Как найти период десятичные числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Это очень просто

Время на прочтение
2 мин

Количество просмотров 19K

Рассмотрим следующую задачу. Найти период дроби 1/81. Уверяю, что для решения не потребуется ни калькулятор, ни деление столбиком. Для начала вспомним чему равно 81*(Период). Пусть длина периода n, тогда исходная дробь запишется как:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{Период}{10^{2n}}+frac{Период}{10^{3n}}+...$

Перепишем данное представление в следующем виде:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{1}{10^n} cdotleft(frac{Период}{10^{n}}+frac{Период}{10^{2n}}+..right)$

Последнее выражение можно представить так:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{1}{10^n} cdotfrac{1}p$

Ну а теперь то соотношение, которое мы искали:

Для нашего случая это тождество будет следующим:

Разделим левую и правую часть на 9, получим:

Первое число, составленное из одних единиц, которое делится на 9 равно 111111111, это следует из признака делимости на 9. Делить будем через сумму цифр исходного числа. Двигаемся слева направо, складываем цифры делимого и на каждом шаге записываем полученную сумму. Результат работы данного алгоритма — число 12345678,9999… Здесь надо пояснить, что когда мы достигаем крайней правой цифры, то ставим запятую и полученную сумму цифр исходного числа дублируем как бесконечную десятичную дробь. Вспоминаем, что 0,999…=1 и получаем ответ, который мы искали 12345679. Если рассмотреть более общую задачу нахождения периода дроби $frac{1}{9^n}$ , то окажется, что период такой дроби имеет длину ${9^{n-1}}$ и если известен период для случая n-1, то следующий равен произведению данного периода на число вида 11111… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз)22222… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз)33333… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз). Самая правая секция будет иметь вид 8888..889. Последняя цифра девятка.
И еще одно наблюдение, теперь для дробей вида $frac{1}{11^{n}}$ . В этом случае длина периода равна $2cdot{11^{n-1}}$ . И если известен период для случая n-1, то следующий период равен произведению данного периода на число, составленное из 10 блоков, где длина каждого блока $2cdot{11^{n-2}}$ . Блоки имеют следующую структуру:
09090909…
18181818…
27272727…
36363636…
…
последний блок 90909091. Для $frac{1}{11}$ период 09, для $frac{1}{11^{2}}$ период будет 09182736455463728191*9=0082644628099173553719.
Проверил формулу для $frac{1}{11^{3}}$ . Получил

75131480090157776108189331329827197595792637114951164537941397445529676934635612
32156273478587528174305033809166040570999248685199098422238918106686701728024042
0736288504883546205860255447032306536438767843726521412471825694966190833959429,

что совпадает с периодом без ведущих нулей.

Приведу код процедур, которые я использовал для проверки своих выводов.

Function GreatestCommonDivisor(x,y)

    if x=y then
        return x;
    endif;  

    a=min(x,y);
    if a=1 then
        return 1;
    endif;  
    b=x+y-a;

    while TRUE do
     c=b%a; 
     if c=0 then
         return a;
     endif;  
     b=a;
     a=c;
    enddo;

EndFunction

Function NumeratorFractionPeriod(numerator,denumerator)

    // дробь a/b

    a=numerator;
    b=denumerator;

    while b%2=0 do
        b=b/2;
        a=a*5;
    enddo;  

    while b%5=0 do
        b=b/5;
        a=a*2;
    enddo;  
    //наибольший общий делитель
    c=GreatestCommonDivisor(a,b);
    a=a/c;
    b=b/c;

    if b=1 then
        Period=string(a);
        return Period;
    endif;

    if a>b then
        Period=string((a-a%b)/b);
        a=a%b;
        if a=0 then
            return Period;
        endif;  
        Period=Period+"(";
    else
        Period="(";
    endif;      

    while a%10=0 do
        a=a/10;
    enddo;  

    i=a;
    while TRUE do
        j=0;
        while i<b do
            i=i*10;
            j=j+1;
            if j>1 then
             Period=Period+"0";
            endif; 
        enddo;  

        check=i-a;
        if (check%b)=0 then
            Period=Period+(check)/b;
            break;
        else
            j=i%b;
            Period=Period+(i-j)/b;
            i=j;
        endif;    
    enddo;

    return Period+")";
EndFunction

Источник

Периодические десятичные дроби

10 февраля 2012

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби»)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;

Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть, если она есть;
Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 … = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833 … = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909 … = 4,(09).

