Как найти перпендикуляр параллелепипеда

Комментарии преподавателя

1. Определение параллелепипеда

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1, ВВ1, DD1, СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда — это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

2. Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),

АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),

АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.

3. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед — это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

4. Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник.

5. Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD  =  90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

6. Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС1 = АА1, то что и требовалось доказать.

7. Следствие — Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 = 

Рис. 6

8. Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

9. Задача 1 Найти диагональ куба

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Рис. 7

Решение:

 см.

Ответ:   см.

10. Задача 2

Рисунок

Дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.

Рис. 8

Доказательство:

Прямые ВС1 и В1С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ1С1С.

Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ1С1, а значит, и прямой ВС1, которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая ВС1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым В1С и DC плоскости, значит А1В1D. Значит, прямая ВС1 перпендикулярна плоскости А1В1D.

Плоскость АВС1 проходит через перпендикуляр ВС1 ко второй плоскости А1В1D, значит, плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

11. Итоги урока по теме «Прямоугольный параллелепипед и его измерения (ребра, основание, площадь, диагональ, поверхность, площадь поверхности)»

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/pryamougolnyy-parallelepiped

http://www.youtube.com/watch?v=75t-pn-XMiY

http://www.youtube.com/watch?v=hjuRkC4Hqb0

http://www.youtube.com/watch?v=GLQhT5s_i0A

http://wiki.eduvdom.com/subjects/stereometry/%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4

http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/04/02/parallelepiped

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/pryamougolnyy-parallelepiped-prodolzhenie

Параллелепипед

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом? 

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Так и есть.

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
• Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. ( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

Куб

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}),

То есть

( displaystyle d=asqrt{3})

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна ( displaystyle 5sqrt{3}). Найти полную поверхность».

Решим ее.

Бонус. Видео из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

А теперь пора закрепить знания и порешать задачки. Иначе твои знания будут не полными!

На этом вебинаре мы на примере самых простых объемных фигур (куб, параллелепипед, призма — задание №8 из ЕГЭ) научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Бери ручку, тетрадь и решай задачи вместе с Алексеем!

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).

Параллелепипед — это частный случай призмы, у которой основание и грани представляют собой параллелограмм.

Различают несколько разновидностей этой геометрической фигуры — прямой / прямоугольный параллелепипед, наклонный параллелепипед.

Высота параллелепипеда — это отрезок, который соединяет плоскости верхнего основания и нижнего основания параллелепипеда.

Высота перпендикулярна плоскости нижнего основания.

---

Для того, чтобы найти высоту параллелепипеда, можно воспользоваться традиционной формулой:

H = V / S.

H — высота параллелепипеда, V — объём параллелепипеда, S — площадь основания.

При этом объём параллелепипеда вычисляется по формуле: S = a * b * c, где a,b и c — это длины 3 измерений.

Что касается площади основания, то здесь может быть несколько случаев.

Если основание представляет собой параллелограмм, то S = a * b * sin(ab) — произведение 2 сторон на синус угла между ними.

Если мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом, то S = a * b — произведение 2 сторон.

Пример:

Боковое ребро наклонного параллелепипеда равно 10 см. Стороны основания равны 4 и 6 см, а угол между ними равен 30 градусов. Нужно найти высоту параллелепипеда.

1) V = 4 * 6 * 10 = 240 см3.

2) S = 4 * 6 * sin30° = 24 * 0,5 = 12 см.

3) H = V / S = 240 / 12 = 20 см.

Значит, высота параллелепипеда будет равна 20 см.

_

В случае с прямоугольным параллелепипедом всё немного проще.

Здесь высота будет совпадать с длиной грани (ребром) данной фигуры. Поэтому для нахождения высоты достаточно вычислить, чему равно боковое ребро.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_<осн>$ — периметр основания;

$S_<осн>$ — площадь основания;

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_<бок>=P_<осн>·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ — длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

• $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
• $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$.
• $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
• $S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб.
   $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
5. Диагонали куба равны.
6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Параллельные прямые в прямом параллелепипеде

12.1. Определение и свойства параллелепипеда

Определение. Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом (рис. 82).

У параллелепипеда шесть граней и четыре диагонали.

Из определения следует, что у параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими ( противоположными ) .

Параллельные рёбра параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются его противолежащими ( противоположными ) рёбрами .

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны свойствам параллелограмма.

Рассмотрим диагонали AC 1 и В 1 D параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 83).

Так как грани ABCD и В 1 С 1 CВ — параллелограммы, то равны и параллельны отрезки AD и BС , а также отрезки ВС и B 1 C 1 . Тогда на основании свойства транзитивности отношений параллельности и равенства отрезки AD и B 1 C 1 равны и параллельны. Значит, четырёхугольник AB 1 C 1 D — параллелограмм. Диагонали AС 1 и B 1 D параллелепипеда являются диагоналями этого параллелограмма, поэтому в точке О их взаимного пересечения каждая из них делится пополам.

Аналогично доказывается, что диагонали AC 1 и ВD 1 , а также диагонали A 1 C и B 1 D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А так как отрезок имеет только одну середину, то все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.

Тогда при центральной симметрии относительно точки О концы каждой из диагоналей параллелепипеда отображаются друг на друга, т. е. Z O ( A ) = C 1 , Z O ( B ) = D 1 , Z O ( C ) = A 1 , Z O ( D ) = B 1 , Z O ( A 1 ) = C, Z O ( B 1 ) = D, Z O ( C 1 ) = A, Z O ( D 1 ) = B. Это означает, что рёбра параллелепипеда центральной симметрией относительно точки О отображаются на противолежащие им рёбра, грани — на противолежащие им грани. А так как центральная симметрия — движение, при котором прямая и плоскость, не проходящие через центр симметрии, отображаются соответственно на параллельные прямую и плоскость, то как противоположные рёбра, так и противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

Кроме того, любая внутренняя точка параллелепипеда при симметрии S O отображается также на его внутреннюю точку. Следовательно, при центральной симметрии Z O параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отображается на себя.

Таким образом, параллелепипед обладает следующими свойствами:

диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии;

противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

Из сказанного выше следует, что любую грань параллелепипеда можно принять за его основание .

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований (см. рис. 82, а ), в противном случае параллелепипед называется наклонным (см. рис. 82, б , в ).

Из определения следует, что все боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники .

Определение. Прямой параллелепипед, основание которого — прямоугольник, называется прямоугольным.

Таким образом, все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники (рис. 84). Из сказанного следует, что у прямоугольного параллелепипеда:

а) рёбра, сходящиеся в одной его вершине, попарно взаимно перпендикулярны;

б) любые две его грани либо параллельны, либо перпендикулярны;

в) каждое его ребро перпендикулярно тем граням, которые содержат лишь концы этого ребра.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной его вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Теорема 16. Квадpaт длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его рёбер, исходящих из одной вершины.

Доказательств о. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 84) и найдём квадрат длины его диагонали А 1 С.

В △ АА 1 C ( ∠ А = 90 ° ): А 1 C 2 = АС 2 + ;
в △ ADC ( ∠ D = 90 ° ): AC 2 = AD 2 + DC 2 .

Учитывая, что DC = AB, получаем: A 1 C 2 = АB 2 + АD 2 + . Теорема доказана. ▼

Замечание. Эта теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому её иногда называют пространственной теоремой Пифагора.

У параллелепипеда есть ещё одно метрическое свойство, похожее на свойство параллелограмма: «Сумма квадратов длин всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его рёбер» . Это свойство легко доказывается векторным методом.

Изображения прямого и прямоугольного параллелепипедов имеют один и тот же вид. При этом ошибочным является зрительное восприятие того, что сечение прямого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через противоположные стороны его оснований, всегда — прямоугольник. На самом деле, если прямой параллелепипед не прямоугольный, то его сечением плоскостью, проходящей через противолежащие стороны оснований, является параллелограмм, но не прямоугольник.

Действительно, пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямой (но не прямоугольный) параллелепипед, четырёхугольник ABC 1 D 1 — его сечение плоскостью, проходящей через противолежащие стороны АВ и C 1 D 1 оснований (рис. 85).

Так как АВ = C 1 D 1 и АВ || C 1 D 1 , то четырёхугольник ABC 1 D 1 — параллелограмм. Докажем, что этот параллелограмм не может быть прямоугольником.

Предположим противное: пусть ABC 1 D 1 — прямоугольник. Тогда АВ ⟂ ВС 1 (как смежные стороны прямоугольника), АВ ⟂ BB 1 (так как B 1 B ⟂ ( ABC )) , поэтому AB ⟂ ( B 1 BC ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) ⇒ AB ⟂ BC ⇒ ABCD — прямоугольник ⇒ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямоугольный параллелепипед. Пришли к противоречию с условием теоремы. Значит, предположение неверно, и четырёхугольник ABC 1 D 1 — параллелограмм.

Аналогично, сечение BCD 1 A 1 — параллелограмм, но не прямоугольник. Утверждение доказано.

 ЗАДАЧА (2.090). В прямом параллелепипеде с основанием ABCD известно: АВ = 29 см, AD = 36 см, BD = 25 см, АА 1 = 48 см. Найти площадь сечения AB 1 C 1 D.

Дан о. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямой параллелепипед (рис. 86); АВ = 29 см, AD = 36 см, BD = 25 см, АA 1 = 48 см.

