Как найти первоначальный импульс тела

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m1v1 = (m1 + m2)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m1v’1 – m2v’2
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2

Сохранение  проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁ + m₂)v

Отсюда скорость равна:

Алиса Никитина | Просмотров: 20.2k

Закон
со­хра­не­ния импульса

1.
Два
тела дви­жут­ся по вза­им­но
пер­пен­ди­ку­ляр­ным
пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым,
как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Мо­дуль
им­пуль­са пер­во­го тела равен
,
а вто­ро­го тела равен
.
Чему равен мо­дуль им­пуль­са
си­сте­мы этих тел после их аб­со­лют­но
не­упру­го­го удара?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

В
си­сте­ме не дей­ству­ет ни­ка­ких
внеш­них сил, сле­до­ва­тель­но
вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния
им­пуль­са. Век­тор пол­но­го
им­пуль­са си­сте­мы есть сумма
век­то­ров
и
.
Так как эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны,
то мо­дуль им­пуль­са си­сте­мы
равен по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

401

2

2.
Си­сте­ма
со­сто­ит из двух тел a
и b.
На ри­сун­ке стрел­ка­ми в
за­дан­ном мас­шта­бе ука­за­ны
им­пуль­сы этих тел.

Чему
по мо­ду­лю равен им­пульс всей
си­сте­мы?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя
мас­штаб ри­сун­ка, опре­де­лим
мо­ду­ли им­пуль­сов тел a
и b.
Из ри­сун­ка видно, что
и
.
Им­пульс всей си­сте­мы равен
.
Так как век­то­ра
и
пер­пен­ди­ку­ляр­ны,
то мо­дуль им­пуль­са всей си­сте­мы
равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

402

4

3.
Си­сте­ма
со­сто­ит из двух тел a
и b.
На ри­сун­ке стрел­ка­ми в
за­дан­ном мас­шта­бе ука­за­ны
им­пуль­сы этих тел.

Чему
по мо­ду­лю равен им­пульс всей
си­сте­мы?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Пер­вый
спо­соб:

Сло­жим
им­пуль­сы по пра­ви­лу
тре­уголь­ни­ка, сум­мар­ный
им­пульс обо­зна­чен на ри­сун­ке
крас­ной стрел­кой. Видно, что его
длина равна 4 клет­кам, сле­до­ва­тель­но,
им­пульс си­сте­мы по мо­ду­лю
равен
.

Вто­рой
спо­соб (более длин­ный и менее
удач­ный):

Ис­поль­зуя
мас­штаб ри­сун­ка, опре­де­лим
мо­ду­ли им­пуль­сов тел a
и b.
Из ри­сун­ка видно, что

.

Им­пульс
всей си­сте­мы равен
.
Так как век­то­ра
и
пер­пен­ди­ку­ляр­ны,
то мо­дуль им­пуль­са всей си­сте­мы
равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

403

2

4.
Си­сте­ма
со­сто­ит из двух тел 1 и 2, массы
ко­то­рых равны 0,5 кг и 2 кг. На
ри­сун­ке стрел­ка­ми в за­дан­ном
мас­шта­бе ука­за­ны ско­ро­сти
этих тел.

Чему
равен им­пульс всей си­сте­мы по
мо­ду­лю?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя
мас­штаб ри­сун­ка, опре­де­лим
ве­ли­чи­ны ско­ро­стей тел:
и
.
Вы­чис­лим мо­ду­ли им­пуль­сов
тел:

  
и
  .

Им­пульс
всей си­сте­мы равен
.
Так как век­то­ра
и
пер­пен­ди­ку­ляр­ны,
то мо­дуль им­пуль­са всей си­сте­мы
равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

404

1

5.
Кубик
мас­сой m
дви­жет­ся по глад­ко­му столу
со ско­ро­стью
и
на­ле­та­ет на по­ко­я­щий­ся
кубик такой же массы. После удара ку­би­ки
дви­жут­ся как еди­ное целое без
вра­ще­ний, при этом:

1)
ско­рость ку­би­ков равна

2)
им­пульс ку­би­ков равен

3)
им­пульс ку­би­ков равен

4)
ки­не­ти­че­ская энер­гия
ку­би­ков равна

Ре­ше­ние.