Получаем дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc(a₁b₁c₁). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;
Найдите значение выражения X · 10^k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

9,(6);

32,(39);

0,30(5);

0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 …

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10^k = 10¹ = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 … = 96,666 …

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 … − 9,666 … = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 …

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10^k = 10² = 100:

100X = 100 · 32,393939 … = 3239,3939 …

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 … − 32,3939 … = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 … Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10^k = 10¹ = 10;

10X = 10 · 0,30555 … = 3,05555 …
10X − X = 3,0555 … − 0,305555 … = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 … Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10^k = 10⁴ = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 …
10 000X − X = 2475,2475 … − 0,2475 2475 … = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Смотрите также:

Сравнение дробей
Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
Четырехугольная пирамида в задаче C2
Как сдать ЕГЭ по математике
Задача B5: площадь сектора
Задача B4: тарифы на сотовую связь

Источник

Период десятичной дроби. Онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор нахождения периода десятичной дроби может вычислить период дроби, числителем и
знаменателем которой могут быть как целые числа, так и десятичные дроби.

Для записи десятичной дроби используйте точку либо запятую (например, 1.12 или 1,12). Обратите внимание, что калькулятор вычисления периода десятичной дроби находит период в пределах 30000 чисел, так как длина периода может достигать сотен тысяч символов и
вычисления займут большое количество времени.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер по математике

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Источник

Вероятно, читатель знает (а если нет ещё лучше: он узнает это из нашей статьи), что всякая обыкновенная дробь представляется периодической десятичной дробью (конечную десятичную дробь мы можем считать периодической с Но вряд ли многие представляют, сколько неожиданностей заключает в себе эта периодическая дробь. Рассмотрим три примера:

= 0,142857142857. 1

= 0,083333333333. 1

= 0,076923076923.

Мы видим, что у чисел 1 / 7 и 1 / 13 период начинается сразу после запятой и состоит из шести цифр (142857 и 076923 соответственно), а у он начинается с третьей позиции после запятой и состоит из единственной Внимательное рассмотрение периодов позволяет заметить ещё одно обстоятельство. Именно, положим (период и будем последовательно умножать

2 N = 285714,	3 N = 428571,
4 N = 571428,	5 N = 714285,
6 N = 857142,	7 N = 999999.

Мы видим, что первые пять из этих чисел получаются из числа N «круговой перестановкой» цифр: цифр из конца числа переезжает в начало; а состоит из одних девяток. Теперь проделаем то же с периодом

2 N = 153846,	3 N = 230769,
4 N = 307692,	5 N = 384615,
6 N = 461538,	7 N = 538461,
8 N = 615384,	9 N = 692307,
10 N = 769230,	11 N = 846153,
12 N = 923076,	13 N = 999999.

Здесь дело обстоит несколько иначе, но всё равно интересно: пять из выписанных 4 N , 9 N , получаются из числа N круговой перестановкой цифр, другие шесть 5 N , 6 N , 7 N , получаются круговой перестановкой цифр друг из друга и, наконец, состоит из одних девяток.

Можно заметить ещё вот что. Если взять любое из выписанных выше шестизначных чисел, кроме числа 999999, «разломить» его на два трёхзначных числа и вычислить сумму этих половинок, то получится 999; например,

Как видите, с периодическими десятичными дробями связано немало загадок. Некоторые из этих загадок остаются не разгаданными по сей день, несмотря на многочисленные попытки, предпринимавшиеся на протяжении нескольких веков математиками из разных стран, как великими, так и более «скромными». Всё же об этом мы можем рассказать.

