Как найти период обращения частицы по окружности

Как найти период обращения частицы по окружности

Задание 18. Протон массой m и зарядом q движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля B по окружности со скоростью v. Действием силы тяжести пренебречь.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А) период обращения протона по окружности

Б) модуль ускорения протона

Сила Лоренца, действующая на частицу со стороны магнитного поля равна

и так как в данном случае , то

.

Перепишем это выражение в соответствии со вторым законом Ньютона, получим:

,

откуда модуль ускорения протона равен:

.

Это центростремительное ускорение , поэтому:

,

откуда радиус окружности

.

Период обращения частицы по окружности – это время, за которое она проходит по этой окружности. Длина окружности равна

,

тогда время прохождения будет равно

.

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности, период обращения и частота.

1. Равномерное движение по окружности

Внимание следует обратить на то, что криволинейные движения более распространены, чем прямолинейные. Любой криволинейное движение можно рассматривать как движение по дугам окружностей с разными радиусами. Изучение движения по кругу дает также ключ к рассмотрению произвольного криволинейного движения.

Мы будем изучать движение тел по окружности с постоянной по модулю скоростью. Такое движение называют равномерным движением по кругу.

Наблюдения показывают, что маленькие частицы, которые отделяются от тела, вращающегося летят с той скоростью, которой владели в момент отрыва: грязь из-под колес автомобиля летит по касательной к поверхности колес; раскаленные частицы металла отрываются при заточке резца о точильный камень, вращающийся также летят по касательной к поверхности камня.

Во время движения по кругу скорость в любой точке траектории направлена ​​по касательной к окружности в этой точке.

Необходимо обратить внимание учащихся, что при равномерном движении по окружности модуль скорости тела остается постоянным, но направление скорости все время меняется.

2. Период вращения и вращающаяся частота

Движение тела по окружности часто характеризуют не скоростью движения, а промежутком времени, за которое тело совершает один полный оборот. Эта величина называется периодом вращения.

Период обращения — это физическая величина, равная промежутку времени, за который тело равномерно вращается, делает один оборот.

Период вращения обозначается символом T. Например, Земля делает полный оборот вокруг Солнца за 365,25 суток.

При расчетах период обычно выражают в секундах. Если период обращения равен 1с, это означает, что тело за одну секунду делает один полный оборот. Если за время t тело сделало N полных оборотов, то период можно определить по формуле:

Если известен период обращения Т, то можно найти скорость тела v. За время t, равное периоду Т, тело проходит путь, равный длине окружности: . Итак,

Движение тела по окружности можно характеризовать еще одной величиной — числом оборотов по кругу за единицу времени. Ее называют вращающейся частотой:

частота вращения равна количеству полных оборотов за одну секунду.

Частота вращения и период обращения связаны следующим соотношением:

Частоту в СИ измеряют в

3. Вращательное движение

В природе довольно распространенный вращательное движение: вращение колес, маховиков, Земли вокруг своей оси и т. Д.

Важной особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся с тем же периодом, но скорости различных точек могут существенно отличаться, поскольку разные точки движутся по кругам различных радиусов.

Например, при суточном вращении Земли быстрее других движутся точки, находящиеся на экваторе, так как они движутся по кругу крупнейшего радиуса — радиуса Земли. Точки же земной поверхности, находящиеся на других параллелях, движутся с меньшей скоростью, так как длина каждой из этих параллелей меньше длины экватора.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

1. Приведите два-три примера криволинейного движения.
2. Приведите два-три примера равномерного движения по кругу.
3. Что такое вращательное движение? Приведите примеры такого движения.
4. Как направлена ​​мгновенная скорость при движении по кругу Приведите два-три примера.

1.Равномерное движение по кругу. Внимание учащихся следует обратить на то, что криволинейные движения более распространены, чем прямолинейные. Любой криволинейное движение можно рассматривать как движение по дугам окружностей с разными радиусами. Изучение движения по кругу дает также ключ к рассмотрению произвольного криволинейного движения. Мы будем изучать движение тел по окружности с постоянной по модулю скоростью. Такое движение называют равномерным движением по кругу. Наблюдения показывают, что маленькие частицы, которые отделяются от тела, вращающегося летят с той скоростью, которой владели в момент отрыва: грязь из-под колес автомобиля летит по касательной к поверхности колес; раскаленные частицы металла отрываются при заточке резца о точильный камень, вращающийся также летят по касательной к поверхности камня. Таким образом, • Во время движения по кругу скорость в любой точке траектории направлена ​​по касательной к окружности в этой точке. Необходимо обратить внимание учащихся, что при равномерном движении по окружности модуль скорости тела остается постоянным, но направление скорости все время изменяется.