На
си­сте­му не дей­ству­ет ни­ка­ких
внеш­них сил, сле­до­ва­тель­но
вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния
им­пуль­са. До столк­но­ве­ния
один кубик сколь­зил со ско­ро­стью
,
а вто­рой — по­ко­ил­ся,
зна­чит пол­ный им­пульс си­сте­мы
по мо­ду­лю был равен

.

Таким
он оста­нет­ся и после столк­но­ве­ния.
Сле­до­ва­тель­но, утвер­жде­ние
2 верно. По­ка­жем, что утвер­жде­ния
1 и 4 ложны. Ис­поль­зуя закон
со­хра­не­ния им­пуль­са,
най­дем ско­рость
сов­мест­но­го
дви­же­ния ку­би­ков после
столк­но­ве­ния:
.
Сле­до­ва­тель­но ско­рость
ку­би­ков
,
а не
.
Далее, на­хо­дим их ки­не­ти­че­скую
энер­гию:

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

405

2

6.
Ма­ят­ник
мас­сой m
про­хо­дит точку рав­но­ве­сия
со ско­ро­стью
.
Через по­ло­ви­ну пе­ри­о­да
ко­ле­ба­ний он про­хо­дит
точку рав­но­ве­сия, дви­га­ясь
в про­ти­во­по­лож­ном
на­прав­ле­нии с такой же по
мо­ду­лю ско­ро­стью
.
Чему равен мо­дуль из­ме­не­ния
им­пуль­са ма­ят­ни­ка за это
время?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Через
по­ло­ви­ну пе­ри­о­да
про­ек­ция ско­ро­сти ма­ят­ни­ка
ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ную
и ста­но­вит­ся рав­ной
.
Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль
из­ме­не­ния им­пуль­са
ма­ят­ни­ка за это время равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

406

3

7.
Ма­ят­ник
мас­сой m
про­хо­дит точку рав­но­ве­сия
со ско­ро­стью
.
Через чет­верть пе­ри­о­да
ко­ле­ба­ний он до­сти­га­ет
точки мак­си­маль­но­го уда­ле­ния
от точки рав­но­ве­сия. Чему равен
мо­дуль из­ме­не­ния им­пуль­са
ма­ят­ни­ка за это время?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Через
чет­верть пе­ри­о­да, когда
ма­ят­ник до­сти­га­ет точки
мак­си­маль­но­го уда­ле­ния,
его ско­рость об­ра­ща­ет­ся
в ноль. Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль
из­ме­не­ния им­пуль­са
ма­ят­ни­ка за это время равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

407

2

8.
Груз
мас­сой m
на пру­жи­не, со­вер­шая сво­бод­ные
ко­ле­ба­ния, про­хо­дит
по­ло­же­ние рав­но­ве­сия
со ско­ро­стью
.
Через по­ло­ви­ну пе­ри­о­да
ко­ле­ба­ний он про­хо­дит
по­ло­же­ние рав­но­ве­сия,
дви­га­ясь в про­ти­во­по­лож­ном
на­прав­ле­нии с такой же по
мо­ду­лю ско­ро­стью
.
Чему равен мо­дуль из­ме­не­ния
ки­не­ти­че­ской энер­гии
груза за это время?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку
ки­не­ти­че­ская энер­гия тела
за­ви­сит толь­ко от ве­ли­чи­ны
его ско­ро­сти, но не от ее
на­прав­ле­ния, а, по усло­вию,
через по­ло­ви­ну пе­ри­о­да
мо­дуль ско­ро­сти не из­ме­ня­ет­ся,
за­клю­ча­ем, что мо­дуль
из­ме­не­ния ки­не­ти­че­ской
энер­гии за это время равен нулю.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