Хобби Иоганна Бернулли

Оставим на время периоды и перенесёмся в Швейцарию конца XVIII века. Мы наблюдаем странную картину: маститый математик Иоганн III Бернулли, представитель знаменитой математической семьи Бернулли, удостоившейся, подобно королевским династиям, присоединения порядковых номеров к именам, занимается, можно сказать, детской игрой! Он разлагает на простые множители числа, записываемые одними единицами: 11 = 11, В 1773 году Бернулли помещает в трудах Берлинской академии таблицу простых делителей чисел, составленных из до Несмотря на то, что ему не удалось найти делители для некоторых чисел этого вида 17, 29), а для трёх чисел 25, 27) разложение не доведено до простых множителей, несмотря на допущенные им ошибки (для 24, 26), мы сегодня можем только преклоняться перед гигантским трудом по вычислению простых множителей этих огромных чисел. Можно предположить, что автором таблицы двигала не только исследовательская жилка учёного, но и подлинная эстетическая страсть художника, вдохновлённого удивительным притягательным миром этой загадочной вереницы единиц. Свои сомнения в правильности разложения в отдельных случаях И. Бернулли отражает звёздочкой.

Рис. 1.

В течение первых ста лет, прошедших со времени опубликования таблицы И. Бернулли, в неё не было внесено особой ясности. В 1838 году Вестерберг разложил на простые множители число из и это всё. В 1879 году французский математик Эдуард Люка находит простые делители для и признаёт, что цепочка из не поддаётся разложению. В 1895 году в Париже выходит его книга «Занимательная арифметика», содержащая приведённую ниже таблицу.

Таблица
111 =	3 · 37
1111 =	11 · 101
11111 =	41 · 271
111111 =	3 · 7 · 11 · 13 · 37
1111111 =	239 · 4649
11111111 =	11 · 73 · 101 · 137
111111111 =	3² · 37 · 333667
1111111111 =	11 · 41 · 271 · 9091
11111111111 =	1121649 · 513239
111111111111 =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
1111111111111 =	53 · 79 · 265371653
11111111111111 =	11 · 239 · 4649 · 909091
111111111111111 =	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
1111111111111111 =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
11111111111111111 =	2071723 · 5363222357
111111111111111111 =	3² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667

Угасший было интерес к числам, составленным из единиц, вновь возрос в последние годы, особенно в связи с развитием теории арифметических кодов, служащей основой для реализации методов помехоустойчивого кодирования в компьютерной технике (см., например, книгу Ю. Г. Дадаева «Теория арифметических кодов», изданную в Москве в 1981 г.). Наши загадочные числа, спустя почти двести лет после опубликования первой таблицы их делителей, приобретают, наконец, собственное имя. В «Занимательной теории чисел» 1964 г.) её автор А. Бейлер, посвятив этим числам целую главу под названием «111. 1111», вводит для них термин «repunit» (сокращение английского repeated unit повторенная единица). Русского слова «репьюнит» ещё не найти в словарях, но оно уже появляется в рефератах к зарубежным статьям, приобретая силу нового международного термина.

Математики продолжают штурмовать таблицу делителей репьюнитов, и к n в таблице уже достигает 3000 (С. Ейтс), однако в ней ещё достаточно много пробелов. (К настоящему времени часть этих пробелов ликвидирована и найдены делители. репьюнитов включительно). Отдельный интерес представляют простые репьюниты, поиск которых также продолжается. Уже доказано, что и репьюниты простые.

Нас, однако, репьюниты интересуют не сами по себе, а в связи с периодами десятичных дробей. Существование связи между теми и другими предвидел и Бернулли, который одновременно с уже упоминавшейся таблицей делителей репьюнитов опубликовал обзор известных к тому времени результатов о периодах десятичных дробей, включавший в себя пространную таблицу этих периодов В действительности, эта связь, как мы сейчас увидим, лежит на поверхности.

Рис. 2.

Делители репьюнитов и
представление обыкновенных дробей десятичными

Начнём с трёх простых наблюдений.

Наблюдение 1 . Предположим, что число 999. 999, составленное из n девяток, делится на данное натуральное Запишем частное от деления в виде числа :

a 1 a 2 a 3 . a n

( где несколько первых цифр a i могут быть нулями ). Тогда

= 0, a 1 a 2 a 3 . a n a 1 a 2 a 3 . a n .

