Как найти перпендикулярные прямые на прямоугольнике

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Необходимо запомнить названия следующих углов:

1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Аксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Следствия из аксиом параллельных прямых

• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

На данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

• Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

По данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

На рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. На данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы будете перенаправлены на Автор24

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярными прямыми называются прямые, которые располагаются на одной плоскости и пересекаются под прямым углом.

Прямой угол равен $90^о$.

Перпендикулярными могут быть не только прямые, но и лучи, и отрезки.

Рассмотрим прямоугольник и квадрат. В них все углы прямые, т.е. равны 90о. Следовательно, соседние стороны каждой и этих геометрических фигур перпендикулярны между собой.

Для построения прямого угла, например, в школьной тетради, можно использовать чертежный треугольник, у которого один из углов равен $90^circ$. Также можно воспользоваться транспортиром: провести ровную линию, отметить точку возле цифры $90$ и построить проекцию из этой точки на проведенную прямую. Самый простой способ – нарисовать перпендикулярные прямые по клеточкам в тетради, т.к. они имеют форму квадрата со сторонами, которые располагаются под прямым углом.

Прямые, которые пересекаются под прямым углом, называются перпендикулярными прямыми.

Перпендикулярные прямые сокращенно в математике обозначают с помощью специального знака «perp». Например, тот факт, что прямая $AB$ перпендикулярна относительно прямой $MN$ записывается как $AB perp MN$.

Если $AB perp MN$, то $MN perp AB$.

Отрезки (или лучи), которые лежат на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными отрезками (или лучами).

Готовые работы на аналогичную тему

Параллельные прямые

Представим плоскость, на которой проведена одна прямая линия. Назовем ее $AB$. На этой же плоскости вне прямой отмечена точка $C$. Через эту точку $C$ можно провести бесконечное количество прямых, но только одна из них (назовем ее $CD$) никогда не пересечется с прямой $AB$. Говорят, что прямая $AB$ параллельна относительно прямой $CD.$

Параллельными прямыми называются две прямые, которые расположены на плоскости и не пересекаются.

Сформулируем еще и правило:

Через точку, которая не принадлежит на прямой, можно провести только одну прямую, которая будет параллельна исходной.

В жизни параллельные прямые можно встретить, например, на прямых участках железнодорожных путей или прямых участках трамвайных путей.

Довольно часто параллельные прямые встречаются в геометрических фигурах. Например, противоположные стороны квадрата, прямоугольника, параллелограмма, основания трапеции.

Такие геометрические фигуры, как квадрат и прямоугольник, интересны тем, что они содержат и перпендикулярные, и параллельные стороны.

Таким образом, две любые прямые на плоскости могут или пересекаться в одной точке, или не пересекаться.

Параллельные прямые сокращенно в математике обозначают с помощью специального знака «parallel». Например, тот факт, что прямая $AB$ параллельна прямой $MN$ записывается как $AB parallel MN$.

Если $AB parallel MN$, то $MN parallel AB$.

Отрезки (или лучи), которые лежат на параллельных прямых, называются параллельными отрезками (или лучами).

Рассмотрим квадрат $ABCD$.

Его стороны $AB$ и $CD$, $BC$ и $DA$ – попарно параллельные.

Стороны $AB$ и $BC$, $BC$ и $CD$, $CD$ и $DA$, $DA$ и $AB$ – попарно перпендикулярные.

Если представить любые две прямые, которые находятся в одной плоскости, такие, что они перпендикулярны третей прямой, следовательно, эти прямые параллельные между собой.

Прямые $m$ и $n$ на рисунке перпендикулярны прямой $l$. Они параллельны друг другу.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и образуют прямые углы с другими сторонами этого прямоугольника.

Для построения параллельных прямых можно использовать треугольник и линейку. На рисунке показано, как с помощью чертежных приборов можно начертить прямую $n$, которая проходит через точку $A$ параллельно прямой $m$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 06 2021

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Параллельные и перпендикулярные прямые

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Взаимное расположение прямых на плоскости.
• Параллельные прямые.
• Аксиома параллельных прямых.
• Перпендикулярные прямые.
• Расстояние от точки до прямой, между параллельными прямыми.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Углы, изображенные на рисунке:

Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.

Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7.

Односторонние: 3 и 6; 4 и 5.

Признаки и свойства параллельных прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых.

Способ построения параллельных прямых:

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными.

Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b.

Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну.

Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром.

Перпендикулярность и параллельность прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой.

Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один.

Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а.

Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Решение: ∠1 и ∠2 соответственные, по свойству параллельных прямых: ∠1 = ∠2 = 220°: 2 = 110°.
2. ∠2 и ∠3 смежные, по свойству смежных углов: ∠2 + ∠3 = 180° значит, ∠3 = 180° – 110° = 70°.

№ 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

1. Пусть ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы. ОК и ОР – их биссектрисы.
2. ∠KOP = ∠КОВ + ∠ВОР. Поскольку ОК и ОВ – биссектрисы, то ∠КОВ = 1/2∠АОВ, ∠ВОР = 1/2∠ВОС по определению биссектрисы.
3. Тогда ∠КОР = 1/2∠АОВ + 1/2∠ВОС = 1/2(∠АОВ + ∠ВОС) = 180° : 2 = 90°.
4. Итак, ОК ⏊ ОР т. е. прямые перпендикулярны.

Разобраться с этой темой нам поможет уже известный вам прямой угол.
Напоминаем, что прямой угол – это угол, градусная мера которого
равна .

Определение

Две прямые линии, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными.

Обратите внимание,

прямые АВ и СD пересекаются, но не являются
перпендикулярными, так как не образуют 4 прямых
угла.

А вот прямые AB и EF пересекаются и образуют 4 прямых
угла.

Прямые AB и EF называются перпендикулярными.

В математике слово «перпендикулярные№» обозначают специальным
знаком:

В математике вы уже не раз встречались с перпендикулярными прямыми.

Например, если продлить смежные (то есть соседние) стороны
прямоугольника, то полученные прямые будут перпендикулярны.

Убедиться в том, что две прямые перпендикулярны можно с помощью чертёжного
треугольника и с помощью транспортира.

Кроме того строители иногда проверяют перпендикулярность стены основанию
дома с помощью грузика, подвешенного на тонкой гибкой нити, т.е. отвеса.

Кстати, латинское “перпендикулярис” означает “отвесной”.

Чтобы убедиться в том, что две прямые перпендикулярны, не
обязательно измерять все 4 угла.

Если один прямой угол, то и три остальных угла тоже будут прямыми.

Например, прямая AD пересекается прямой BC в точке О.

И если угол АОВ прямой, то углы AOC, DOC, BOD прямые.

Построить перпендикулярные прямые не сложно.

Например, для построения перпендикулярной прямой через точку, лежащую
на данной прямой необходимо:

1) построить произвольную прямую АВ, потом отметить на прямой
произвольную точку М;

2) взять чертёжный треугольник и совместить сторону прямого угла
чертёжного треугольника с прямой АВ, а вершину прямого угла чертежного
треугольника с точкой М;

3) провести прямую СD вдоль второй стороны прямого угла
чертежного треугольника.

Построение двух перпендикулярных прямых, через точку, лежащую на данной
прямой закончено.

Для построения перпендикулярной прямой через точку, НЕ лежащую на данной
прямой необходимо:

1) построить произвольную прямую; отметить точку вне прямой;

2) приложить чертёжный треугольник;

3) провести перпендикулярную прямую.

Обратите внимание,

что через любую точку плоскости можно провести единственную прямую,
перпендикулярную данной.

Кроме перпендикулярных прямых в математике есть понятие «перпендикулярные
отрезки (или лучи)».

Определение

Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых называются перпендикулярными.

Например

Отрезки MN и CD перпендикулярны.

Отрезки KT и OP тоже перпендикулярны, т.к. через них можно
провести перпендикулярные прямые.

Лучи SA и HB лежат на перпендикулярных прямых, а значит перпендикулярны.

Итоги

Если две прямые перпендикулярны, то при пересечении они образуют углы 90
градусов.

И наоборот, если при пересечении прямые образуют углы 90 градусов, то эти
прямые перпендикулярны.



2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе

координат (но не в общем аффинном случае):

Задача 79

Прямая задана уравнением  в декартовой системе координат. Составить

уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение: по условию известна точка  ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост:  из уравнения  «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой  составим по точке  и направляющему вектору :

Ответ:

Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений ,   вытаскиваем направляющие векторы  и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно

перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка  полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!

Самостоятельно:

Задача 80

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение  в декартовой системе координат  и точка .

В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

И наше увлекательное путешествие продолжается:

2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин