Как найти период математического маятника по графику

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

  • амплитуда,
  • период,
  • частота,
  • циклическая частота,
  • фаза,
  • начальная фаза.

Характеристики колебаний

Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Амплитуду на графике находят так

Рис. 2. Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это расстояние между двумя одинаковыми значениями колеблющейся величины

Рис. 3. Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

По графику колебаний период удобно определять так

Рис. 4. Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду

Рис. 5. На графике частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Циклическая частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд

Рис. 6. На графике циклическая (круговая) частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Начальная фаза – это угол отклонения качелей перед началом их колебаний

Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Начальная фаза влияет на сдвиг графика по горизонтальной оси

Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

  • Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
  • Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

  • Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

  • Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

  • В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

  1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
  2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

Фаза изменяется в процессе колебаний

Рис. 9. Угол отклонения от равновесия – фаза, изменяется в процессе колебаний

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Фаза и начальная фаза имеют различия

Рис. 10. Перед началом колебаний задаем начальную фазу — начальный угол отклонения от равновесия. А угол, который изменяется во время колебаний, называют фазой

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

Фазу обозначают бегущей по кривой точкой

Рис. 11. На графике колебаний фаза – это точка, скользящая по кривой. В различные моменты времени она находится в разных положениях на графике

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Разность фаз двух колебаний

Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

  • Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

  • Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

  • Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

  • Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

  • Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

  • Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

  • Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Источник

Механические колебания.

  • Гармонические колебания.

  • Уравнение гармонических колебаний.

  • Пружинный маятник.

  • Математический маятник.

  • Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний T — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний nu — это величина, обратная периоду: nu =1/T. Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой x. Положению равновесия отвечает значение x=0. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2, можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

x=Acos(omega t+alpha ) (1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина A является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому A — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса omega t+alpha называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: x_{0}=Acos alpha .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний T и частотой nu. Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: omega T=2 pi, откуда

omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T} (2)

omega =2 pi nu (3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha).

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину x_{0} и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае x_{0}=A, поэтому можно положить alpha=0. Мы получаем закон косинуса:

x=Acos omega t.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае x_{0}=0, так что можно положить alpha =-pi /2. Получаем закон синуса:

x=Asin omega t.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha ). (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha ). (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем -omega^{2}:

a_{x}=-omega^{2}x. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

ddot{x}+omega^{2}x=0. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными A, alpha;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы A, alpha определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу m, жёсткость пружины равна k.

Координате x=0отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось X имеет вид:

ma_{x}=F_{x}. (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и F_{x}<0. Наоборот, если x<0, то F_{x}>0. Знаки x и F_{x} всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

F_{x}=-kx

Тогда соотношение (8) принимает вид:

ma_{x}=-kx

или

a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}. (9)

Отсюда и из соотношения T=2 pi / omega находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна l. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

m vec a=m vec g + vec T,

и спроектируем его на ось X:

ma_{x}=T_{x}.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0), то:

T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0), то:

T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}.

Итак, при любом положении маятника имеем:

ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg. При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство T approx mg. Воспользуемся им в формуле (11):

ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l},

или

a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x.

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t), периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна omega_{0}, а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

F(t)=F_{0}cos omega t.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты omega=omega_{r} наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: omega_{r} approx omega_{0}, и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, omega_{r} = omega_{0}, а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при omega Rightarrow omega_{0}.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Колебательное движение. Математический маятник

  1. Механические колебания
  2. Математический маятник
  3. Параметры колебаний математического маятника
  4. Задачи
  5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Механические колебания — это движения тел, которые в той или иной степени повторяются через определенные промежутки времени.

Примеры колебательных движений:

  • движение маятника в часах;
  • колебание автомобиля на рессорах;
  • покачивание деревьев на ветру;
  • раскачивание качели;
  • сокращения сердца и легких;
  • движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

Математическим маятником называют тело, подвешенное на длинной нерастяжимой нити, размеры которого значительно меньше длины нити.
Нить считается нерастяжимой и невесомой, а тело – материальной точкой на этой нити.

Математический маятник В положении равновесия тело (шарик) находится внизу.
Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ).
Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A.
В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале (-Aleq xleq A).
В положении равновесия x=0.
Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника – это время, за которое маятник совершает одно полное колебание. Период колебаний равен: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
На поверхности Земли (gapprox 9,8 м/с^2)

Частота колебаний математического маятника – это количество полных колебаний, которые маятник совершает за единицу времени: $$ f=frac 1T=frac{1}{2pi}sqrt{frac gL} $$

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c-1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Дано:
(N=3)
(t=9 c)
__________________
(T, f, L-?)
Период колебаний: (T=frac tN)
Частота колебаний: (f=frac 1T=frac Nt)
Длина нити: $$ T=2pisqrt{frac Lg}Rightarrow sqrt{frac Lg}=frac{T}{2pi}Rightarrow frac Lg=left(frac{T}{2pi}right)^2Rightarrow L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2 $$ Подставляем: begin{gather*} T=frac 93=3 (c)\ f=frac 13 (Гц)\ L=9,8cdotleft(frac{3}{2pi}right)^2approx 2,234 (м)approx 223 (см) end{gather*} Ответ: 3 с; 1/3 Гц; 223 см