Наблюдение 2 . Если число m не делится на 3, то делимость на m числа, составленного из равносильна делимости числа, составленного из

Наблюдение 3 . Если число m не делится на 2 и на 5, то найдётся репьюнит, делящийся

Доказательство . Будем последовательно находить остатки от деления чисел 1, 11, 111 Последовательность этих остатков бесконечна, но в то же время для них имеется только значений Поэтому найдутся два разных репьюнита с одинаковыми остатками от деления («принцип Дирихле»!). Разность этих репьюнитов делится в то же время она имеет вид произведением некоторого репьюнита на некоторую степень Но взаимно просто значит, последний репьюнит делится

Теперь мы можем сформулировать Важный Результат.

Теорема 1 . Если натуральное число m не делится на 2 и на 5, то период десятичной дроби , начинается сразу после запятой. Его длина равна наименьшему n, при котором число, составленное из делится Сам период равен частному от деления этого числа из девяток записанному как число ( возможно, с нулями в начале ). Если m не делится и на 3, то можно также сказать, что длина периода равна номеру первого репьюнита, делящегося на m .

Всё это нами уже доказано. Между прочим, из этой теоремы вытекает следующий, довольно неожиданный результат.

Следствие . Если m не делится на 2, 3 и 5, то период десятичной дроби , делится на 9.

Действительно, если m не делится на 3, то число делится на 9.

Утверждения о периодах в случаях, не охватываемых мы приведём в качестве упражнений.

Упражнение 1 . Пусть m = 2 a 5 b m’ , где m’ не делится ни ни и пусть Тогда период десятичной дроби, начинается с позиции после запятой и имеет такую же длину, как период

Доказательство этого утверждения опирается на лемму: если р и q взаимно просты, то найдутся целые положительные A и B такие, что

Упражнение 2 . Если р и q взаимно просты, то период десятичной дроби, имеет такую же длину, как период десятичной

Наконец, можно усилить наше следствие.

Упражнение 3 . Если q не делится на 3, то при период десятичной дроби, делится на 9.

Теперь мы приступаем к изучению зависимости длин периодов от знаменателей. В этом изучении нам поможет, наряду с теоремой 1,

Малая теорема Ферма

В отличие от своей «Великой теоремы» малую теорему Пьер Ферма снабдил доказательством: он изложил его в в одном из писем. Теорема формулируется так:

Если p простое число и a произвольное натуральное число, не делящееся на p, то делится на p .

Мы не приводим доказательства этой теоремы (хотя читатель, который проделает все упражнения к этой статье, вероятно сможет её доказать). Её доказательство имеется в популярной литературе (см., например, книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?», переизданную в Москве в 1976 г.). Нас эта теорема интересует, главным образом, как средство доказательства фундаментального свойства периодов.

Длина периода дроби с простым знаменателем

Теорема 2 . Если p есть простое число, отличное от 2 и 5, то длина периода является делителем числа

Доказательство . Согласно теореме 1, длина периода есть наименьшее такое, что число, составленное из делится В то же время в силу малой теоремы Ферма число т.е. число, составленное из девяток, делится Мы должны доказать, что делится Если то доказывать нечего; предположим, что Числа, составленные из и n девяток, делятся дополним второе из них нулями до числа и составим разность полученных чисел:

	999. 999 999. 999 999. 999 000. 000
999. 999

Это число составлено из p 1 n девяток, и оно тоже делится Проделав ещё одно подобное вычитание, мы находим, что делится число, составленное из девяток, потом из девяток В конце концов мы придём к числу, в котором девяток меньше, и тут есть две возможности. Либо это число вообще будет нулём, но это как раз и значит, что делится Либо в этом числе девяток будет но а это противоречит тому, что n наименьшая возможная длина числа из девяток, которое делится Теорема доказана.

Обозначим для числа m через L ( m ) длину периода десятичной дроби, Мы доказали, что если p простое число, то есть делитель числа Но какой? Посмотрим на таблицу И. Бернулли (рис. 2). Мы видим, что Ясности не много.

