Как найти перпендикуляр к заданной прямой

5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

Обращаю внимание, что для скрещивающихся прямых таких прямых можно провести бесконечно много, а вот для

пересекающихся – задача имеет единственное решение:

Задача 157

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно

прямой  (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки  до прямой ,   в) симметричную точку .

а)  Решение: обозначим неизвестную прямую через :

И начинаем

раскручивать задачу: что нам известно об этой прямой?

Известна её точка . Неплохо бы найти направляющий вектор. В качестве

такого вектора вполне подойдёт вектор . Но мы не знаем точку . Вот ей-то и займёмся

План есть, и мы счастливы:

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами

уравнения перепишем в параметрической форме:

И вот уже в третий раз используем тот же самый фокус. Рассмотрим точку  с пока ещё неизвестными координатами. Поскольку точка , то её

координаты  удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им

соответствует конкретное значение параметра :
, или в строчку:  

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы  – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное

произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, находим точку:
 

И направляющий вектор: .

4) Уравнения прямой  составим по точке  и вектору… избавимся-ка мы от дробей и возьмём направляющий вектор :

Ответ:

Но, разумеется, тут можно было взять и вектор :

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки  в уравнения каждой прямой, они должны «подойти» и там и там.

Об этих действиях говорилось много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

5.5.7. Как найти расстояние от точки до прямой?

5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

Если эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b.

Примеры.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

откуда b=1.

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

Ответ: y= -0,2x+1.

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Решение:

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

Ответ: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Решение:

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Ответ: x=7.

Использование транспортира

Одним из наиболее простых способов построения перпендикуляра к прямой является чертеж при помощи специального инструмента, который называется транспортир. Чтобы правильно начертить отрезок, необходимо по пунктам выполнить следующие действия:

1. Выбранную точку на отрезке необходимо соединить с нулевым значением транспортира (оно находится непосредственно посередине нижней линейки инструмента).
2. На угломерной шкале нужно поставить точку у деления 90°. Поскольку перпендикуляр образовывает прямой угол, то отложить нужно именно 90°.
3. На завершающем этапе точку, отмеченную на отрезке, следует соединить с той, которая была отмечена по угломерной шкале.

Этот способ широко используется на уроках геометрии. Его преимущество заключается в быстром и простом построении. Для выполнения требуется только транспортир и простой карандаш.

Циркуль и линейка

Перпендикулярный луч можно опустить на отрезок при помощи еще одного незамысловатого способа. Для этого необходимы простой карандаш, линейка и циркуль. Построить прямой угол можно, выполнив следующие действия:

1. На отрезке от заданной точки необходимо, используя циркуль, провести две одинаковые дуги. Чтобы расстояние было идентичным с каждой стороны, нужно иглу циркуля поставить в отмеченную точку и при помощи линейки раствор циркуля отодвинуть на какое-то расстояние (это индивидуальный показатель). Таким образом нужно начертить две дуги.
2. Затем необходимо увеличить раствор циркуля и сделать так, чтобы карандаш находился посередине между точкой справа (слева) и исходной.
3. Так нужно нарисовать две дуги: одну над прямой, а другую — под ней.
4. Потом необходимо нарисовать вторую такую дугу. При этом раствор циркуля изменять не требуется. Отметку пересечения двух дуг (правой и левой) нужно обозначить.
5. Точку пересечения этих двух дуг нужно состыковать с точкой на исходном отрезке. Соединять и проводить линию лучше с использованием линейки. Так рисунок получится ровным и аккуратным.

В результате этих действий должен получиться перпендикуляр, составляющий с прямой линией угол в 90°. Метод более сложный, если сравнивать его с первым. Его целесообразно использовать в том случае, если под рукой не оказалось транспортира.

Теорема Пифагора

Чтобы построить перпендикуляр по этому способу, мало знать одного определения, поскольку потребуется теорема Пифагора и ее доказательство. Наиболее распространенный вариант — свойство египетского треугольника со сторонами 5, 4 и 3.

От основной точки А необходимо отмерить и отметить отрезок, равный 3. В результате получается точка В. Далее необходимо построить две одинаковые окружности. При этом центр первой будет располагаться в А, а центр второй — в В. Отметка пересечения этих окружностей обозначается как С. Значит, искомый перпендикуляр — это линия, соединяющая две точки (А и С). Конечно, этот способ лучше посмотреть наглядно на картинке или показать в виде чертежа.

Эту тему проходят на геометрии в 7 классе. Школьники должны дать определение перпендикуляра к прямой. А на его основании построить линию его под углом 90°.

Did this article help you?

В общем виде — вот:

double x1 = 100, y1 = 100, x2 = 200, y2 = 200, x3 = 200, y3 = 100;

double x = (x1 * x1 * x3 - 2 * x1 * x2 * x3 + x2 * x2 * x3 + x2 *
            (y1 - y2) * (y1 - y3) - x1 * (y1 - y2) * (y2 - y3)) / ((x1 - x2) *
                    (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2));
double y = (x2 * x2 * y1 + x1 * x1 * y2 + x2 * x3 * (y2 - y1) - x1 *
            (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 + y2)) + (y1 - y2) * (y1 - y2) * y3) / ((
                        x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2));

Такой ответ устраивает? Упростите уж сами, ладно?…

Update

Раз желание узнать КАК прозвучало… Все просто.

Ищем точку (x,y), которая лежит на прямой через точки (x1,y1) и (x2,y2), и прямая через точки (x,y) и (x3,y3) перпендикулярна прямой через точки (x1,y1) и (x2,y2).

Первое условие —

Ну, а второе — произведение наклонов должно давать -1 (Уравнение прямой — y = kx + b, и для перпендикулярных прямых k₁*k₂ = -1):

А дальше просто решаем эту систему уравнений…