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
(f=20 кГц=2cdot 10^4 Гц)
(t=1 мин=60 с)
__________________
(T, N-?)
Период колебаний: (T=frac 1f)
Частота колебаний за время (t: N=ft)
Подставляем: begin{gather*} T=frac{1}{2cdot 10^4}=0,5cdot 10^{-4} (c)=50cdot 10^{-6} (c)=50 (мкс)\ N=2cdot 10^4cdot 60=1,2cdot 10^6 end{gather*} Ответ: 50 мкс; 1,2·106

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Дано:
(s=600 м )
(v_1=8 м/с)
(f_1=440 Гц)
(v_2=5 м/с)
(f_2=320 Гц)
__________________
(triangle N-?)

Время полета из улья за нектаром (t_1=frac{s}{v_1})
Количество взмахов крылышками (N_1=f_1 t_1=f_1frac{s}{v_1})
Аналогично количество взмахов на пути назад (N_2=f_2frac{s}{v_2})
Найдем каждое из (N): begin{gather*} N_1=440cdotfrac{600}{8}=33000\ N_2=320cdotfrac{600}{5}=38400 end{gather*} На пути обратно пчела с грузом делает больше взмахов. Искомая разность: $$ triangle N=N_2-N_1=38400-33000=5400 $$ Ответ: 5400

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне ((g_л=1,6 м/с^2)); б) на Марсе ((g_м=3,6 м/с^2)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Дано:
(T=1 с )
(g_л=1,6 м/с^2 )
(g_м=3,6 м/с^2)
__________________
(L_л, L_м-?)

Длина нити: begin{gather*} T=2pisqrt{frac Lg}Rightarrowsqrt{frac Lg} =frac{T}{2pi}Rightarrowfrac Lg=left( frac{T}{2pi}right)^2Rightarrow L = gleft(frac{T}{2pi}right)^2 end{gather*} На Луне: $$ L_л=1,6cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,0405 (м)approx 4,1 (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,0912 (м)approx 9,1 (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
Для работы принять (gapprox 9,80665 м/с^2).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний (T_1=1 с; T_2=2 с).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_1).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний (T_{1 эксп}) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_2). Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T_{2 эксп}).
5. При длине подвеса (L_2) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T ‘). Сравните (T ‘) и (T_{2 эксп}).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей begin{gather*} L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2\ T_1=1 c, L_1=9,80665cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,248 (м)=24,8 (см)\ T_2=2 c, L_1=9,80665cdotleft(frac{2}{2pi}right)^2approx 0,9994 (м)=99,4 (см) end{gather*}

Определение (T_{1 эксп})
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
(t, c) 9,7 10,2 9,8 9,9 10,3 50
(triangle c) 0,3 0,2 0,2 0,1 0,3 1

begin{gather*} t_{cp}=frac{50}{5}=10\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(10,0pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{1 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{1 эксп}=(1,00pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{1 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1}cdot 100text{%}=2,0text{%} $$

Определение (T_{2 эксп})
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
(t, c) 19,7 20,1 19,8 20,2 19,7 99,5
(triangle c) 0,2 0,2 0,1 0,3 0,2 1

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,5}{5}=19,9\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,9pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{2 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{2 эксп}=(1,99pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{2 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1,99}cdot 100text{%}approx 1,0text{%} $$

Определение (T ‘) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
(t, c) 20,2 19,7 19,6 20,0 20,3 99,8
(triangle c) 0,24 0,26 0,36 0,04 0,34 1,24

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,8}{5}=19,96\ triangle_{cp}=frac{1,24}{5}approx 0,25 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,25right}=0,25 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,96pm 0,25) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T’=(1,996pm 0,025) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T’}cdot 100text{%}=frac{0,025}{1,996}cdot 100text{%}approx 1,3text{%} $$

Полученные на опыте интервалы для (T_{2 эксп}) и (T’) (одинаковая длина нити (L_2) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): begin{gather*} 1,97leq T_{2 эксп}leq 2,01\ 1,971leq T’leq 2,021 end{gather*} Таким образом, (T_{2 эксп}approx T’), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний (T_1=1 с; T_2=2 с).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_1=24,8 см) с грузиком 100 г равен $$ T_{1 эксп}=(1,00pm 0,02) c, delta=2,0text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_2=99,4 см) с грузиком 100 г равен $$ T_{2 эксп}=(1,99pm 0,02) c, delta=1,0text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_2=99,4 см) с грузиком 200 г равен $$ T’=(1,996pm 0,025) c, delta=1,3text{%} $$ Формула (T=2pisqrt{frac Lg}) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.

Источник

Задачи на Механические колебания с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на Механические колебания».

Название величины

Обозначение

Единица измерения

Формула

Амплитуда колебаний

A

м

Период колебаний

T

с

T = 1 / v ;

T = t / N

Частота колебаний

v

Гц

v = 1 / T ;

v = N / t

Число колебаний за какое-то время

N

N = t /T ;

N = vt

Время

t

с

t = NT ;

t = N / v

Циклическая частота колебаний

 ω

Гц

Период колебаний пружинного маятника

T

c

Период колебаний математического маятника

T

c

Уравнение гармонических колебаний

x(t) = Asin(ωt+φ0)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
 Шарик на нити совершил 60 колебаний за 2 мин. Определите период и частоту колебаний шарика.