2. Период вращения и частота вращения. Движение тела по окружности часто характеризуют не скоростью движения, а промежутком времени, за которое тело совершает один полный оборот. Эта величина называется периодом вращения. • Период вращения — это физическая величина, равная промежутку времени, за который тело равномерно вращается, делает один оборот. Период вращения обозначается символом T. Например, Земля делает полный оборот вокруг Солнца за 365,25 суток. При расчетах период обычно выражают в секундах. Если период обращения равен 1с, это означает, что тело за одну секунду делает один полный оборот. Если за время t тело сделало N полных оборотов, то период можно определить по формуле: если известен период обращения Т, то можно найти скорость тела v. За время t, равное периоду Т, тело проходит путь, равный длине окружности:. Итак, движение тела по окружности можно характеризовать еще одной величиной — числом оборотов по кругу за единицу времени. Ее называют вращающейся частотой: • вращающаяся частота равна количеству полных оборотов в одну секунду. Частота вращения и период обращения связаны следующим соотношением: Частоту в СИ измеряют в обратных секундах.

3. Вращательного движения. В природе довольно распространенно вращательное движение: вращение колес, маховиков, Земли вокруг своей оси и т. д.Важной особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся с тем же периодом, но скорости различных точек могут существенно отличаться, поскольку разные точки движутся по кругам различных радиусив. Например, при суточном вращении Земли быстрее других движутся точки, находящиеся на экваторе, так как они движутся по кругу самого большого радиуса — радиуса Земли. Точки же земной поверхности, находящиеся на других параллелях, движутся с меньшей скоростью, так как длина каждой из этих параллелей меньше длины экватора.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

Работа силы Лоренца
может быть вычислена по формуле

. (5)

где
— вектор перемещения частицы.

Из
(2) следует, что сила Лоренца всегда
перпендикулярна вектору скорости
заряженной частицы, и следовательно,
перпендикулярна вектору перемещения
частицы.
Тогда в выражении (5)=
0, и работа силы Лоренца равна нулю.

Таким
образом, сила
Лоренца, действующая со стороны магнитного
поля на движущуюся заряженную частицу,
работы не совершает. Следовательно,
кинетическая энергия частицы при
движении в магнитном поле не изменяется,
т.е. величина
скорости движения частицы остается
постоянной.

Для
вывода основных закономерностей движения
заряженных частиц в магнитном поле
будем полагать, что магнитное поле
однородно.

Рассмотрим
три случая движения заряженной частицы
в магнитном поле:

1)
частица движется в магнитном поле со
скоростью
вдоль линий магнитной индукции, то есть
угол α между векторамии

равен 0 или π;

2)
частица движется в магнитном поле со
скоростью
,
перпендикулярной вектору магнитной
индукции (рис.4);

3)
частица движется со скоростью
,
вектор которой направлен под произвольным
углом α к вектору

(рис.5).

В
первом случае
сила Лоренца согласно формуле (3) равна
нулю. Магнитное поле на частицу не
действует, и заряженная частица движется
равномерно и прямолинейно вдоль линии
индукции магнитного поля.

Во
втором случае
сила Лоренца сообщает частице только
центростремительное ускорение. Поэтому
частица будет двигаться по окружности
радиуса R
с периодом обращения Т.

Для
определения радиуса окружности R
воспользуемся вторым законом Ньютона:

.
(6)

Рис.4.
Движение заряженных частиц под действием
силы Лоренца в магнитном поле в случае,
когда вектор скорости
перпендикулярен
вектору магнитной индукции

Центростремительное
ускорение сообщает частице только сила
Лоренца, поэтому

, (7)

так
как
.

Поскольку

,
(8)

то

.
(9)

Из
(9) находим выражение для радиуса
окружности R,
по которой движется частица:

.
(10)

Учитывая,
что длина окружности L
равна:

L = 2πR,
(11)

вычислим
период
обращения Т
частицы по окружности:

.
(12)

С учётом (10)
получим:

(13)

Из
выражения (13) следует, что
период обращения Т не зависит от величины
скорости движения частицы V,
а определяется величиной индукции поля


и отношением q/m,
называемым удельным зарядом заряженной
частицы.

В
третьем
случае, когда
угол α ≠ 90°, траектория движения частицы
представляет собой спираль, ось которой
параллельна магнитному полю (рис.5).