Найт и: .

Решени е. Имеем 29 2 + 36 2 ≠ 25 2 ⇒ AB 2 + AD 2 ≠ BD 2 ⇒ △ ABD — не прямоугольный ⇒ ABCD — параллелограмм, но не прямоугольник. Это означает, что сечение AB 1 C 1 D — параллелограмм (докажите почему). Пусть C 1 E — высота этого параллелограмма, тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) СЕ — высота основания ABCD.

= AD • C 1 E, (1)
△ CС 1 E ( ∠ C = 90 ° ): C 1 E = , (2)
СЕ = = . (3)

Таким образом, находим:

S ABCD = 2 s △ ABD = = 720.

Тогда из (3), (2) и (1) последовательно получаем СЕ = = 20; C 1 E = = 52; = 36 • 52 = 1872 (см 2 ).

Ответ: 1872 cм 2 .

 ЗАДАЧА (2.100). Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами α , β и γ . Доказать, что cos α + соs β + соs γ = 1.

Дан о: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямоугольный параллелепипед (рис. 87); O = A 1 C ∩ BD 1 ; ∠ АОВ = α ; ∠ BOC = β ; ∠ B 1 OB = γ .

Дoкaзaт ь: cos α + cos β + cos γ = 1.

Решени е. Введём три некомпланарных вектора: = , = , = . Так как все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то | | = | | = | | = р. Тогда

cos α = cos ∠ ( ; ) =
= cos ∠ ( ; ) = = ;

cos β = cos ∠ ( ; ) =
= cos ∠ ( ; ) = = ;

cos γ = cos ∠ ( ; ) = cos ∠ ( ; ) = = .

Имеем △ OA 1 B 1 : = + .

Ho = – = – , = = – = – .

Поэтому = – + – . Значит, • = • (– + – ) .

Тогда cos α + cos β + cos γ = + + = = = = 1, что и требовалось доказать.

 ЗАДАЧА (2.106). Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 и 15 см и образуют угол в 60 ° . Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см 2 . Найти: а) площадь второго диагонального сечения; б) площадь боковой поверхности параллелепипеда; в) площадь полной поверхности параллелепипеда; г) площади сечений параллелепипеда, проходящих через противолежащие стороны его верхнего и нижнего оснований.

Дан о: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямой параллелепипед (рис. 88); AD = 8 см, АВ = 15 см, ∠ BAD = 60 ° , = 130 см 2 .

Найт и. a) ; б) S бок ; в) S полн ; г) ; .

Pешени е. ∠ BAD = 60 ° , значит, в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD связаны неравенством BD Поэтому = 130 и требуется найти . Так как АСС 1 A 1 — прямоугольник (почему?), то = AC • AA 1 .

Найдём длины отрезков АС и АА 1 .

△ ABD : BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2 AB • AD сos A = 225 + 64 – 2 • 15 • 8 • cos 60 ° = 169 ⇒ BD = 13.
△ АВС : АС 2 = АВ 2 + ВС 2 – 2 AB • ВС • cos В = 225 + 64 – 2 • 15 • 8 • cos 120 ° = 409 ⇒ AC = .

= BD • BB 1 = 130 ⇒ BB 1 = 130 : BD = 130 : 13 = 10.

а) = AC • AA 1 = 10 ;

б) S бок = 2( AB + BC ) • AA 1 = 460;

в) S полн = S бок + 2 S осн ;

S осн = AB • AD • sin 60 ° = 60 .

S полн = 460 + 2 • 60 = 20 • (23 + 6 );

г) сечение ABC 1 D 1 — параллелограмм (почему?). Пусть D 1 F — высота этого параллелограмма. Тогда = АВ • D 1 F. Найдём длину D 1 F.

D 1 F ⟂ АВ, D 1 D ⟂ ( АВС ) ⇒ DF ⟂ АВ (по теореме о трёх перпендикулярах).

Поэтому DF = AD • sin 60 ° = 4 ,

△ DD 1 F ( ∠ D = 90 ° ): D 1 F = = = 2 .

= 15 • 2 = 30 .

Аналогично, сечение BCD 1 A 1 — параллелограмм. Если D 1 E — высота этого параллелограмма, то DE ⟂ BC. Поэтому ∠ DED 1 = ϕ — угол между плоскостью сечения BCD 1 A 1 и плоскостью основания ABCD. Так как основание ABCD является ортогональной проекцией сечения ВСD 1 A 1 , то = S осн : cos ϕ . Найдём cos ϕ .

△ DEC : DE = DC • sin 60 ° = .
△ DED 1 : tg ϕ = = 10 : = ⇒ cos ϕ = .

Откуда = 60 : = 20 .