408

4

9.
Груз
мас­сой m
на пру­жи­не, со­вер­шая сво­бод­ные
ко­ле­ба­ния, про­хо­дит
по­ло­же­ние рав­но­ве­сия
со ско­ро­стью
.
Через чет­верть пе­ри­о­да
ко­ле­ба­ний он до­сти­га­ет
по­ло­же­ния мак­си­маль­но­го
уда­ле­ния от по­ло­же­ния
рав­но­ве­сия. Чему равен мо­дуль
из­ме­не­ния ки­не­ти­че­ской
энер­гии груза за это время?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Через
чет­верть пе­ри­о­да, когда
ма­ят­ник до­сти­га­ет
по­ло­же­ния мак­си­маль­но­го
от­кло­не­ния, его ско­рость
об­ра­ща­ет­ся в ноль. Таким
об­ра­зом, мо­дуль из­ме­не­ния
ки­не­ти­че­ской энер­гии за
это время равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

409

3

10.
Если
при уве­ли­че­нии мо­ду­ля
ско­ро­сти ма­те­ри­аль­ной
точки ве­ли­чи­на ее им­пуль­са
уве­ли­чи­лась в 4 раза, то при этом
ки­не­ти­че­ская энер­гия

1)
уве­ли­чи­лась в 2 раза

2)
уве­ли­чи­лась в 4 раза

3)
уве­ли­чи­лась в 16 раз

4)
умень­ши­лась в 4 раза

Ре­ше­ние.

Им­пульс
ма­те­ри­аль­ной точки
про­пор­ци­о­на­лен ско­ро­сти,
а ки­не­ти­че­ская энер­гия —
квад­ра­ту ско­ро­сти:

.

Таким
об­ра­зом, уве­ли­че­ние
им­пуль­са ма­те­ри­аль­ной
точки в 4 раза со­от­вет­ству­ет
уве­ли­че­нию энер­гии в 16 раз.

Пра­виль­ный
ответ: 3.

Ответ:
3

414

3

11..
Танк дви­жет­ся со ско­ро­стью
,
а гру­зо­вик со ско­ро­стью
.
Масса танка
.
От­но­ше­ние ве­ли­чи­ны
им­пуль­са танка к ве­ли­чи­не
им­пуль­са гру­зо­ви­ка равно
2,25. Масса гру­зо­ви­ка равна

1)
1 500 кг

2)
3 000 кг

3)
4 000 кг

4)
8 000 кг

Ре­ше­ние.

Им­пульс
танка равен
.
Им­пульс гру­зо­ви­ка равен
где
M —
ис­ко­мая масса. По усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, для массы гру­зо­ви­ка
имеем

.

Пра­виль­ный
ответ: 3

Ответ:
3

416

3

12.
Поезд
дви­жет­ся со ско­ро­стью
,
а теп­ло­ход со ско­ро­стью
.
Масса по­ез­да
.
От­но­ше­ние мо­ду­ля им­пуль­са
по­ез­да к мо­ду­лю им­пуль­са
теп­ло­хо­да равно 5. Масса
теп­ло­хо­да равна

1)
20 тонн

2)
50 тонн

3)
100 тонн

4)
200 тонн

Ре­ше­ние.

Им­пульс
по­ез­да равен
.
Им­пульс теп­ло­хо­да равен
где
M —
ис­ко­мая масса. По усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, для массы гру­зо­ви­ка
имеем

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

417

2

13.
Са­мо­лет
летит со ско­ро­стью
,
а вер­то­лет со ско­ро­стью
.
Масса са­мо­ле­та
.
От­но­ше­ние им­пуль­са
са­мо­ле­та к им­пуль­су
вер­то­ле­та равно 1,5. Масса
вер­то­ле­та равна

1)
1 500 кг

2)
3 000 кг

3)
4 000 кг

4)
8 000 кг

Ре­ше­ние.

Им­пульс
са­мо­ле­та равен
.
Им­пульс вер­то­ле­та равен
где
M —
ис­ко­мая масса. По усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, для массы вер­то­ле­та
имеем

.

Пра­виль­ный
ответ: 3. Нcdot м

Ответ:
3

418

3

14.
Ав­то­мо­биль
дви­жет­ся со ско­ро­стью
,
а мо­то­цикл со ско­ро­стью
.
Масса мо­то­цик­ла
.
От­но­ше­ние им­пуль­са
ав­то­мо­би­ля к им­пуль­су
мо­то­цик­ла равно 1,5. Масса
ав­то­мо­би­ля равна

1)
1 500 кг

2)
3 000 кг

3)
4 000 кг

4)
8 000 кг

Ре­ше­ние.

