Как найти перпендикулярные прямые на рисунке изображены

Категория: ГДЗ Математика учебник 6 класс Дорофеев, Шарыгин

• Предыдущее
• Следующее

Представим
себе такую историю…

–
Саша, ты меня звал? – спросил у друга Паша.

–
Да, звал, – ответил Саша. – Помоги мне, пожалуйста, разобраться. Я собрался
ехать на велосипеде в книжный магазин и спросил у старшего брата, как туда
проехать. Он мне объяснил, что сначала надо проехать  км
по дороге в сторону школы, а затем свернуть на дорогу, перпендикулярную той, по
которой я ехал. Это как?

–
Давай представим, что дороги – это у нас прямые. И твой брат сказал, что они
перпендикулярны, – начал рассуждать Паша.

–
А что это за перпендикулярные прямые? – перебил его Саша.

–
Даже не знаю, – задумчиво ответил Паша и предложил, – а давай спросим у
Мудряша.

–
Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним
устные задания, – предложил Мудряш.

–
Теперь сверимся! – сказал Мудряш. –
Посмотрите, что у вас должно было получиться!

–
А сейчас вернёмся к вашему вопросу и выясним, какие же прямые называют
перпендикулярными, – начал Мудряш. – Ребята, давайте вспомним, какой угол
называют развёрнутым.

–
Развёрнутым углом называют угол, равный ,
– напомнили мальчишки.

–
Построим развёрнутый ,
– продолжил Мудряш. – Обратите внимание, что его стороны  и
 образуют
прямую. Теперь проведём биссектрису .

–
Биссектриса делит угол на два равных угла, – вспомнил Паша.

–
Верно! – отметил Мудряш.

–
А значит, ,
– сказал Саша.

–
Развёрнутый ,
тогда можем записать, что ,
– продолжил объяснять Мудряш. – А так как углы ,
то запишем: .

Если
мы с вами достроим луч  до
прямой ,
то получим развёрнутый .
И эта сумма равна .
Выше мы выяснили, что .
Выразим из предпоследнего равенства :
.
Подставим значение :
.
Выполним вычитание и получим, что .

Таким
же образом мы можем показать, что и .

Итак,
при пересечении прямых  и
 образовалось
четыре прямых угла.

–
И эти прямые называются перпендикулярными, – догадались Саша и Паша.

–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Запомните! Две прямые, образующие
при пересечении четыре прямых угла, называют перпендикулярными
прямыми.

Обозначают
перпендикулярные прямые вот так: .

Прямые
можно обозначать и одной маленькой латинской буквой. Например, .

–
А можно проверить, являются ли прямые перпендикулярными? – спросили у Мудряша
мальчишки.

–
Конечно. Проверить, перпендикулярны прямые или нет, можно, например, с помощью угольника,
– начал объяснять Мудряш. – Для этого нам надо совместить точку пересечения
прямых с вершиной прямого угла угольника и расположить его так, чтобы одна из прямых
совпала со стороной прямого угла угольника.

–
Тогда если вторая прямая совпадёт со второй стороной прямого угла угольника, то,
значит, прямые пересекаются под прямым углом, – догадался Саша.

–
Верно! – сказал Мудряш. – Следовательно, прямые перпендикулярны.

–
А есть ещё какой-нибудь способ проверить, перпендикулярны ли прямые? – спросил
Паша.

–
Есть, – ответил Мудряш. – Это можно сделать с помощью транспортира.
Для этого нам надо совместить точку пересечения прямых с центром транспортира и
расположить транспортир так, чтобы одна из прямых прошла по линейке.

–
Тогда если вторая прямая проходит через штрих «»,
то данные прямые пересекаются под прямым углом, – помог Мудряшу Саша.

–
А значит, эти прямые перпендикулярны, – добавил Паша.

–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Отметим, что совсем не обязательно измерять
все четыре угла. Если один угол прямой, то и остальные три тоже будут прямыми.

–
Давайте попробуем построить перпендикулярные прямые, – предложили мальчишки
Мудряшу.

–
Построить перпендикулярные прямые также можно с помощью угольника или
транспортира, – начал Мудряш. – Чтобы построить перпендикулярные прямые с
помощью угольника, мы сначала проведём произвольную прямую .
Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с этой прямой. Затем
вдоль второй стороны прямого угла угольника проведём прямую  Таким
образом, мы получим перпендикулярные прямые  и
.

–
Построить перпендикулярные прямые с помощью транспортира, наверное, будет
сложнее, – задумались мальчишки.

–
Совсем нет, – успокоил ребят Мудряш. – Давайте снова проведём произвольную
прямую
.
Приложим к этой прямой транспортир так, чтобы она прошла по линейке. Затем
найдём на шкале штрих, который соответствует .

–
И проведём через него прямую, которая и будет перпендикулярна прямой ,
– догадался Паша.

–
И назовём эту прямую ,
– добавил Саша.