С точки зрения соотношения между длиной периода и все простые подразделяются на три категории:

«полнопериодные» простые, у которых длина периода меньше знаменателя:
«неполнопериодные» простые с нечётной длиной периода:
«неполнопериодные» простые с чётной длиной периода:

Кропотливая работа математиков по выявлению какой-нибудь закономерности в расположении этих групп среди всех простых чисел увенчалась неожиданным результатом. Было обнаружено достаточно устойчивое отношение численностей этих групп в пропорции при этом были использованы таблицы длин периодов для простых знаменателей до 1 370 471 включительно (С. Ейтс, 1975 г.). Были получены и другие общие результаты, причём оказалось, что большое значение при определении длины периода с имеет остаток от деления Например, если этот остаток 27, 31, 39, то нечётно, а если то чётно. Всё же задача вычисления чисел для видимо, далека от решения.

Случай непростого знаменателя

Упражнение 4 . Если p 1 и p 2 взаимно просты между собой и то есть наименьшее общее кратное чисел и

Поскольку всякое натуральное число есть произведение степеней простых, которые между собой взаимно просты, последнее утверждение сводит задачу вычисления длины периода к случаю, когда знаменатель есть степень простого числа. А здесь снова нет ясности: например,

Теперь нам пора оставить длины периодов и обратиться к объяснению феноменов, обнаруженных в начале статьи.

Эффект круговой перестановки

Напомним, в чём он состоит. Мы видели, что шестизначный период при умножении 3, 4, подвергается круговой перестановке: цифр из конца числа переезжает в начало. Несколько иначе ведёт себя при умножении на различные числа шестизначный период Впрочем, что именно с ним происходит, читатель может вспомнить, заглянув в начало статьи, а мы сейчас докажем теорему, более или менее объясняющую это явление.

Теорема 3 . Пусть N есть период дроби 1/ m ( записанный как число, возможно, начинающееся одним или несколькими нулями ), где m взаимно просто с 10, и пусть l есть остаток от деления Тогда получается из перестановкой из начала числа в конец .

Доказательство . Пусть M есть целая часть числа т.е. Умножим десятичную при этом запятая переедет на влево. Целая часть получившегося числа Отбросим целую часть. Получится число

M = 10 k Mm

Это периодическая десятичная дробь, период которой получается из периода круговой перестановкой цифр: переезжает из начала в конец; но в то же время это число больше а значит, и его период больше периода Теорема доказана.

Если число 1/ m имеет ( m 1 )-значный период, то доказанная теорема всё объясняет. Действительно, круговыми перестановками цифр из периода можно получить чисел (включая его самого), и все эти числа различны. С другой стороны, умножая период мы тоже получаем чисел; значит, это в точности те же числа. Если же период короче, то круговые перестановки цифр не исчерпывают всех чисел с Всё, что можно сказать в этом случае это что круговая перестановка цифр всегда приводит к числу это доказывается точно так же, как теорема 3.

Интересно, что теорема 3 в некотором смысле обращается:

Теорема 4 . Пусть N есть целое число ( запись которого, возможно, начинается нулём или несколькими нулями ), и пусть A есть число, составляемое последними Предположим, что при перенесении из конца в начало оно превращается в где Тогда периодическая десятичная равна ( Последняя дробь может оказаться сократимой .)

Доказательство . Пусть n число знаков При перенесении из конца в начало оно превращается в число

10 k

+ A ·1 0 n k .

10 k

+ A ·1 0 n k = lN ,

N A + A ·1 0 n = l N ·1 0 k ,

= 10 n 1,

0, NNN . ·

10 n k l 1

= 0,999. = 1,

что нам и требуется.

Сами того не желая, мы научились решать один тип олимпиадных задач. Вот пример.

Задача . Найти все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры из конца в начало . (Мы будем считать, как это обычно делается, что число начинается не с нуля; задачу мы можем и без этого предположения, но ответ будет чересчур громоздок: он будет включать в себя числа 000001, 000009, 000011, Мы будем также понимать слово «увеличивается» буквально, т.е. исключим случай, когда число остаётся при перенесении цифры неизменным; в противном случае в ответ вошли бы числа 111111, 999999.)

Решение . Пусть A последняя цифра нашего числа, и пусть при её перенесении в начало число увеличивается в Таким образом, В силу теоремы 4 наше число есть шестизначный период (возможно, сократимой) дроби Знаменатель этой дроби до сокращения может быть одним из 29, 89; после сокращения на однозначное число знаменатель может превратиться ещё в Так как период дроби шестизначный, знаменатель должен быть делителем числа Это оставляет для него только три возможности: 7, 13, 39. Таким образом, При наша дробь где (дробь должна быть поскольку период не должен начинаться с нуля). Период такой дроби есть (период есть 025641). При дробь и должна сокращаться что оставляет для неё единственную период равен 142857. Итак,

Ответ : 102564, 128205, 142857, 153846, 179487, 205128, 230769.

