При использовании трехмерной системы координат в подкоренное выражение, полученное на предыдущем шаге, добавьте еще одно слагаемое, которое должно выражать квадрат длины проекции стороны на ось аппликат. В этом случае координаты точек можно записать так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). А формулы расчета длин сторон примут такой вид: АВ = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²), ВС = √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) и СА = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).

Рассчитайте периметр (Р) треугольника, сложив полученные на предыдущих шагах длины сторон. Для плоской Декартовой системы координат формула в общем виде должна выглядеть так: Р = АВ + ВС + СА = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)²). Для трехмерных координат эта же формула должна иметь такой вид: Р = √((X₂-X₁)² + (Y₂-Y₁)² + (Z₂- Z₁)²) + √(( X₃-X₂)² + (Y₃-Y₂)² + (Z₃-Z₂)²) + √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Содержание:

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОА_х = 2 и ОА_у = 3 (рис. 4).

Через точку А_х проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A₁ . Через точку A₁ проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА₁ = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Расстояние между двумя точками

Пусть заданы две точки А (х₁; у₁; z₁) и B (х₂; у₂; z₂).

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках А_z и В_z .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую АА_z в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ² = АС² + СВ².

Однако

Поэтому

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как

х₁= х₂ , у₁ = у₂ , мы опять приходим к вышеприведённой формуле.

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид:

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

точках А (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2).

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .

Ответ:

Координаты середины отрезка

Пусть А (x₁; y₁;z₁) и В (х₂; у₂; z₂) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка С_z — середина отрезка А_zВ_z.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Задача 3. Докажите, что четырёхугольник МЛШЬ с вершинами М{3; 6; 4), N(0; 2; 4), К(3; 2; 8), 1(6; 6; — параллелограмм (рис. 9).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Координаты середины отрезка NL:

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Координатами вектора с началом в точке А (х₁; у₁; z₁) и концом в точке В (х₁; у₁; z₁) называют числа , (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).

Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а₁,

а₂ и а₃ — координаты точки А, то есть А (а₁; а₂; а₃), то эти же числа будут

координатами вектора : (а₁; а₂; а₃).

Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с₁; с₂; с₃) и концом в точке будет иметь те же координаты: .

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают

так. Длина вектора , заданного координатами,

вычисляется по формуле .

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Следовательно, .

Докажите самостоятельно, что

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов и (b₁; b₂; b₃); называют вектор (рис. 20).

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:

a) — переместительный закон сложения векторов;

b) — распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21):

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА₁В₁С₁D₁ параллелепипед (рис. 24), то

.

Вектор ​​​​​​= (a1; a₂; a₃) — называют умножением вектора

(a₁; a₂; a₃) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов и и чисел и

а);

b);

c) и направление вектора

совпадает с направлением вектора , если ,

противоположно направлению вектора , если .

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы

и сонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.

Если , то векторы и сонаправлены , если, то

противоположно направлены .

Свойство 2. Если векторы (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

и наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции .

Откуда находим , .

Итак,

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).

Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:

.

Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами и обозначают так .

Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:

Свойство. Если и (b₁; b₂; b₃), то () =

Доказательство. Приложим векторы и к началу

координат О (рис.32). Тогда = и = (b₁; b₂; b₃).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Тогда .

Однако, ,

и .

Следовательно,

.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется

это равенство.

Свойства скалярного произведения векторов

1. — переместительное свойство.

2. — распределительное свойство.

3. — сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то , так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.

6. .

7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами

: ; (2)

с) условие перпендикулярности векторов и

.

(3)

Пример:

— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .

Решение:

Найдём длины векторов :

,

.

,

.

Следовательно,

Пример:

Найдите угол между векторами .

Решение:

Итак,

Пример:

Найдите , если , и угол между векторамии равен .

Решение:

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:

1)

. Следовательно,.

Тогда.

2)

.

Следовательно, .

Тогда

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов и :

.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

.

Учитывая, что ,

найдём искомое произведение

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F_1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X₁ параллельным

переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F₁. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F₁ . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

и т. д.

Пусть точка фигуры F перешла в точку

фигуры F₁ при помощи параллельного переноса

на вектор .

Тогда по определению получим:

или

.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .

Ответ: .

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА₁ то точки А и А₁ называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А₁ = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА₁. Следовательно,

Из этих уравнений получаем:

.

Ответ:

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А₁ называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F₁, и F₂ на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением.

