Как найти периметр треугольника зная среднюю линию - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Расчёт периметра треугольника по средним линиям

Калькулятор рассчитывает периметр треугольника по средним линиям.

Введите длины средних линий треугольника

Периметром треугольника называется сумма всех длин его сторон.

Определение средней линии

Средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Среднии линии треугольника делят его на четыре равновеликих треугольника.

Формула периметра треугольника через среднии линии

P=MN*2+NK*2+KM*2

MN, NK, KM — средние линии треугольника

P — периметр треугольника

Похожие калькуляторы

Источник

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Отсюда следует, что

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Следствие №2

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

KL – средняя линия треугольника ABC
K – середина стороны AB: AK = KB
L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

△KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /₂ ⋅ BC = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/srednyaya-liniya-treugolnika.html

Что такое средняя линия треугольника

Источник

{P=a+b+c}

Чтобы найти периметр треугольника необходимо сложить длины трех его сторон. Однако, существует множество других формул, которые позволяют рассчитать периметр треугольника. На странице мы собрали самые известные формулы для расчета периметра треугольника, а также удобный калькулятор.

Содержание:

калькулятор периметра треугольника
формула периметра треугольника через стороны
формула периметра треугольника по средним линиям
формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними
формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
формула периметра прямоугольного треугольника по катетам
формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу
формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте
формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте
формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию
формула периметра равностороннего треугольника по высоте
формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности
примеры задач

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки.

Формула периметра треугольника через стороны

{P = a+b+c}

a, b и c — стороны треугольника

Формула периметра треугольника по средним линиям

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон.

{P=2a+2b+2c}

a, b и c — средние линии треугольника

Формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними

{P=a+b+sqrt{a^2+b^2-2ab cdot cos(alpha)}}

a и b — стороны треугольника

α — угол между сторонами a и b

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (90 градусов).

{P = a+c+sqrt{c^2-a^2}}

a — катет прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Формула периметра прямоугольного треугольника по катетам

{P = a+b+sqrt{a^2+b^2}}

a и b — катеты прямоугольного треугольника

Формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и прилежащему углу

{P=csin(alpha)+ccos(alpha)+c}

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

α — прилежащий к гипотенузе угол

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

{P=a \tg(alpha)+a+dfrac{a}{cos(alpha)}}

a — катет прямоугольного треугольника

α — прилежащий к катеру угол

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

{P=a+dfrac{a}{\tg(alpha)}+dfrac{a}{sin(alpha)}}

a — катет прямоугольного треугольника

α — противолежащий к катеру угол

Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

{P = 2a+2sqrt{a^2-h^2}}

a — боковая сторона равнобедренного треугольника

h — высота равнобедренного треугольника

Формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте

{P = a+2sqrt{Big( Big(dfrac{a}{2} Big)^2+h^2 Big)}}

a — основание равнобедренного треугольника

h — высота равнобедренного треугольника

Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

{P=2b+a}

a — основание равнобедренного треугольника

b — боковая сторона равнобедренного треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника по высоте

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

{P=2sqrt{3}h}

h — высота равностороннего треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника через площадь вписанной окружности

{P = 6sqrt{dfrac{3S}{pi}}}

S — площадь вписанной в равносторонний треугольник окружности

Примеры задач на нахождение периметра треугольника

Задача 1

Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6см 9см и 10см.

Решение

Для решения задачи применим формулу №2. Подставим в нее длины средних линий и произведем вычисления.

P = 2a+2b+2c = 2 cdot 6 + 2 cdot 9 + 2 cdot 10 = 12 + 18 + 20 = 50 : см

Ответ: 50 см

Ответ проверим с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите периметр треугольника со сторонами 14см, 17см и 17см.

Решение

А для этой задачи подойдет первая формула.

P = a+b+c = 14 + 17 + 17 = 48 : см

Если обратить внимание на то, что у треугольника в условии две стороны имеют одинаковую длину, то можно понять, что данный треугольник равнобедренный. И тогда задачу можно решить используя формулу для равнобедренного треугольника.

P=2b+a = 2 cdot 17 + 14 = 34 + 14 = 48 : см

Ответ: 48 см

Проверим ответ по первой и второй формуле.

Задача 3

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.

Решение

Воспользуемся подходящей формулой.

P = a+b+sqrt{a^2+b^2} = 12+16+sqrt{12^2+16^2} = 28+sqrt{144+256} = 28+sqrt{400} = 28+20 = 48 : см

Ответ: 48 см

Полученный результат удобно проверить с помощью калькулятора .

Задача 4

Найдите периметр равнобедренного треугольника основание которого равно 13см а боковая сторона 8см.

Решение

Для равнобедренного треугольника, у которого известно основание и боковая сторона нам подходит эта формула.

P=2b+a = 2 cdot 8 + 13 = 16 + 13 = 29 : см

Ответ: 29 см

Проверка .

Задача 5

Найдите периметр равностороннего треугольника, если его высота равна 9см.

Решение

Для равностороннего треугольника с известной высотой мы применим эту формулу.

P = 2sqrt{3}h = 2sqrt{3} cdot 9 = 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см

Ответ: 18sqrt{3} : см approx 31.17691 : см

Проверить ответ поможет калькулятор .

Источник

Как найти периметр треугольника зная его среднюю линию?

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Как найти периметр треугольника зная его среднюю линию?, относящийся
к уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов, вы открыли нужную страницу.
В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по
интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после
ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или
полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с
помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с
посетителями этой страницы.

Источник

Как найти периметр треугольника зная его среднюю линию?

1 ответ:

0

0

Среднюю линию умножаем на 2, а потом полученное умножаем на 3