Как найти период в условиях

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

   

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

   

   

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

   

   

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

   

   

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

   

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Пример 1: функция имеет период, равный 2: и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки . Тогда  , или . Это означает, что либо  , либо ,  то есть либо ,  либо ,  а так как главным считается наименьший  положительный период, то .

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

Пример 5. Определить периодичность функции .

Если Т – период, то .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим  «удобную» точку :

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

Имеем систему:

Уравнения сложим, и получим

, откуда

, при получим  – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:

Оставим в левой части только корень:

Возведем в квадрат:

Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

и наименьшим будет период при , то есть .

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  :

, то есть

период данной функции — .

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Если Т – период, то

Подставим , имеем

,

Или , , наименьший период при , .

Проверим:

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если , то

, откуда  , . При , , при , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Пример 8. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Если , то

, а  так как и —  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

Период – это физическая величина, обозначающая промежуток времени, за который происходит одно полное колебание в механическом, электромагнитном или ином повторяющемся процессе. В школьном курсе физики период является одной из величин, нахождение которых наиболее часто требуется в задачах. Вычисление периода производится с применением известных формул, соотношений параметров тел и их движений в рассматриваемой колебательной системе.

Инструкция

В наиболее простом случае решения практических задач на периодические колебания тел следует учитывать само определение физической величины. Период измеряется в секундах и равен интервалу времени за одно полное колебание. В рассматриваемой системе в момент выполнения равномерных колебаний подсчитайте их число за строго фиксированное время, например за 10 с. Вычислите период по формуле Т = t/N, где t – время колебаний (с), N – подчитанное значение.

При рассмотрении задачи на распространение звуковых волн с известной скоростью и длиной колебаний для вычисления периода (Т) используйте формулу: Т= λ/v, где v — скорость распространения периодических колебаний (м/с), λ — длина волны (м). Если известна лишь частота (F) совершаемых телом движений, определите период исходя из обратного соотношения: T = 1/F (с).

Если задана механическая колебательная система, состоящая из подвешенного тела массой m (м) и пружины с известной жесткостью k (Н/м), определить период колебаний груза (Т) можно по формуле T=2π*√(m/k). Высчитайте искомую величину в секундах, подставив известные значения.

Движение тела по орбите с заданным радиусом (R) и постоянной скоростью (V) также может быть периодическим. В данном случае колебание происходит по окружности, т.е. тело за один период проходит путь, равный длине L = 2πR, где R – радиус окружности (м). При равномерном движении время, затрачиваемое на него, определяется как соотношение пройденного пути к скорости перемещения (в данной задаче – полного колебания). Таким образом, найдите значение периода движения тела по орбите по следующей формуле Т = 2πR/V.

В разделе электродинамики часто рассматриваются задачи для электромагнитного колебательного контура. Процессы в нем могут быть заданы общим уравнением синусоидального тока: I = 20*sin100*π*t. Здесь число 20 обозначает амплитуду колебаний тока (Im) контура, 100*π – циклическую частоту (ω). Вычислите период электромагнитных колебаний по формуле Т= 2π /ω, подставив соответствующие значения из уравнения. В данном случае Т = 2*π/(100*π) = 0,02 с.

Видео по теме

Источники:

• Механические колебания

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Как найти период функции

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период ,

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен . Значит, на отрезке укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке

На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Исследование функции на периодичность

Разделы: Математика

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+ π n)=tgx, n € Z
ctg(x+ π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2 π n)=sinx, n € Z
cos(x+2 π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

1) Доказать следующие соотношения

a) sin( 740º ) = sin(2 0º )
b) cos( 54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin( 80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg 375º
b) ctg 530º
c) sin 1268º
d) cos (-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим , а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+35>

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

Положим x=-0,25 получим

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.

Так как=при любом Т, то f(x+1)=3<(x+0.25)+1>+1=3+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

cos=1

=2 π n, n € Z

T=, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

Мои умения исследовать функции на периодичность	Мой вклад в работу на уроке

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.