Им­пульс
ав­то­мо­би­ля равен
,
где M —
ис­ко­мая масса. Им­пульс мо­то­цик­ла
равен
.
По усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, для массы ав­то­мо­би­ля
имеем

.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

419

1

15.
Масса
гру­зо­ви­ка
,
масса лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
.
Гру­зо­вик дви­жет­ся со
ско­ро­стью
.
От­но­ше­ние ве­ли­чи­ны
им­пуль­са гру­зо­ви­ка к
ве­ли­чи­не им­пуль­са
ав­то­мо­би­ля равно 2,5. Ско­рость
лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
равна

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Им­пульс
гру­зо­ви­ка равен
.
Им­пульс лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
равен
,
где u —
ис­ко­мая ско­рость. По усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, для ско­ро­сти
лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
имеем

.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

420

4

16.
Две
те­леж­ки дви­жут­ся нав­стре­чу
друг другу с оди­на­ко­вы­ми по
мо­ду­лю ско­ро­стя­ми
.
Массы те­ле­жек m
и 2m.
Какой будет ско­рость дви­же­ния
те­ле­жек после их аб­со­лют­но
не­упру­го­го столк­но­ве­ния?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Для
те­ле­жек вы­пол­ня­ет­ся
закон со­хра­не­ния им­пуль­са,
по­сколь­ку на си­сте­му не
дей­ству­ет ни­ка­ких внеш­них
сил в го­ри­зон­таль­но
на­прав­ле­нии:

.

От­сю­да
на­хо­дим ско­рость те­ле­жек
после аб­со­лют­но не­упру­го­го
удара:

.

Пра­виль­ный
ответ: 4.

Ответ:
4

421

4

17.
Охот­ник
мас­сой 60 кг, сто­я­щий на
глад­ком льду, стре­ля­ет из ружья
в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии.
Масса за­ря­да 0,03 кг. Ско­рость
дро­би­нок при вы­стре­ле
.
Ка­ко­ва ско­рость охот­ни­ка
после вы­стре­ла?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Для
охот­ни­ка с ру­жьем вы­пол­ня­ет­ся
закон со­хра­не­ния им­пуль­са,
по­сколь­ку на эту си­сте­му не
дей­ству­ет ни­ка­ких внеш­них
сил в го­ри­зон­таль­ном
на­прав­ле­нии:

.

От­сю­да
на­хо­дим ско­рость охот­ни­ка
после вы­стре­ла:

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

422

2

18.
Тело
дви­жет­ся по пря­мой в одном
на­прав­ле­нии. Под дей­стви­ем
по­сто­ян­ной силы за 3 с им­пульс
тела из­ме­нил­ся на
.
Каков мо­дуль силы?

1)
0,5 Н

2)
2 Н

3)
9 Н

4)
18 Н

Ре­ше­ние.

Сила,
из­ме­не­ние им­пуль­са под
дей­стви­ем этой силы и ин­тер­вал
вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го
про­изо­шло из­ме­не­ние,
свя­за­ны со­глас­но вто­ро­му
за­ко­ну Нью­то­на, со­от­но­ше­ни­ем

.

От­сю­да
на­хо­дим мо­дуль силы

.

Пра­виль­ный
ответ: 2.

Ответ:
2

423

2

19..
От­но­ше­ние массы гру­зо­ви­ка
к массе лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
.
Ка­ко­во от­но­ше­ние их
ско­ро­стей
,
если от­но­ше­ние им­пуль­са
гру­зо­ви­ка к им­пуль­су
лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля
равно 3?

1)
1

2)
2

3)
3

4)
5

Ре­ше­ние.