Разложим
вектор скорости
на две составляющие: параллельную и
перпендикулярную полю
,
величины которых соответственно равны:

V_׀׀= Vcosα
(14)

V_= Vsinα
(15)

Рис.5. Движение
заряженной частицы в магнитном поле
по спирали

Тогда сила Лоренца,
действующая на частицу, может быть
представлена в виде:

(16)

Так
как вектора
и

сонаправлены, то второе слагаемое в
(16) равно нулю. Поэтому действие силы
Лоренца обусловлено только перпендикулярной
составляющей скорости частицы:

.
(17)

В
этом случае частица будет двигаться по
окружности с центростремительным
ускорением
,
сообщаемым силой Лоренца (17). Радиус
окружностиR
согласно (10) будет равен:

. (18)

Период обращения
по окружности Т определяется формулой
(13).

Движение
частицы вдоль линий магнитного поля
представляет собой равномерное
прямолинейное движение с постоянной
скоростью.
За время одного полного оборота Т частица
сместится вдоль направления индукции
поляна расстоянииh,
равное:

.
(19)

Величина
h
называется шагом
спирали (рис.5).
Направление, в котором закручивается
спираль, зависит от знака заряда частицы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пусть в однородном магнитном поле, индукция которого , движется частица со скоростью , направленной перпендикулярно линиям индукции. Масса частицы m и заряд q. Так как сила Лоренца  перпендикулярна скорости  движения частицы (см. рис. 170), то эта сила изменяет только направление скорости, сообщая частице центростремительное ускорение, модуль которого согласно второму закону Ньютона:

В результате частица движется по окружности, радиус которой можно определить из формулы :

Период Т обращения частицы, движущейся по окружности в однородном магнитном поле:

(30.2)

Как следует из выражения (30.2), период обращения частицы не зависит от модуля скорости её движения и радиуса траектории, а определяется только модулем заряда частицы, её массой и значением индукции магнитного поля.

От теории к практике

В однородном магнитном поле, модуль индукции которого В = 4,0 мТл, перпендикулярно линиям индукции поля движется электрон. Чему равен модуль ускорения электрона, если модуль скорости его движения ? Масса и модуль заряда электрона m_е = 9,1 · 10^–31 кг и е = 1,6 · 10^–19 Кл соответственно.

Подобное явление происходит в магнитном поле Земли, которое является защитой для всего живого от потоков заряженных частиц из космического пространства. Движущиеся с огромными скоростями заряженные частицы из космоса захватываются магнитным полем Земли и образуют так называемые радиационные пояса (рис. 170.2), в которых частицы перемещаются по винтообразным траекториям между северным и южным магнитными полюсами туда и обратно за промежуток времени порядка долей секунды. Лишь в полярных областях некоторая часть частиц вторгается в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния (рис. 170.3).

Если заряженная частица в момент возникновения внешнего электрического поля покоилась, то , где U — напряжение между точками, в которых находилась частица в моменты возникновения внешнего электрического поля и выхода из него, q — модуль заряда частицы. Поэтому модуль скорости частицы при выходе из электрического поля:

Если после этого частица попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна направлению её скорости, то радиус окружности, по дуге которой будет двигаться частица, , откуда

Величину называют удельным зарядом частицы. Поэтому если опытным путём определить радиус траектории движения частицы в магнитном поле, то, зная индукцию магнитного поля и ускоряющее напряжение электрического поля, можно рассчитать удельный заряд частицы. Этот метод используют при конструировании приборов, которые называют масс–спектрометрами.

Интересно знать

Поскольку сила Лоренца направлена под углом 90° к скорости движения заряженной частицы в каждой точке траектории (рис. 171), то работа этой силы при движении заряженной частицы в магнитном поле равна нулю. Поэтому кинетическая энергия частицы, движущейся в стационарном (не изменяющемся во времени) магнитном поле, не изменяется, т. е. стационарное магнитное поле нельзя использовать для ускорения заряженных частиц.

Увеличение кинетической энергии частицы, т. е. её разгон, возможно под действием электрического поля (в этом случае изменение кинетической энергии частицы равно работе силы поля). Поэтому в современных ускорителях (рис. 172) заряженных частиц электрическое поле используют для ускорения, а магнитное — для «формирования» траектории движения заряженных частиц.

1. Как определить модуль силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся в нём заряженную частицу?

2. Как определяют направление силы Лоренца?

3. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле со скоростью, направленной перпендикулярно линиям индукции. По какой траектории движется частица?

4. От чего зависит период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле?

5. Почему сила Лоренца изменяет направление скорости движения частицы, но не влияет на её модуль?

6. На рисунке 172.1 представлены траектории движения двух частиц, имеющих одинаковые заряды. Частицы влетают в однородное магнитное поле из одной точки А с одинаковыми скоростями. Определите знак заряда частиц. Объясните причину несовпадения траекторий их движения.

Как найти период в магнитном однородном поле

Магнитное поле – это особый вид материи, возникающий вокруг движущихся заряженных частиц. Простейший способ его обнаружения заключается в использовании магнитной стрелки.

Инструкция

Магнитное поле бывает неоднородным и однородным. Во втором случае его характеристики таковы: линии магнитной индукции (то есть воображаемые линии, по направлению которых располагаются магнитные стрелки, помещенные в поле) представляют собой параллельные прямые, густота этих линий везде одинакова. Сила, с которой поле воздействует на магнитную стрелку, также одинакова в любой точке поля, как по величине, так и по направлению.

Иногда приходится решать задачу по определению периода оборота заряженной частицы в однородном магнитном поле. Например, частица с зарядом q и массой m влетела в однородное магнитное поле с индукцией В, имея начальную скорость v. Каков период ее оборота?

Начните решение с поиска ответа на вопрос: какая сила действует в данный момент на частицу? Это сила Лоренца, которая всегда перпендикулярна к направлению движения частицы. Под ее воздействием частица будет двигаться по окружности радиуса r. Но перпендикулярность векторов силы Лоренца и скорость частицы означает, что работа силы Лоренца равна нулю. Значит, и скорость частицы, и ее кинетическая энергия при движении по круговой орбите остаются постоянными. Тогда и величина силы Лоренца постоянна, и вычисляется по формуле: F = qvB

C другой стороны, радиус окружности, по которой движется частица, связан с этой же силой таким соотношением: F = mv^2/r, или qvB = mv^2/r. Следовательно, r = vm/qB.

Период обращения заряженной частицы по окружности радиуса r вычисляется по формуле: Т = 2πr/v. Подставляя в эту формулу определенное выше значение радиуса окружности, вы получите: T = 2πvm/qBv. Сократив в числителе и знаменателе одинаковую величину скорости, получите окончательный результат: T = 2πm/qB. Задача решена.

Вы видите, что при вращении частицы в однородном магнитном поле период ее обращения зависит только от величины магнитной индукции поля, а также заряда и массы самой частицы.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения — это время, за которое совершается один оборот.

Если, например, за время t=4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой T и определяется по формуле

Итак, чтобы найти период обращения, надо время, за которое совершено n оборотов, разделить на число оборотов.

Другой характеристикой равномерного движения по окружности является частота обращения.

Частота обращения — это число оборотов, совершаемых за 1 с. Если, например, за время t = 2 с тело совершило n = 10 оборотов, то легко сообразить, что за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой ν (читается: ню) и определяется по формуле

Итак, чтобы найти частоту обращения, надо число оборотов разделить на время, в течение которого они произошли.

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с^-1 (читается: секунда в минус первой степени). Раньше эту единицу называли «оборот в секунду», но теперь это название считается устаревшим.

Сравнивая формулы (6.1) и (6.2), можно заметить, что период и частота — величины взаимно обратные. Поэтому

Формулы (6.1) и (6.3) позволяют найти период обращения T, если известны число n и время оборотов t или частота обращения ν. Однако его можно найти и в том случае, когда ни одна из этих величин неизвестна. Вместо них достаточно знать скорость тела v и радиус окружности r, по которой оно движется. Для вывода новой формулы вспомним, что период обращения — это время, за которое тело совершает один оборот, т. е. проходит путь, равный длине окружности (l_окр = 2πr, где π≈3,14— число «пи», известное из курса математики). Но мы знаем, что при равномерном движении время находится делением пройденного пути на скорость движения. Таким образом,

Итак, чтобы найти период обращения тела, надо длину окружности, по которой оно движется, разделить на скорость его движения.

Видео, не по теме но интересно

1. Что такое период обращения? 2. Как можно найти период обращения, зная время и число оборотов? 3. Что такое частота обращения? 4. Как обозначается единица частоты? 5. Как можно найти частоту обращения, зная время и число оборотов? 6. Как связаны между собой период и частота обращения? 7. Как можно найти период обращения, зная радиус окружности и скорость движения тела?