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА₁ и СС₁.

Поворот и симметрия относительно оси

Пусть в пространстве заданы точки А и А₁ и прямая l. Если перпендикуляры АК и А₁К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А₁ в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F₁ . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F₁ с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Симметрия в природе и технике

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть и преобразование переводят фигуру F₁, в фигуру F₂. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X₁ и Х₂ фигуры F₁ и соответствующих им точек Y₁ и Y₂ фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х₁ удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F₁ то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F₁.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F₁ симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

1. Расстояние
между двумя точками.
Даны точки А
(х₁;
у₁;
z₁)
и В
(х₂;
у₂;
z₂).
Найти расстояние между точками А
и В.

Искомое расстояние
d
равно:

.
(7)

2. Деление
отрезка в данном отношении.
Даны точки А
(х₁;у₁;
z₁)
и В
(х₂;
у₂;
z₂).
Найти координаты точки М,
делящей отрезок АВ
в следующем отношении
.

Искомые координаты
точки М
находятся по следующим формулам:

– (8)

В частности, если
λ = 1, т. е. АМ
= МВ,
то они примут вид

– (9)

формулы координат
середины отрезка.

Решение практических задач по теме: «Прямоугольные декартовы координаты»

П
р и м е р 1.
Построить на координатной плоскости
точки:

Рис.
1.

А
(4; 3), В
(– 2; 5), С
(5; – 2),

D
(– 4; – 3), E
(– 6; 0), F
(0; 4).

Рис.
1.

Решение.
Чтобы построить точку А
необходимо на оси абсцисс отложить
отрезок равный 4, а по оси ординат –
отрезок равный 3. Затем восстановить
перпендикуляры из полученных точек до
пересечения друг с другом. Полученная
точка и будет точкой А. Аналогично
строятся точки В,
С,
D,
E,
F
(смотри рисунок 1).

Решение практических задач по теме: «Основные задачи на метод координат на плоскости»

П р и м е р 2.
Построить треугольник с вершинами А
(– 4; 2), В
(0; – 1) и С
(3; 3) и определить его периметр и углы.

Решение.
Чтобы вычислить периметр необходимо
найти длины сторон треугольника. Найдем
длины сторон по формуле (1):

.

.

.

Периметр вычислим
по формуле р
= d₁
+ d₂
+ d₃,
т. е.

.

Выполним чертеж.

Так
как треугольник равнобедренный, то углы
при основании равны, т. е. α
= γ.
Тогда

β
= 180 – α – α
= 180 – 2∙α

По теореме косинусов
найдем угол α:

ВС²
= АС²
+ АВ²
+ 2∙АС∙АВ∙cos
α.

.

,

т. е.
=
45º. Значит β = 180º – 90º = 90º. Следовательно,
треугольник является прямоугольным.

П р и м е р 3.
Даны вершины треугольника АВС:
А
(1; 5), В
(9; 10); С
(10; 3). Определить координаты точки
пересечения медиан треугольника.

Решение.
Сначала найдем координаты точки D
середины одной из сторон, например
стороны АВ.
Для этого воспользуемся формулой (3):

.

Точка М,
в которой пересекаются медианы, делит
отрезок CD
в отношении 2:1, считая от точки С.
Следовательно, координаты точки М
определяются по формулам (2):

.

Ответ:
.

П р и м е р 4.
Известны точки А
(– 2; 5), В
(4; 17) – концы отрезка АВ.
На этом отрезке находится точка С,
расстояние которой от точки А
в два раза больше расстояния от точки
В.
Определить координаты точки С.

Решение.
Так как |AC|
= 2∙|CB|,
то λ = |AC|:|CB|
= 2. Следовательно,

,

Ответ:
С
(2; 13).

Решение практических задач по теме: «Полярные координаты»

П
р
и
м
е
р
5.
Найти
прямоугольные
координаты
точек А,
В,
С
для которых известны полярные координаты:
А
(3; 0), В
,
С
.

Решение.

– По условию задачи
имеем для точки А:
ρ
= 3, φ
= 0. По формулам (5) находим х
и у:

х
= 3 cos
0 = 3, y
= 3 sin
0 = 0.

Итак, А
(3, 0).

– По условию задачи
имеем для точки В:
ρ
= 2, φ
=
.
По формулам (5) находим х
и у:

х
= 2 cos

= 2∙
= 1, y
= 2 sin

= 2∙.

Итак, В
(1,
).

