Как найти периметр вписанной окружности в четырехугольник

Задание 6. Математика ЕГЭ. В четырехугольнике ABCD вписана окружность. АВ = 27, CD = 15.

Задание.

В четырехугольнике ABCD вписана окружность. АВ = 27, CD = 15. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Решение:

Периметр четырехугольника ABCD – это сумма длин всех его сторон, т. е.

P = AB + BC + CD + AD.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, т. е.

AB + CD = AD + ВС = 27 + 15 = 42

P = AB + BC + CD + AD = 42 + 42 = 84

Ответ: 84

Обозначим точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA через F, G, H, I соответственно. Тогда:

AF = BI (как радиус окружности)

BG = CH (как радиус окружности)

AH = DI (как радиус окружности)

Также заметим, что стороны AB и CD являются диаметрами окружности. Поэтому длины этих сторон равны двойному радиусу окружности.

AB = 2AF = 2BI

CD = 2CH = 2DI

Таким образом, мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (длиными сторон BI, BG, CH, DI). Решив ее, мы можем найти длины всех сторон четырехугольника.

BI = BG = 12

CH = DI = 8

Теперь можно найти длины оставшихся двух сторон:

AC = BI + BG = 24

BD = CH + DI = 16

Периметр четырехугольника ABCD будет равен:

AB + BC + CD + DA = 17 + 24 + 11 + 16 = 68.

Ответ: 68.

Пусть точки касания окружности с сторонами AB, BC, CD, DA обозначены как E, F, G, H соответственно. Также пусть радиус вписанной окружности равен r.
Тогда AE = AF = r, и CG = CH = r. Также мы знаем, что AB = 12 и CD = 50.
Используя теорему Пифагора в треугольниках ABE и CDG, мы можем найти длины BE и DG:
BE = sqrt(AB^2 — AE^2) = sqrt(144 — r^2)
DG = sqrt(CD^2 — CG^2) = sqrt(2500 — r^2)
Теперь мы можем найти длины оставшихся двух сторон:
BC = BE + EF + FG + GC = sqrt(144 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(2500 — r^2)
AD = DG + GH + HE + AE = sqrt(2500 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(144 — r^2)
Периметр четырехугольника ABCD равен сумме всех четырех сторон:
P = AB + BC + CD + DA = 12 + sqrt(144 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(2500 — r^2) + 50 + sqrt(2500 — r^2) + 2r + 2r + sqrt(144 — r^2)
P = 124 + 4r + 2sqrt(144 — r^2) + 2sqrt(2500 — r^2)
Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен 124 + 4r + 2sqrt(144 — r^2) + 2sqrt(2500 — r^2).

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

• Треугольник
• Выпуклый, правильный многоугольник
• Квадрат
• Равнобедренная трапеция
• Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

1.  В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
2.  Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
3.  Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
4.  Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

   [ S = frac{1}{2}(a+b+c) cdot r = pr ]

   p —  полупериметр четырехугольника.
   r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

5.  Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
6.  Точка касания — это точка, в которой соприкасается
   окружность и любая из сторон треугольника.
7.  От центра вписанной окружности можно провести
   перпендикуляры к любой точке касания.
8.  Вписанная в треугольник окружность делит стороны
   треугольника на 3 пары равных отрезков.
9.  Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
   Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

   [ с = sqrt{R^2 — 2Rr} ]

   с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
   R — радиус описанной около треугольника.
   r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
   сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
3. Центр вписанной окружности и середины двух
   диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
   окружность и любая из сторон четырехугольника.
6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

   [ S = frac{1}{2}(a+b+c+d)cdot r = pr ]

   p —  полупериметр четырехугольника.
   r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

7. Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
   равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

Примеры вписанной окружности

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
   в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
   углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
   половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
    три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Центральный угол вписанной окружности – это угол, вершина
которого лежит в центре вписанной окружности.

Вписанный угол вписанной окружности – это угол,
вершина которого лежит на вписанной окружности.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Так-же читайте статью про треугольник вписанный в окружность.