Как найти перпендикулярно к гипотенузе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h₁ и h₂) совпадают с его катетами.

Третья высота (h₃) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

2. Через длины сторон треугольника:

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

или, в другой записи,

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

Из прямоугольного треугольника ACK

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

по теореме Пифагора

Если возвести в квадрат обе части равенства:

можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .

Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку

2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .

3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .

Зато можно записать теорему Пифагора: .

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

источники:

Высота прямоугольного треугольника

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vysota-v-pryamougolnom-treugolnike-i-ee-svojstva/

Источник

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

2.(188.) Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.

Пусть AD (черт. 2) есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать следующие три пропорции:

1) ^BD/_AD= ^AD/_DC;

2) ^BC/_AB = ^AB/_BD ;

3) ^BC/_AC = ^AC/_DC.

Первую пропорцию мы докажем из подобия треугольников ABD и ADC. Эти треугольники подобны, потому что

/
1 = /
4 и /
2 = /
3

как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Возьмём в / ABD те стороны BD и AD, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в / ADC будут AD и DC¹, поэтому

BD : AD = AD : DC.

_________________________________
¹Чтобы безошибочно определить, какие стороны взятых треугольников сходственны между собой, полезно держаться такого пути:
1) указать углы, против которых лежат взятые стороны одного треугольника;
2) найти равные им углы в другом треугольнике;
3) взять противолежащие им стороны.
Например, для треугольников ABD и ADC рассуждаем так: в. треугольнике ABD стороны BD и AD лежат против углов 1 и 3; в треугольнике ADC этим углам равны 4 и 2; против них лежат стороны AD и DC. Значит, стороны AD и DC сходственны со сторонами BD и AD.

Вторую пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ABD. Эти треугольники подобны, потому что они прямоугольные и острый угол В у них общий. В / ABC возьмём те стороны ВС и АВ, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в / ABD будут АВ и BD; поэтому

ВС : АВ = АВ : BD.

Третью пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ADC. Эти треугольники подобны, потому что они оба прямоугольные и имеют общий острый угол С.
В / АВС возьмём стороны ВС и АС; сходственными сторонами в / ADC будут АС и DC; поэтому

ВС : АС = AC: DC.

3. (189.) Следствие. Пусть А (черт. 3) есть произвольная точка окружности, описанной на диаметре ВС.

Соединив концы диаметра с этой точкой, мы получим прямоугольный / ABC, у которого гипотенуза есть диаметр, а катеты суть хорды (по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр). Применяя доказанную выше теорему к этому треугольнику, приходим к следующему заключению:

Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком диаметра.

4. (190.) Задача. Построить отрезок, средний пропорциональный между двумя отрезками а и b.

Задачу эту можно решить двояким путём:

1) На произвольной прямой (черт. 4) откладываем отрезки АВ = а и ВС = b; на АС, как на диаметре, описываем полуокружность; из В восставляем до пересечения с окружностью перпендикуляр BD. Этот перпендикуляр и есть искомая средняя пропорциональная между АВ и ВС.

2) На произвольной прямой (черт. 5) откладываем от точки А отрезки а и b. На большем из этих отрезков описываем полуокружность. Проведя из конца меньшего отрезка перпендикуляр к АВ до пересечения его с окружностью в точке D, соединяем А с D. Хорда AD есть средняя пропорциональная между а и b.

5. (191.) Теорема Пифагора. Доказанные выше теоремы позволяют обнаружить замечательное соотношение между сторонами любого прямоугольного треугольника. Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н. э.) и носит поэтому его имя — теорема Пифагора.

Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей, то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть ABC (черт. 6) есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.

Положим, что стороны и отрезки гипотенузы измерены одной и той же единицей, причём получились числа а, b, с, с’ и b’ (принято длины сторон треугольника обозначать малыми буквами, соответствующими большим буквам, которыми обозначены противолежащие углы). Применяя теорему § 2 (188), можем написать пропорции:

а : с = с : с’ и а : b = b : b’,

откуда

ас’ = с² и ab’ = b².

Сложив почленно эти два равенства, найдём:

ас’ + ab’ = с² + b², или а(с’ + b’) = с² + b².

Но с’ + b’ = а, следовательно,

a² = с² + b².