Упражнение 5 . Решите аналогичную задачу для чисел.

Указание . Воспользуйтесь таблицей делителей репьюнитов.

Теорема 5 . Пусть q простое число, большее 5, и пусть Предположим, что период есть Далее, обозначим число, образуемое первыми периода, и число, образуемое его последними Тогда

Доказательство . По условию,

10 2 n 1

Поскольку 2 n есть наименьшее k , при котором делится не делится а так как q простое число, то взаимно просто Значит, делится на Но в то же время это числа, которые не оба состоят из одних девяток. Значит, и, таким образом, что и требовалось доказать.

Заметим, что простота q использовалась нами только в одном месте: мы вывели из неё, что взаимно просто Разумеется, эта взаимная простота может наступить и при так что заключение нашей теоремы справедливо и при многих непростых знаменателях.

Ещё один эффект

Рассмотрим снова период дроби 1 / 7 : N = 142857. Возведём его в квадрат отделим последние шесть цифр и сложим с тем, что останется:

122449 + 20408 = 142857.

Получился снова наш период. Проделаем подобное с периодом

Получился, правда, не наш исходный период, но число, отличающееся от него на круговую перестановку цифр. Аналогичное для периода

10 февраля 2012

— это любая десятичная дробь, у которой:

Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется дроби, а количество цифр в этом наборе — . Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется .

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть, если она есть;
Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде:

В итоге получается дробь:

Записываем в нормальном виде:

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет
Найдите значение выражения Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

Работаем с первой дробью:

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период Далее умножаем эту дробь Имеем:

10 X = 10 · 9,6666 . = 96,666 .

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10 X − X = 96,666 . − 9,666 . = 96 − 9 = 87;
9 X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак,

Период k = 2, поэтому умножаем все

100 X = 100 · 32,393939 . = 3239,3939 .

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100 X − X =
99 X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;

10 X = 10 · 0,30555 . = 3,05555 .
10 X − X =
9 X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒
10 000 X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 .
10 000 X − X = 2475,2475 . − 0,2475 2475 . = 2475;
9999 X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Задача : на вход в функцию подается два целых числа (int(a), int(b)) . Вернуть нужно частное a/b , причем повторяющиеся числа (период) нужно взять в скобки.

Подошел к решению задачи методом брутфорса. Перебирал дробную часть , искал совпадения. Но в случае 1/117 в период входит более 90 чисел и перебор чисел занимает больше времени, чем позволено в задаче.

Как по-другому решить эту задачу? Может есть более элегантное решение?

3 ответа 3

Для поиска периода рационального числа существует отдельный алгоритм. Перебираем одну за другой степени числа 10: 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Смотрим на остаток от деления этого числа на знаменатель. Если остаток от деления равняется 1, значит степень числа 10, это длина периода. Например, если в знаменателе стоит 13, то:

Получается, период равен 6. Этот период не зависит от того, что стоит в числителе (если дробь сокращена).

Метод не работает, если знаменатель делится на 5 или 2. В таком случае его нужно делить на 2, или 5, пока получится число, которое не делится на 2, 5.

В общем случае (как для вашего примера 1/117), придется использовать длинную арифметику.

Алгоритм ищет только длину периода, что бы получить сам период, нужно делить самому.

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 6

Периодические десятичные дроби. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Перечень рассматриваемых вопросов:

Понятие бесконечной периодической десятичной дроби.

Примеры бесконечной периодической десятичной дроби.

Представление рационального числа в видебесконечной периодической десятичной дроби.

Тезаурус:

Любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Любое положительное рациональное число

преобразуется в положительную дробь.

Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют «чистой».

Если в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

На прошлом уроке мы рассмотрели условия, при которых обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

А как поступать, когда невозможно представить её в таком виде?

Введём понятие бесконечной периодической десятичной дроби.

Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

Если знаменатель содержит, кроме 2 и 5, другие простые делители, то мы не сможем представить её конечной десятичной дробью.

Например:

5/9

Знаменатель 9 = 3³

5/9 не преобразуется в конечную десятичную дробь. Убедимся в этом, выполнив деление уголком.

Разделим числитель 5 на знаменатель 9.

Процесс деления в столбик бесконечный. Приходим к выражению 0,555…,

точки означают, что цифра 5 периодически повторяется бесконечно много раз.

Выражение 0,555… называют бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Записывают 0,(5) .

Читают: « ноль целых и пять в периоде».

Цифру (5) называют периодом дроби 0,(5).

Говорят, что число пять девятых представлено в виде периодической дроби ноль целых и пять в периоде.

При этом пишут:

5/9 = 0,555… = 0,(5)

Выражение 5/9 и 0,(5) являются обозначениями одного и того же числа в виде обыкновенной дроби 5/9 и в виде периодической дроби 0,(5).

Рассмотрим ещё пример.

Рассмотрим:

4/15

Дробь четыре пятнадцатых несократимая, и её знаменатель имеет простые делители 3 и 5, поэтому деление не может быть конечным. Проверим.

Делим уголком 4 на 15.

Записывают так:

0,2(6)

читают: «ноль целых две десятых и шесть в периоде».

(6) ‑ период дроби.

В примерах мы увидели разные периодические дроби.

Периодические дроби бывают двух видов: «чистые» и «смешанные».

Например:

0,(3)

0,(6)

0,(5)

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют «смешанной».

Например:

0,2(6),

0,46(76)

Сформулируем утверждение:

Если применить правило деления уголком к любой несократимой дроби p/q

Где q – знаменатель, который, кроме 2 и 5 имеет другие простые делители, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь, или коротко: периодическая дробь.

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы её приводим в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0.

Например:

45 = 45,0 = 45,000… = 45,(0)

0,673 = 0,673000 = 0,673(0).

Значит, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической десятичной дробью или коротко: периодической дробью.

Тогда сформулируем:

Любое положительное рациональное число p/q преобразуется в периодическую дробь.

Верно обратное. Любая периодическая дробь – это десятичное разложение некоторого положительного рационального числа p/q.

Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Рассмотрим произвольную положительную несократимую дробь p/q

Покажем, что если разделить числитель дроби на знаменатель уголком, то в частном получится либо конечное, либо бесконечное периодическое её преобразование.

Нам известно, чтобы получить конечное десятичное разложение, знаменатель qне должен иметь простых делителей, кроме 2 и 5

В других случаях может быть только бесконечное десятичное разложение, которое является периодическим. Пусть нужно найти десятичное разложение несократимой дроби 15/13.

Будем делить уголком 15 на 13.

Здесь одной звёздочкой отмечен этап вычислений, когда снесена последняя цифра делимого. Получаемые после этого остатки заключены в прямоугольники. Видно, что остатки, отмеченные двумя, тремя звёздочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической десятичной дроби, то есть:

Теперь на примере рассмотрим, как можно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, записать её обыкновенной дробью.

Запишем периодическую дробь 0,(7) в виде обыкновенной.

Для этого обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство

х = 0,(7) (1)

Умножим это равенство на 10, получим

10х = 7,(7) (2).

Вычтем из равенства (2) равенство (1).

10x – x = 7

9x = 7

x = 7 : 9

Применив к дроби 7/9 деление уголком. Снова получим периодическую дробь 0, (7.)

Разбор заданий тренировочного модуля.

Подберите обыкновенную дробь, равную периодической десятичной 0,(14).

Варианты ответов: 14/99, 14/98 14/90

Решение.

Обозначим искомую величину х. Тогда справедливо равенство:

х = 0,(14) (1)

Умножим это равенство на 100, получим

100 х = 14,(14) (2).

Вычтем из равенства (2) равенство (1).

100x – x = 14

99x = 14

x = 14/99

Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби 769/4950

Варианты ответа:

0,15(35);

0,155(35);

0,1(535);

0,153(5).

Решение: Для решения задачи нужно выполнить деление уголком:

Ответ: 0,155(35).

Источник