–
Всё верно! – отметил Мудряш и продолжил, – отметим, что с помощью угольника мы
можем провести прямую, которая перпендикулярна данной, через некоторую точку.
Причём эта точка может лежать на данной прямой, а может и не лежать.

Давайте
построим произвольную прямую  и
отметим на ней произвольную точку .

Возьмём
угольник и совместим сторону прямого угла угольника с нашей прямой ,
а вершину прямого угла угольника совместим с точкой .

Затем
проведём прямую  вдоль
второй стороны прямого угла угольника.

Вот
так мы с вами провели прямую ,
перпендикулярную прямой ,
через точку ,
лежащую на прямой .

Ребята,
а сейчас давайте построим произвольную прямую  и
отметим произвольную точку ,
которая не лежит на этой прямой.

–
И проведём через эту точку прямую, перпендикулярную прямой ?
– заинтересованно спросили у Мудряша мальчики.

–
Да, – ответил Мудряш. – Для этого мы приложим угольник так, чтобы одна сторона
его прямого угла совпала с нашей прямой ,
а вторая проходила через точку .

–
Затем проведём прямую вдоль второй стороны прямого угла угольника, – продолжил
построение Паша. – Можем назвать её, например, .

–
Получается, что мы провели прямую ,
перпендикулярную прямой ,
через точку ,
которая не лежит на прямой ,
– сделали вывод Саша и Паша.

–
Молодцы, ребята! – похвалил Пашу и Сашу Мудряш. – А теперь посмотрите на
следующие рисунки. На них изображены перпендикулярные прямые, на которых лежат
пары отрезков. Такие отрезки называют перпендикулярными.

Так,
на первом рисунке на перпендикулярных прямых 𝑎
и  лежат
перпендикулярные отрезки  и
.
На втором рисунке на перпендикулярных прямых  и
 также
лежат перпендикулярные отрезки  и
.

Перпендикулярными
также могут быть два луча, луч и отрезок, отрезок и прямая, луч и прямая.
Посмотрите на следующие рисунки.

–
На первом рисунке на перпендикулярных прямых  и
 изображены
лучи  и
.
Они перпендикулярны, – сказали Саша и Паша.

–
Верно! – отметил Мудряш.

–
На втором рисунке на перпендикулярных прямых  и
𝑏 изображены луч  и
отрезок .
Они тоже перпендикулярны, – продолжили ребята, и у них возник вопрос, – а что
на третьем рисунке?

–
На следующем рисунке у нас изображены перпендикулярные прямые 𝑎
и .
На прямой  лежит
отрезок ,
– начал объяснять Мудряш.

–
А значит, отрезок  перпендикулярен
прямой ,
– догадался Паша и продолжил, – тогда на последнем рисунке, так как прямые  и
 перпендикулярны,
луч  перпендикулярен
прямой .

–
Правильно, – сказал Мудряш и задал вопрос, – Саша, Паша, а какие геометрические
фигуры, элементы которых перпендикулярны, вы знаете?

–
Прямоугольник, – сразу же ответил Саша.

–
Да, любые его две соседние стороны перпендикулярны, – добавил Мудряш.

–
Прямоугольный треугольник, – привёл пример Паша, – так как один из его углов
равен девяноста градусам.

–
А ещё примером является прямоугольный параллелепипед, ведь он состоит из шести
прямоугольников, а мы выше сказали, что у прямоугольника любые две соседние
стороны перпендикулярны.

–
Ребята, а сейчас давайте выполним задание, чтобы закрепить навыки построения
перпендикулярных прямых, – сказал Мудряш.

Задание:
Начертите
угол ,
градусная мера которого равна .
Отметьте на луче  точку
 и
проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым  и
.

Решение: в
первую очередь мы с вами построим угол, равный .
Для этого отметим произвольную точку .
Затем начертим луч  с
началом в этой точке .
Теперь приложим к этому лучу транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой ,
а сам луч прошёл через начало отсчёта на шкале. Найдём на шкале транспортира
штрих, который соответствует ,
и проведём через него луч .
Таким образом, мы построили угол ,
который равен .

Отметим
на луче  точку
.
Проведём через неё сначала прямую, перпендикулярную прямой .
Для этого воспользуемся угольником. Совместим сторону его прямого угла с прямой
,
а вершину прямого угла – с точкой .
И проведём прямую  вдоль
второй стороны прямого угла нашего угольника.

Теперь
проведём через точку  прямую,
перпендикулярную прямой .

Приложим
угольник так, чтобы одна сторона его прямого угла совпала с нашей прямой ,
а вторая проходила через точку .
Теперь проведём прямую вдоль второй стороны прямого угла угольника и назовём её
.

Итак,
мы провели прямые  и
,
которые перпендикулярны соответственно прямым  и
.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Начальные геометрические сведения
5. Перпендикулярные прямые

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 57,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 85,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 172,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 266,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 444,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 645,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 712,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1076,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1100,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---