Эту теорему обыкновенно выражают сокращённо так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора имеет ещё другую формулировку: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пример. Положим, что катеты, измеренные какой-нибудь линейной единицей, выражаются числами 3 и 4; тогда гипотенуза в той же единице выразится числом х, удовлетворяющим уравнению:

х² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, откуда х = √25 = 5.

Замечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется часто египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Так, их землемеры для построения прямого угла на земной поверхности пользовались таким приёмов: бечёвку посредством узлов они разделяли на 12 равных частей; затем, связав концы, натягивали её на земле (посредством кольев) в виде треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 делений; тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым¹.
_________________
¹ Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются целыми числами, носят название пифагоровых треугольников. Можно доказать, что катеты х и у и гипотенуза z таких треугольников выражаются следующими формулами:

х = 2ab, у = а² — b², z = а² + b² ,

где a и b — произвольные целые чцвяа при условии, что а > b.

6. (192.) Следствие. Квадраты катетов относятся между собой, как прилежащие отрезки гипотенузы. Действительно, из уравнений предыдущего параграфа находим:

c² : b² = ac’ : ab’ = с’: b’.

7. (193.) Замечание. К трём равенствам, которые мы вывели выше:

1) ас’ = с²; 2) ab’ = b² и 3) a² = с² + b²,

можно присоединить ещё следующие два:

4) b’ + с’ = а и 5) h² = b’с’ ‘

(если буквой h обозначим длину высоты AD). Из этих равенств третье, как мы видели, составляет следствие первых двух и четвёртого, так что из пяти равенств только четыре независимы; вследствие этого можно по данным двум из шести чисел находить остальные четыре.

Для примера положим, что нам даны отрезки гипотенузы b‘ = 5 м и с’ = 7 м; тогда

а = b’ + с’ = 12;
с = √ac’ = √12•7 = √84 = 9,165 …
b = √ab’ = √12•5 = √60 = 7,745 …
h = √b’c’ = √5 • 7 = √35 = 5,916…

Источник

Примечание. Текст задачи взят с форума.

Задача.

Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 9 и 12 см. Через середину гипотенузы (точку О) провели перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 6см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до катетов.

Катети прямокутного трикутника АВС дорівнюють 9 і 12 см Через середину гіпотенузи (точку О) провели перпендикуляр до площини трикутника, рівний 6см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до катетів.

Решение.

Отобразим условие задачи на рисунке

Обратим внимание на то, что ON и OM являются перпендикулярами к катетам прямоугольного треугольника, поскольку нам необходимо найти расстояние KN и KM.

Рассмотрим отрезок NO. Он является перпендикуляром к CB. Угол ACB также вляется прямым по условию задачи. Таким образом, треугольники ABC и OBN — подобны по признаку равенства углов (см. подобие треугольников). Угол В — общий, а, поскольку CA и NO являются перпендикулярами к CB — то остальные углы также равны (один прямой, второй равен 180 градусов минус сумма остальных углов, равенство которых мы уже доказали).

Коэффициент подобия треугольников равен соотношению BO к BA. Поскольку точка О — точка касания медианы прямоугольного треугольника к гипотенузе, то есть AO = OB, то коэффициент подобия будет равен 1:2.

Откуда ON = CA / 2 = 9 / 2 = 4,5

Расстояние же KN найдем по теореме Пифагора.

KN = √(4,5² + 6² ) = 7,5 см

Аналогично, найдем расстояние до второго катета:

OM = CB / 2 = 12 / 2 = 6

KN = √( 6² + 6² ) = √72 = 6√2 см

Ответ: 7,5 см, 6√2 см

Перпендикуляр к квадрату |

Описание курса

| Призма. Параллелепипед. Куб. Решение задач

Источник

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Один из типов экзаменационных задач в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

sin A $displaystyle = frac{a}{c}=frac{h}{b}=frac{BH}{a};$

cos A $displaystyle = frac{b}{c}=frac{h}{a}=frac{AH}{b};$

$displaystyle S_{ABC}= frac{ab}{2}=frac{ch}{2}.$

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{circ}$ . Значит, $angle AC mkern -3mu H=90^{circ}-angle C mkern -3mu AH$ , то есть угол равен углу ABC . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника ABC равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и ABC . Стороны треугольника ABC длиннее, чем стороны треугольника в раз:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AC}{displaystyle A mkern -3mu H} =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle C mkern -3mu H} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AB}{displaystyle AC}.$

Мы доказали свойство высоты прямоугольного треугольника. Его можно сформулировать как теорему.