– По условию задачи
имеем для точки С:
ρ
= 5, φ
=
.
По формулам (5) находим х
и у:

х
= 5 cos

= 5∙0 = 0, y
= 5 sin

= 5∙1 = 5.

Итак, С
(0, 5).

П р и м е р 6.
Найти полярные координаты точек А,
В,
С,
для которых известны прямоугольные
координаты: А
(– 3; 3), В
,
С
.

Решение.

– По условию задачи
имеем для точки А:
х
= – 3, у
= 3. По формулам (4) находим ρ
и φ:

Итак, А
.

– По условию задачи
имеем для точки В:
х
= 2, у
=
.
По формулам (4) находим ρ
и φ:

Итак, В
.

– По условию задачи
имеем для точки С:
х
=
,
у
= 2. По формулам (4) находим ρ
и φ:

Итак, С
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти периметр треугольника

Решение.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j — x_i; Y = y_j — y_i; Z = z_j — z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i — координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j — координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x₂ — x₁; Y = y₂ — y₁; Z = z₂ — z₁
X = 2-2; Y = 0-1; Z = 5-3
AB(0;-1;2)
AC(3;-2;7)
BC(3;-1;5)

2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:




т.е. периметр равен Р = 2.236 + 7.874 + 5.916 =16.026.

ПОМОГИТЕ МНЕ ПОЖАЛУЙСТА. По координатам вершин треугольника ABC найти: периметр треугольника; уравнения сторон AB и BC; уравнение высоты AD; угол ABC; площадь треугольника. Сделать чертеж.
А(3; 3); В(–3; –3); С(3; 5).

Даны координаты вершин треугольника ABC: А(3; 3); В(–3; –3); С(3; 5).

1) Периметр треугольника.

Расчет длин сторон

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √72 = 6√2 ≈ 8,48528.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √100 = 10.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √4 = 2.

Периметр равен 12 + 6√2 ≈ 20,48528.

2) Уравнения сторон AB и BC.

х — у = 0 общее уравнение,

у = х уравнение с угловым коэффициентом (к = 1).

Хс-Хв Ус-Ув 6 8, сократить на 2:

у = (4/3)х + 1.

3) Уравнение высоты AD.

к(АД) = -1/к(ВС) = -1/(4/3) = -3/4.

у = (-3/4)х + в. Подставим точку А(3; 3): 3 = (-3/4)*3 + в, в = 3 + (9/4) = 21/4.

Уравнение АД: (-3/4)х + (21/4).

cos В= АВ²+ВС²-АС² = 0,98995.

B = 0,141897 радиан,

B = 8,130102 градусов.

5) Площадь S треугольника ABC равна:

Площадь можно найти по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Полупериметр p = 10,24264. S = 6.

6) Сделать чертеж — построить точки А, В и С по координатам и соединить отрезками.

Периметр многоугольника по его координатам

В данной статье мы окажем помощь в расчете периметра многоугольника, заданного координатами его вершин. Несмотря на то, что сам принцип расчета прост, при большом количестве вершин, Вам придется делать несколько раз одни и те же вычисления, то есть выполнять рутинную операцию. А я страсть как не люблю рутину и Вам ей заниматься не советую.

Формула которая используется проста:

Если извеcтны две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2) то расстояние между ними

эту формулу необходиом применить к каждой паре координат соседних вершин многоугольника. И как только мы закончим обход и просуммировав все длины мы получим наш периметр.

Теперь что касается ввода данных. В предыдущем материале Площадь многоугольника по координатам онлайн ввод координат осуществляется через двоеточие и пробел, что не совсем удобно.

В этой статье, для упрощения и для обощения ( на комплексное представление) коодинаты будут задаватся в виде комплексных чисел.

Для тех кто с комплексными числами никогда не сталкивался, хочу успокоить — ничего страшного.

И если Вы координату раньше представляли как (x,y), то в комплексном представлении эта же координата видится уже как x+iy

Для ввода это немного проще, так как в дальнейшем при написании статьи про линейные преобразования фигуры на плоскости, это форма ввода нам пригодится, да и понимать ту статью Вам будет уже намного проще.

Теперь немного примеров:

Определим периметр многоугольника заданного координатами А (0; 0); В (8; 2); С (–2; 6).

Так как три вершины то это треугольник.

Введем данные в поле ввода( разделяя каждую координату вершины пробелом) в таком формате 0+0i 8+2i -2+6i