Ответ: а) 10 cм 2 ; б) 460 см 2 ; в) 20 • (23 + 6 ) cм 2 ; г) 30 см 2 ; 20 см 2 .

 ЗАДАЧА (2.108) . Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с меньшей боковой гранью угол α , а с плоскостью основания — угол ϕ . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Дан о: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямоугольный параллелепипед; BD 1 = d ;

∠ DBD 1 = ϕ ; ∠ D 1 BC 1 = α (рис. 89).

Решени е. S бок = 2 • ( + ).

Так как все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то

= AB • BB 1 ; = BC • BB 1 .

Найдём стороны основания и боковое ребро параллелепипеда.

Вследствие того, что DD 1 ⟂ ( АВC ) и D 1 C 1 ⟂ ( BCC 1 ) , имеем:

в △ BDD 1 ( ∠ BDD 1 = 90 ° ): BD = d • cos ϕ , DD 1 = d • sin ϕ ;

в △ BC 1 D 1 ( ∠ BC 1 D 1 = 90 ° ): ВС 1 = d • cos α , C 1 D 1 = d • sin α .

△ BCD ( ∠ BCD = 90 ° ): BC 2 = BD 2 – CD 2 =
= d 2 соs 2 ϕ – d 2 sin 2 α ⇒ ВС = d .

Так как AB = C 1 D 1 , BB 1 = DD 1 , то

= d • sin α • d • sin ϕ = d 2 • sin α • sin ϕ ;
= d • d • sin ϕ =
= d 2 • sin ϕ .

cos 2 ϕ – sin 2 α = – = =
= cos ( ϕ + α ) cos ( ϕ – α ).

S бок = 2 • ( + ) =
= 2 • ( d 2 • sin α • sin ϕ + d 2 • sin ϕ • ) =
= 2 d 2 • sin ϕ (sin α + ).

Ответ: 2 d 2 • sin ϕ (sin α + ).

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется кубом.

Из этого определения следует, что у куба все грани — равные квадраты.

12.2. Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, как и любой другой призмы, равен произведению площади его основания на высоту.

Ранее отмечалось, что у параллелепипеда, в отличие от любой другой призмы, любая грань может быть принята за его основание. При этом каждой грани параллелепипеда, принятой за его основание, соответствует высота параллелепипеда, опущенная на эту грань. Таким образом:

V паралл = S 1 • h 1 = S 2 • h 2 = S 3 • h 3 ,

где S 1 , S 2 , S 3 — площади трёх граней параллелепипеда, имеющих общую вершину, h 1 , h 2 , h 3 — высоты параллелепипеда, опущенные на эти грани.

Этим соотношением часто пользуются при решении различных задач.

 ЗАДАЧА (2.164). Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом в 60 ° , расположенные так, что три острых плоских угла трёх его граней имеют общую вершину. Найти объём параллелепипеда.

Дан о: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — параллелепипед, все грани которого — равные ромбы; АВ = a, ∠ A 1 AB = ∠ A 1 AD = ∠ BAD = 60 ° (рис. 90).

Найт и: объём параллелепипеда.

Решени е. Объём V данного параллелепипеда найдём по формуле: V = S осн • h = S ABCD • A 1 H, где A 1 H — высота параллелепипеда.

Прежде всего, докажем, что основание Н высоты А 1 Н параллелепипеда лежит на диагонали АС ромба ABCD .

В самом деле, так как все грани параллелепипеда — равные ромбы, то высоты всех граней равны. Пусть отрезки A 1 K и А 1 M — высоты граней AA 1 D 1 D и AA 1 B 1 B (см. рис. 90), где точка K — середина AD, М — середина АВ (докажите почему).

Так как отрезок А 1 Н — перпендикуляр к плоскости основания параллелепипеда, то по теореме о трёх перпендикулярах HK ⟂ AD , HM ⟂ AB . При этом НK = HM (как проекции равных наклонных), т. е. точка H равноудалена от сторон угла BAD , значит, точка Н принадлежит диагонали AC ромба ABCD , которая является биссектрисой угла BAD . Более того, так как точка K — середина AD и точка М — середина АВ , то в точке Н пересекаются медианы BK , DM и АО треугольника ABD.

Из сказанного следует важный вывод: изображение заданного параллелепипеда следует начинать с построения нижнего основания АВСD и точки Н = АC ∩ ВK (где точка K — середина AD ); вершина A 1 выбирается на перпендикуляре, проведённом через точку Н к плоскости основания.

Теперь нетрудно найти длину высоты А 1 H.

В правильном △ ABD : АН = АО = . В прямоугольном △ AA 1 H : A 1 H = = = . А так как S ABCD = AB 2 • sin 60 ° = , то V = • = .

Ответ: .