Теорема 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника ABC можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ},$ CH — высота, BC = 3, cos A = $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{35}}{displaystyle 6}.$ Найдите AH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin ${}^2A$ + cos ${}^2A$ = 1.

Эта формула – основное тригонометрическое тождество. Конечно, вы его знаете:

sin ${}^2 A + genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 35}{displaystyle 36} = 1;$

sin ${}^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 36};$

sin A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}$ (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

$AB=BC: sin A = 3: genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=3 cdot 6=18.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник , $angle H = 90^{circ}$ . Поскольку

Отсюда $H mkern -3mu B=BC cdot sin HC mkern -3mu B = 3 cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=0,5.$

Ответ: 16.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90 ${}^{circ},$ AB = 13, tg A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}$ . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Запишем теорему Пифагора: (1)

Нам известно также, что:

tg A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}.$ (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

Запишем площадь треугольника AВС двумя способами:

$S = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ab = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ch$

и найдем длину .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB:

sin $displaystyle (angle BAC)=frac{a}{c}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

sin $displaystyle (angle BAC)=frac{h}{b}.$

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

$displaystyle frac{h}{b}=frac{a}{c}.$

Найдем высоту:

$displaystyle h= frac{ab}{c}.$

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты BС и AС нам известны: BC = 15, AC = 20. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

${AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2, AB=25.$

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

$displaystyle CH=frac{15cdot 20}{25}=12.$

Ответ: 12.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки С опускаем СН — перпендикуляр к прямой AВ. Точка Н и будет проекцией точки С. Тогда AН – проекция катета AВ, а BН – проекция катета BС.

Обозначим:

Доказательство проведем двумя способами.

Первый способ доказательства:

Из прямоугольного треугольника BНС с прямым углом Н и гипотенузой BС:

tg $displaystyle (angle CBH)=frac{h}{c_a}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

ctg $displaystyle (angle CAH) = frac{c_b}{h}.$

Заметим, что угол CBН – это угол CBA, а угол CAН – это угол BAC. Тогда:

$displaystyle frac{h}{c_a}=frac{c_b}{h}.$

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

$displaystyle h=frac{c_a cdot c_b}{h} Rightarrow h^2 = c_a c_b .$

Что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства:

Воспользуемся подобием треугольников, о которых говорится в теореме 1.

Рассмотрим пару прямоугольных треугольников AНC и BНC. Как было показано выше, эти треугольники подобны по двум углам, поэтому

$displaystyle frac{h}{c_a}=frac{c_b}{h}.$

Мы получили такое же соотношение, как и в первом способе доказательства.

Далее аналогично получим, что

Что и требовалось доказать.

Задача 4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Найдите длину CH.

Решение:

Воспользуемся теоремой 3 о высоте прямоугольного треугольника:

Подставим данные задачи.

${CH}^2=4cdot 16=64,$ CH = 8.

Ответ: 8.

Разберем решения других задач ОГЭ и ЕГЭ по теме «Свойства высоты в прямоугольном треугольнике».

Задача 5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС с гипотенузой AB. Проведем высоту CD=h.

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: BC = 3x, AC = 4x.

Тогда по теореме Пифагора получим:

$AB=sqrt{9x^2 +16 x^2} = sqrt{25 x^2}=5x.$

По условию гипотенуза AB = 50. Следовательно, х = 10, BC = 30, AC = 40.

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

$displaystyle CD=frac{BCcdot AC}{AB}=frac{30cdot 40}{50}=24.$

где по определению косинуса:

cos A $displaystyle =frac{AC}{AB}=frac{4}{5},;$ cos B $displaystyle =frac{BC}{AB}=frac{3}{5}.$

$displaystyle AD=ACcdot frac{4}{5}=32,; BD=BCcdot frac{3}{5}=18.$

Ответ:

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и BD = 2 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

${CD}^2=ADcdot BD=3cdot 2=6.$

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем

${AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15,; AC= sqrt{15}$ см.

Из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора найдем

${BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10,; BC= sqrt{10}$ см.

Ответ: см и см.

Задача 7. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла C треугольника ABC к гипотенузе AB. Найдите AC, если AD=8, AB=32.

Указание:

Найдите отрезок BD = AB — AD, после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

h = c sin alpha cos alpha = c sin beta cos beta.