Задача № 2.
 На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

Задача № 3.
 Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 2 мм, частота колебаний 1 кГц. Какой путь пройдет точка струны за 0,4 с? Какое перемещение совершит эта точка за один период колебаний?

Задача № 4.
 Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.

Задача № 5.
 Какова длина математического маятника, совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с2.

Задача № 6.
 Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

Задача № 7.
 Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

Задача № 8.
 Гармоническое колебание описывается уравнением 
 Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

Задача № 9.
 Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли? (Можно принять π2 = 9,87.)

Задача № 10.
  ОГЭ
 Как и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника, если шарик на пружине заменить другим шариком, радиус которого вдвое меньше, а плотность — в два раза больше?

Задача № 11.
   ЕГЭ
 Два математических маятника за одно и то же время совершают — первый N1 = 30, а второй — N2 = 40 колебаний. Какова длина каждого из них, если разность их длин Δl = 7 см?

Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.

ЗАДАЧИ на Механические колебания

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Механические колебания». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к теме: ЗАДАЧИ на 
  • Посмотреть конспект по теме ДИНАМИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
  • Вернуться к списку конспектов по Физике.
  • Проверить свои знания по Физике.
Источник

Период колебаний математического маятника – формула определения

На чтение 3 мин Просмотров 2

В Природе очень широко распространены колебательные процессы. Простейшей системой, на которой можно изучать колебания, является маятник. Получим формулу периода колебаний математического маятника.

Период колебаний математического маятника – формула определения

Математический маятник

Обычный нитяной маятник представляет собой груз, подвешенный на нити, способный совершать колебательные движения после выведения его из состояния равновесия. Для описания движения такого маятника удобно использовать модель, называемую математическим маятником. Математический маятник имеет следующие отличия от реального маятника.

  • Математический маятник, в отличие от реального маятника, не получает и не теряет энергию, трение в математическом маятнике принимается равным нулю.
  • Масса математического маятника представляет собой материальную точку, закрепленную на конце нити. Другой конец неподвижен в принятой Системе Отсчета.
  • Гравитационное поле, в котором маятник совершает колебания, однородно и направлено в сторону от точки закрепления нити к точке равновесия маятника.
  • Нить не имеет веса, и не изменяет свою длину.

Период колебаний математического маятника – формула определения

Рис. 1. Математический маятник.

Для того, чтобы обычный нитяной маятник хорошо описывался формулами математического маятника, необходимо, чтобы его груз имел малый размер, нить была бы нерастяжимой, и максимальное отклонение маятника было бы намного меньше (более, чем в 10 раз) его длины.

Формула периода колебаний

Для определения формулы периода колебаний математического маятника учтем, что колебания совершаются по некоторой дуге. Радиус этой дуги равен длине нити $l$, угол, на который происходит отклонение, обозначим $α$. Мгновенная скорость материальной точки всегда направлена по касательной к траектории, а значит, для математического маятника мгновенная скорость направлена по касательной к этой дуге. Проекция силы тяжести на нее будет равна:

$$F=-mgsinalpha$$

Ускорение движения материальной точки находится по второму закону Ньютона. После проецирования получаем:

$$a_т={Fover m}$$

После подстановки можно сократить массу, получаем:

$$a_т=-gsinalpha$$

Для малых углов дуги $sinalpha=alpha$ и $s=alpha l$, поэтому:

$$a_т=-{gover {l}}s$$

Ускорение – это вторая производная перемещения. Единственная функция, производная которой пропорциональна самой себе со знаком минус – это круговая функция (синусоида). То есть, решение полученного уравнения:

$$s(t)=S_{max} cos sqrt{gover l}t$$

Период колебаний математического маятника – формула определения

Рис. 2. График колебаний математического маятника.

Периодом этой функции (а, значит, и периодом колебаний математического маятника) будет величина:

$$T=2pisqrt {lover g}$$

Данная формула была установлена Х. Гюйгенсом.

Отметим, что формула периода колебаний математического маятника очень похожа на формулу колебаний пружинного маятника. Ускорение свободного падения в математическом маятнике соответствует жесткости пружины в пружинном маятнике. Длина маятника соответствует массе груза. Это объясняется тем, что в обоих случаях причиной колебаний является сила, зависящая от отклонения, направленная против него.

Период колебаний математического маятника – формула определения

Рис. 3. Нитяной и пружинный маятники.

Что мы узнали?

Математический маятник является идеализированной моделью обычного нитяного маятника. Он совершает колебания под действием силы тяжести, проекция которой на вектор мгновенной скорости пропорциональна отклонению. Это обеспечивает возможность свободных колебаний.

Беликова Ирина

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Потерялись apple watch как найти
  • Как составить линейный график в экселе
  • Как найти виллу на бали
  • Как найти прошивку которую скачал itunes
  • Как найти полигон для отходов