Как найти перпендикуляр опущенный на медиану

Как найти уравнение перпендикуляра опущенного на медиану

Найдем координаты точки М (он а является серединой отрезка АВ)

Найдем уравнение прямой. Для этого запишем уравнения для точек М и С

Теперь найдем уравнение отрезка ВР (по заданию ВР перпендикулярен МС, то есть угловой коэффициент находится соотношением
k =-1/ k_MC =-4/3)
Dля нахождения свободного чрена подставим в уравнение значения точки В

Для нахождения точки Р приравняем уравнения прямых МС и ВР

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

• Главная 
• Вопросы & Ответы 
• Вопрос 17630204

Суррикат Мими

Даны вершины треугольника А(16;-15) В(17;-21) С(0;3). Найти уравнение перпендикуляра,опущенного из точки А на медиану,проведенную из вершины В

Лучший ответ:

Пармезан Черница

Рисунок к задаче в приложении.

1. Координата середины стороны ВС

К = (В С)/2 — полусумма координат

Kx = 8.5, Ky = (-21 3)/2 = -9 и К(8,5;-9) — точка К.

2. Коэффициент наклона медианы АК. (достаточно только k)

k= (Ky-Ay)/(Kx-Ax) = — 4/5 — наклон.

b = Кy — k*Rx) = — 2 1/5 — сдвиг (не нужен)

3. Уравнение перпендикуляра к АК — прямой ВМ

k2 = — 1/k = 5/4 — наклон.

b2 = By — k2*Bx = -21 — 5/4*17 = — 42.25

Уравнение перпендикуляра: Y = 1.25*x — 42.25 — ОТВЕТ

Прямая на плоскости. Примеры решений

Решение проводим с помощью калькулятора.
Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j — x_i; Y = y_j — y_i
здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i — координаты точки А_i; x_j, y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB
X = x₂ — x₁; Y = y₂ — y₁
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:




3) Угол между прямыми
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁), a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

5) Площадь треугольника
Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).
Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задание. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Требуется:

1. составить уравнение медианы, проведенной из вершины B, и вычислить ее длину.
2. составить уравнение высоты, проведенной из вершины A, и вычислить ее длину.
3. найти косинус внутреннего угла B треугольника ABC.

Сделать чертеж.

Пример №3. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) длину стороны AB ; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001. Сделать чертеж.
Скачать

Пример №4. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) уравнение высоты, проведенной через вершину C ; 2) уравнение медианы, проведенной через вершину C ; 3) точку пересечения высот треугольника; 4) длину высоты, опущенной из вершины C. Сделать чертеж.
Скачать

Пример №5. Даны вершины треугольника ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Определите: 1) длину стороны AB ; 2) уравнение сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) площадь треугольника.

• Решение
• Видео решение

Задание. Найти острый угол между прямыми x + y -5 = 0 и x + 4y — 8 = 0 .
Рекомендации к решению. Задача решается посредством сервиса Угол между двумя прямыми.
Ответ: 30.96 o

Пример №1. Даны координаты точек А1(1;0;2), A2(2;1;1), А3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.

• Решение
• Видео решение

Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4
A₁(3;5;4,0,0), A₂(8;7;4,0,0), A₃(5;10;4,0,0), A₄(4;7;9,0,0):Пример №10

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты.
Решение

Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2).
а) Найти уравнение биссектрисы и высоты данного треугольника, проведенных из вершины A .
б) Найти уравнения всех его медиан и координаты точки их пересечения.
см. также Как найти периметр треугольника

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Декабрь 6, 2013 by Вячеслав Моргун Схема решения задачи следующая. 1. Находим уравнение медианы. 2. Зная уравнение медианы, ищем расстояние от точки до прямой (медианы) это и будет длина перпендикуляра. Решение: 1. Найдем уравнение медианы, опущенной из вершины C. Уравнение медианы будем искать по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $$frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1} quad (1)$$ Одна точка для уравнения есть С (2,1), координаты второй точки M получим как середину между точками А(-10,-13), В(-2,3) $$M(frac{x_A+x_B}{2}; frac{y_A+y_B}{2}) =>$$ подставляем координаты точек $$M(frac{-10-2}{2}; frac{-13+3}{2}) => M(-6; -5)$$Получили координаты второй точки, подставляем в уравнение прямой (1) $$frac{x-2}{-6-2}=frac{y-1}{-5-1} => y = frac{3}{4}x — frac{1}{2}$$ 2. Найдем расстояние отточки до прямой. Уравнение прямой, расстояние до которой нужно найти $$y = frac{3}{4}x — frac{1}{2} => 4y -3x+2=0$$ Координаты точки В(-2,3). Расстояние от точки до прямой рассчитываются по формуле $$d= frac{Ax_0+By_0+C}{sqrt{A^2+b^2}}$$где ((x_0;y_0)) — координаты точки C, (Ax_0+By_0+C)  — уравнение медианы , подставляем координаты и получаем $$d= frac{4*3 -3*(-2)+2}{ sqrt{4^2+3^2}} = frac{20}{5} = 4$$ 3. Наносим точки и прямые на координатную плоскость и проверяем правильность решения. Ответ: длина перпендикуляра, опущенного из вершины D на медиану, т.е. расстояние от этой точки до прямой равно (d=4)

Тогда и я напишу свой вариант

[math]A(x_{{}_A},y_{{}_A})=A(1,-1)[/math]

[math]B(x_{{}_B},y_{{}_B})=B(-2,1)[/math]

[math]C(x_{{}_C},y_{{}_C})=B(3,5)[/math]

[math]M(x_{{}_M},y_{{}_M})=M!left(frac{x_{{}_A}+x_{{}_C}}{2},frac{y_{{}_A}+y_{{}_C}}{2}right)=M(2,2)[/math]

[math]BM colon frac{x-x_{{}_B}}{x_{{}_M}-x_{{}_B}}=frac{y-y_{{}_B}}{y_{{}_M}-y_{{}_B}}Leftrightarrowfrac{x+2}{2+2}=frac{y-1}{2-1} Leftrightarrow y=frac{x}{4}+frac{3}{2}[/math]

[math]AN!perp!BM~Rightarrow~k_{_{AN}}cdot{k_{_{BM}}=k_{_{AN}}cdotfrac{1}{4}=-1~Leftrightarrow~k_{_{AN}}=-4[/math]

[math]AN colon y=-4x+b[/math]

Так как уравнение перпендикуляра проходит через точку A, то, следовательно, имеем

[math]-1=-4 cdot 1+b~Leftrightarrow~b=3[/math]

Итак, уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В,
имеет следующий вид: [math]y=-4x+3[/math].

Светило науки — 20810 ответов — 124052 помощи

Задача 18660 В треугольнике с вершинами A(1;1) ,…