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD:

В то же время из треугольника AВC:

Таким образом, h = CD = AC cos⁡ alpha = AB sin alpha cos alpha = c sin alpha cos⁡ alpha.

Аналогично, из треугольника BCD получим: h = CD = BC cos beta = AB sin⁡ beta cos beta = c sin beta cos⁡ beta.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

h = c sin alpha cos alpha = 10 sin ${15}^circ$ cos ${15}^circ$ = 5sin ${30}^circ$ = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задача 9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 6 см и 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: см.

Площадь треугольника:

$displaystyle S=frac{1}{2}ch=frac{1}{2}cdot 10cdot 2sqrt{6}=10sqrt{6}$ см ${}^2.$

Ответ: см ${}^2.$

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Высота в прямоугольном треугольнике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Перпендикулярность прямых. Прямоугольные треугольники

68. В п. 63 мы научились строить прямой угол. Так как две прямые, составляющие прямые углы, называются перпендикулярными друг другу (п. 60), то построение п. 63 можно выразить словами иначе: мы можем построить прямую, перпендикулярную к данной.

Мы теперь должны эту общую задачу разобрать подробнее и прежде всего разделим ее на две отдельных задачи:

1) Дана прямая и точка на ней, построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ли и сколько?).

2) Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ил и сколько?).

В скобках указаны те вопросы, которые должны быть выяснены при выполнении построений.

69. 1-я задача. Дана прямая и точка на ней; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Здесь остается повторить то построение, какое было дано в п. 63.

Пусть дана прямая AB и точка C на ней (чер. 73), построить чрез C перпендикуляр к AB.

От точки C откладываем по AB в разные стороны два произвольных, но равных отрезка CD = CE и затем, принимая последовательно точки D и E за центры, строим две окружности (или две дуги, достаточные для нахождения одной точки пересечения окружностей) одинаковыми радиусами, большими, чем отрезок CD. Точку пересечения M этих окружностей соединяем с C, тогда MC и есть искомый перпендикуляр, так как MC есть половина диагонали ромба, 3 вершины которого суть D, E и M.

Слово «перпендикуляр» пишут для сокращения знаком ⊥; мы построили

CM ⊥ AB

(CM перпендикуляр к AB).

Итак, выполнив это построение, мы можем признать, что чрез всякую точку, данную на прямой, можно построить к ней перпендикуляр (говорят иногда: восставить перпендикуляр к данной прямой). Остается еще вопрос: сколько?

Если луч CM повернуть около точки C в ту или другую сторону, то новые углы, составляемые этим лучом с прямою AB, уже не будут прямыми; поэтому заключаем, что возможно построить чрез точку прямой линии к этой прямой лишь один перпендикуляр.

70. 2-я задача. Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Пусть дана прямая AB и точка C вне ее (чер. 74); требуется чрез C построить перпендикуляр к AB.

Задача сводится к построению такого ромба, чтобы его одна вершина расположилась в точке C и одна его диагональ шла по прямой AB. Для построения такого ромба опишем, принимая C за центр, окружность (или дугу), выбрав ее радиус столь большим, чтобы эта окружность пересекалась с прямою AB; пусть она пересечет прямую AB в точках D и E. Тогда будут найдены еще две вершины ромба. Затем, принимая последовательно за центры точки D и E, построим два круга (или две дуги) тем же самым радиусом и найдем точку их пересечения, расположенную по другую сторону от прямой AB сравнительно с точкою C, пусть эта точка есть F. Тогда все 4 вершины ромба найдены; остается построить его диагональ CF, она, как мы знаем, и будет перпендикулярна к AB, т. е. CF ⊥ AB или CM ⊥ AB.

Стороны ромба DC, CE, EF и FD нет надобности строить.

Выполнив указанное построение, мы должны признать, что из всякой точки, данной вне прямой, мы можем построить перпендикуляр к данной прямой (говорят иногда: опустить перпендикуляр на данную прямую). Остается еще вопрос: сколько?

Для решения этого вопроса допустим, что чрез точку C (чер. 75) построено: 1) CD ⊥ AB и 2) CE ⊥ AB. Тогда ∠CDB или ∠1 и ∠CEB или ∠2 оба должны быть прямыми и, следов., равны между собою. Но ∠CEB есть внешний угол для ∆CDE, а мы знаем (п. 49), что внешний угол треугольника должен быть больше внутреннего с ним несмежного. Это противоречие показывает, что наше допущение не верно, т. е. Нельзя построить чрез точку C двух перпендикуляров к прямой AB. Итак:

Чрез точку, данную вне прямой, можно построить только один перпендикуляр к этой прямой.

