Как найти перпендикуляр функции

Вывод уравнения нормали к графику функции

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Замечание 1

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

$k_{норм}=- frac{1}{k_{к}}= -1 frac{1}{f’(x_0)}$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = — frac{1}{f’(x_0)} cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
2. Затем нужно определить производную.
3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Пример 1

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

$y-4=-frac{1}{4} cdot (x – 2)$

Уравнение нормали найдено.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Найдем производную, дифференцируя функцию $ y(x) $ по переменной $ x $:

$$ (x^2)’_x+ (2xy^2)’_x + (3y^4)’_x = (6)’_x $$

Учитывая, что $ y^2 $ и $ y^4 $ сложные функции продолжаем:

$$ 2x + 2y^2 + 4xyy’ + 12y^3 y’ = 0 $$

Выражаем $ y’ $ из полученного уравнения:

$$ 4xyy’ + 12y^3 y’ = -2x — 2y^2 $$

Выносим $ y’ $ за скобки:

$$ y'(4xy + 12y^3) = -2x — 2y^2 $$

Делим обе части уравнения на выражение $ 4xy+12y^3 $:

$$ y’ = -frac{2x+2y^2}{4xy + 12y^3} = -frac{x+y^2}{2xy+6y^3} $$

Теперь вычисляем значение $ y’ $:

$$ y’ = -frac{1 + (-1)^2}{2cdot 1 cdot (-1) + 6cdot (-1)^3} = -frac{2}{-8} = frac{1}{4} $$

Зная, что $ y’ = frac{1}{4} $ и $ y(x_0) = y(1) = -1 $ составляем уравнения касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $.

Получаем уравнение касательной:

$$ y — (-1) = frac{1}{4} (x — 1) $$

Записываем в красивой форме:

$$ y = frac{1}{4} x — frac{3}{4} $$

Получаем уравнение нормали:

$$ y — (-1) = -frac{1}{frac{1}{4}} (x — 1) $$

Раскрываем скобки и записываем в красивой форме, полученное уравнение:

$$ y+1 = -4(x-1) $$

$$ y = -4x + 3 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пусть функция
задается уравнением y=f(x), нужно написать
уравнение касательной в точке

.
Из определения производной:

(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной
к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из
геометрического смысла производной: f
’(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то
уравнение касательной записывается
в виде: y−f(x0)=f ’(x0)(x−x0), или

y=f
’(x0)·x+f(x0)−f
’(x0)·x0.

Уравнение
нормали

Нормаль —
это перпендикуляр к касательной
(см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f
’(x0)Т.к. угол наклона нормали — это угол
β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f ’(x).Точка
(x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y−f(x0)=−1f ’(x0)(x−x0).

17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.

Функция F(x)
называется первообразной для функции
f(х) на промежутке Х, если
в каждой точке х этого промежутка

(x)
= f(x).

Теорема: Если
F₁ (х) и F₂(х)
— первообразные для функции f(х)
на некотором промежутке х, то найдется
такое число с, что будет справедливо
неравенство F₂(х) =
F₁ (х) + с.

Совокупность всех
первообразных для функции f(х)
на промежутке х называется неопределенным
интегралом от функции f(х)
и обозначается ʃ f(х)dx,
ʃ f(х)dx = F
(х) + с.

Операция нахождения
неопределенного интеграла от некоторой
функции наз. Интегрированием этой
функции.

18. Свойства неопределнного интеграла.

1). Производная от
неопределенного интеграла равна
подинтегральной функции ( ʃ f(x)dx)’
= f(x)

2). Дифференциал
неопределенного интеграла равен
подинтегральному выражению d
( ʃ f(x)dx)
= f(x)dx

3). Неопределенный
интеграл от дифференциала некоторой
функции равен этой функции с точностью
до постоянного слагаемого ʃ d
F(x) = F(x)
+ c.

4). Постоянный
множитель можно выносить за знак
интеграла

ʃ α
f(x)dx=α
ʃ f(x)dx.

5). Интеграл от
алгебраической суммы двух функций равен
сумме интегралов от этих функций, т.е.
ʃ (f(x) ±
g(x))dx
= ʃ f(x)dx
± ʃ g(x)dx

19. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.

1). ʃ 0dx
= c 2).

3). ʃ

=
ln |x|
+c 4).

5). ʃ e^xdx
= e^x
+ c 6). ʃ sinx
dx = -cosx dx
7. ʃ cosx dx
= sinx + c 8).

9).

10).

11).

12).

13).

Основные методы
интегрирования:

1. непосредственное
интегрирование ( табличные интегралы)

2. Подведение под
знак дифференциала

3. Метод замены
переменной (описывается след.формулой:

,
где

—
функция, дифференцируемая на рассматриваемом
промежутке.) а) введение новой переменной
интегрирования; б) заданный интеграл
сводится к новому интегралу, который
сводится к табличному.

4. Интегрирование
по частям.

u и
v — дифференциируемые на некотором
промежутке функции.

d(u, v) = u dv + v du

u dv = d (uv) – v du

ʃ u dv = ʃ d (uv) — ʃ v du

ʃ u dv = uv — ʃ v du

ʃ dv = v

20. Интегрирование рациональных дробей.

Неопределнный
интеграл от любой рациональной дроби
на всяком промежутке, на котором
знаменатель дроби не обращается в 0,
существует и выражается через элементарные
функции, а именно он является алгебраической
суммой суперпозиции рациональных
дробей.

Метод заключается
в разложении рациональных дробей на
сумму простейших.

P(x)
=

P_n
– многочлен n-ой
степени, Q _m—
полином m-ой степени.

A_1,
A₂…M₁,
M₂…N₁,
N₂ – неопределенные
коэффициенты.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}

Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) — существует и конечна.

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$

Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}

п.2. Алгоритм построения касательной

п.3. Вертикальная касательная

В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) — существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})