Замечание. Если, как мы получили в этом п., CF ⊥ AB (чер. 74), то, очевидно, и AB ⊥ CF.

71. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 76) и из каждой его вершины опустим перпендикуляр на противоположную сторону (здесь под именем сторона треугольника надо понимать бесконечную прямую). Каждый из этих перпендикуляров называется высотою треугольника. Следовательно, наша задача может быть выражена так: построить высоты треугольника. Если мы выполним построение перпендикуляров с возможною тщательностью, то в результате увидим, что по-видимому, все три высоты пересекаются в одной точке H, впоследствии мы выясним, что это свойство высот обязательно для всякого треугольника.

При построении высот может быть три случая: 1) все три высоты идут внутри треугольника (чер. 76); 2) две высоты BE и AD располагаются вне треугольника и общая точка H пересечения всех трех высот лежит вне треугольника (чер. 77) и 3) две высоты сливаются со сторонами треугольника (чер. 78), где BA ⊥ AC и CA ⊥ AB.

72. Для разбора вышеописанных трех случаев расположения высот условимся в обозначениях и названиях.
Прямой угол обозначают буквою d; тогда выпрямленный угол равен 2d, так как прямой угол есть половина выпрямленного угла. Если какой-либо угол больше прямого угла, то он называется тупым углом, а угол, меньший прямого угла, называется острым. Если ∠BAC (чер. 79) прямой, т. е., если ∠BAC = d, то ∠DAC > d и, следов., тупой, а ∠EAC < d и, следов., острый.

Мы знаем (п. 37), что сумма внутренних углов треугольника равна выпрямленному углу; теперь мы то же можем выразить, сказав, что сумма внутренних углов треугольника = 2d (или двум прямым углам).

Ясно, что 3-й случай расположения высот в треугольнике, когда две его высоты сливаются со сторонами (чер. 78), имеет место, если ∠BAC треугольника прямой (∠BAC = d); такой треугольник с прямым углом называется прямоугольным. Так как сумма всех углов треугольника = 2d, а в этом случае ∠A прямой, или = d, то два другие угла (∠B и ∠C) в сумме составляют тоже прямой угол, а следовательно каждый из них в отдельности меньше прямого, или, другими словами, каждый из них острый угол.

Нетрудно теперь различать и два остальных случая: случай, данный на чер. 76, имеет место тогда, когда все 3 угла в треугольнике острые, а случай, данный на чер. 77, имеет место тогда, когда один из внутренних углов (на чер. 77 ∠BCA) тупой.

Ясно также, что если в треугольнике один угол тупой (или > d), то сумма двух других углов должна быть < d, чтобы сумма всех трех углов была = 2d, а следовательно каждый из остальных двух углов должен быть острым.

73. Построим какой-либо прямоугольный треугольник ABC (чер. 80), и пусть ∠A = d. Тогда сторона BC этого треугольника, лежащая против прямого угла, носит название гипотенузы, а остальные две стороны AB и AC (составляющие прямой угол) называются катетами.

74. Признаки равенства, найденные нами для треугольников вообще, упрощаются для прямоугольных треугольников. Кроме того, для прямоугольных треугольников можно составить еще 2 особых признака. Тогда будем иметь:

1-й признак. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

В самом деле это тот же самый признак, знакомый нам: если 2 стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Теперь про углы не говорится потому, что между катетами расположены прямые углы, а они всегда равны (на чер. 81). ∠A = ∠A’, как прямые, и достаточно для равенства ∆ABC и ∆A’B’C’ знать, что AB = A’B’ и AC = A’C’).

2-й признак. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Это опять-таки знакомый нам признак: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Теперь про равенство углов, прилегающих к равным катетам у другого конца каждого, не говорится, так как эти углы прямые, а они всегда равны (на чер. 81, где ∠A и ∠A’ прямые, достаточно для равенства треугольников знать, что AB = A’B’ и ∠B = ∠B’).

Можно вместо прилежащих углов к катетам взять углы, противолежащие этим катетам: если ∠C = ∠C’, то и ∠B = ∠B’, так как ∠B + ∠C = d и ∠B’ + ∠C’ = d.

Признак равенства треугольников по трем равным сторонам здесь нет нужды применять: мы уже знаем, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно знать равенство двух сторон, а именно двух катетов (1-й признак).

3-й признак. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Этот признак является следствием общего признака: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого, то эти треугольники равны. В самом деле, пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 81), у которых BC = B’C’ и ∠С = ∠С’. Так как мы знаем, что ∠B + ∠C = d (сумма всех трех внутренних углов ∆ABC = 2d, но ∠A = d, следов., ∠B + ∠C = d) и ∠B’ + ∠C’ = d (ибо ∠A’ = d), а нам известно, что ∠C = ∠C’, то отсюда приходим к заключению, что ∠B = ∠B’ и тогда сторона BC и два прилегающих к ней угла ∠C и ∠B одного треугольника равны соответственно стороне B’C’ и двум прилегающим к ней углам другого ∠C’ и ∠B’, а мы знаем, что в этом случае ∆ABC = ∆A’B’C’.

4-й признак. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие прямоугольные треугольники равны.

Этот признак удобнее всего выяснить следующим образом. Пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 82), причем ∠B = d и ∠B’ = d, у которых AC = A’C’ и AB = A’B’. Приложим ∆A’B’C’ и ∆ABC так, чтобы у них совпали равные катеты, т. е. A’B’ совпал бы с AB, и сами треугольники расположились бы по разные стороны от прямой AB, для этого иногда (напр., в случае, данном на чертеже) придется ∆A’B’C’ перевернуть другою стороною. Тогда сторона B’C’ должна пойти по такому направлению BC», чтобы ∠ABC» оказался прямым (ибо ∠B’ = d), а, следов., ∠CBC» оказался бы выпрямленным, т. е. Направление BC» должно быть продолжением стороны CB. Если точка C’ попадет в точку C», то, построив сторону AC», получим ∆ABC», равный ∆A’B’C’. Так как CBC» есть прямая линия, то получим еще ∆ACC», у которого сторона AC = AC», потому что AC» есть гипотенуза A’C’ треугольника A’B’C’, помещенного в положение ABC». Следовательно, ∆ACC» равнобедренный, а в таком случае углы при его основании равны, т. е. ∠C = ∠C», или ∠C = ∠C’. Оказалось, что у ∆ABC и ∠A’B’C’ имеется еще по равному острому углу, а в таком случае, на основании предыдущего признака, мы можем заключить, что ∆ABC = ∆A’B’C’.

75. Пусть построено: 1) CD ⊥ AB и 2) C’D’ ⊥ AB (чер. 83); тогда, напр., ∠1 = ∠2, так как оба они прямые. Но эти углы суть соответственные при прямых CD и C’D’, пересеченных секущею AB, – следов., CD || C’D’.

Наоборот, пусть построено: 1) CD || C’D’ и 2) AB ⊥ CD (чер. 83); тогда AB должна пересечь и прямую C’D’ (п. 32, 1), напр. в точке C’. Легко увидим, что ∠2 = ∠1, так как эти углы соответственные при параллельных CD и C’D’ и секущей AB, но ∠1 = d, так как AB ⊥ CD, – следов., и ∠2 = d, т. е. AB ⊥ C’D’.
Поэтому имеем два заключения:

1) Два перпендикуляра к прямой параллельны.

2) Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.

76. Упражнения.

Построить прямоугольный ∆ по катетам.
Построить прямоугольный ∆ по катету и одному из острых углов.
Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и острому углу.
Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и катету.
Построить высоты параллелограмма. Указать среди них равные.
Задачу «построить перпендикуляр к данной прямой чрез данную вне ее точку» можно решить следующим построением: на данной прямой берем 2 произвольных точки A и B (чер. E) и, принимая их последовательно за центры, построим два круга радиусами AC и BC, где C данная точка. Окончить это построение и выяснить его справедливость.
Разделить прямой угол на 3 равных части.

Третью часть прямого угла легко построить: каждый внутренний угол равностороннего треугольника = (2d)/3 , а его половина = d/3 . Наиболее удобное расположение построения следующее: принимая вершину A прямого угла за центр (чер. F), строим произвольным радиусом окружность: затем, принимая за центры точки C и B – точки пересечения построенной окружности со сторонами прямого угла – строим тем же радиусом дуги, пересекающие построенную окружность в точках D и E. Тогда ∆AEB и ∆ACD равносторонние, и лучи AD и AE делят прямой ∠A на 3 равных части.

Источник