Им­пульс
гру­зо­ви­ка равен
.
Им­пульс лег­ко­во­го
ав­то­мо­би­ля —
По
усло­вию,
.
Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние
ско­ро­стей равно

.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

424

1

20.
Тело
дви­жет­ся по пря­мой. Под дей­стви­ем
по­сто­ян­ной силы ве­ли­чи­ной
2 Н за 3 с мо­дуль им­пуль­са
тела уве­ли­чил­ся и стал равен
.
Пер­во­на­чаль­ный им­пульс
тела равен

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Сила,
из­ме­не­ние им­пуль­са под
дей­стви­ем этой силы и ин­тер­вал
вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го
про­изо­шло из­ме­не­ние,
свя­за­ны со­глас­но вто­ро­му
за­ко­ну Нью­то­на, со­от­но­ше­ни­ем
Сле­до­ва­тель­но,

.

Таким
об­ра­зом, пер­во­на­чаль­ный
им­пульс был равен

.

Пра­виль­ный
ответ: 1.

Ответ:
1

425

1

21.
Два
шара мас­са­ми m
и 2m
дви­жут­ся по одной пря­мой со
ско­ро­стя­ми, рав­ны­ми
со­от­вет­ствен­но
и
.
Пер­вый шар дви­жет­ся за вто­рым
и, до­гнав, при­ли­па­ет к нему.
Чему равен сум­мар­ный им­пульс
шаров после удара?

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Для
шаров вы­пол­ня­ет­ся закон
со­хра­не­ния им­пуль­са,
по­сколь­ку на си­сте­му не
дей­ству­ет ни­ка­ких внеш­них
сил в го­ри­зон­таль­но
на­прав­ле­нии:

.

Импульс тела, закон сохранения импульса

теория по физике 🧲 законы сохранения

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости ( p ↑↓ v ), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p _1отн2— импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v _1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v ₁и v ₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

Изменение импульса тела

∆ p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p ₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Конечный импульс тела:

Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса:

Абсолютно упругий удар

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Пуля пробила стенку

Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов:

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Угол падения равен углу отражения:

Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

F ∆t — импульс силы, ∆ p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

• положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
• отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m1v1 = (m1 + m2)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m1v’1 – m2v’2
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2

Сохранение проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

Отсюда скорость равна:

Импульс частицы до столкновения равен − p ₁, а после столкновения равен − p ₂, причём p₁ = p, p₂ = 2p, − p ₁⊥ − p ₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ − p равняется по модулю:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как угол α = 90 о , вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δ p = √ p 2 1 + p 2 2

Подставим известные данные:

Δ p = √ p 2 + ( 2 p ) 2 = √ 5 p 2 = p √ 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Закон cохранения импульса

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Импульс: что это такое

Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.

Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс. Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.

Импульс тела

p — импульс тела [кг · м/с]

m — масса тела [кг]

Закон сохранения импульса

В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:

Закон сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел в замкнутой системе постоянна

А выглядит — вот так:

Закон сохранения импульса

p_n — импульс тела [кг · м/с]

Простая задачка

Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.

— это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,

— это импульс мальчика после прыжка,

— это импульс лодки после прыжка.

Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.

Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид

Подставим формулу импульса.
, где:
— масса мальчика [кг]
— скорость мальчика после прыжка [м/с]
— масса лодки [кг]
— скорость лодки после прыжка [м/с]

Выразим скорость лодки :

Подставим значения:
м/с

Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с

Задачка посложнее

Тело массы m₁ = 800 г движется со скоростью v₁ = 3 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m₂ = 200 г со скоростью v₂ = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.

Спроецируем импульсы на ось х:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переводим массу в килограммы и подставляем значения:

В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на получившееся значение.

Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:

Применим выражение для ускорения

В этих уравнениях слева находится величина a. Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:

В правой части находится — это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

Раскрыв скобки, получим

Заменим произведение массы и скорости на импульс:

То есть, вектор – это вектор изменения импульса .

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.

Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме

Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?

Решение:

Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).

Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.

Реактивное движение

В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется реактивным.

Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.

Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:

Сила называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.

v_г — скорость горючего,

v_р — скорость ракеты.

Отсюда можно выразить скорость ракеты:

Скорость ракеты при реактивном движении

v_г — скорость горючего [м/с]

m_р — масса ракеты [кг]

v_р — скорость ракеты [м/с]

Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Как найти импульс тела если дано уравнение и масса

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения ). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду () .

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы .

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси ). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью под действием силы тяжести; время падения равно . Направим ось вертикально вниз. Импульс силы тяжести за время равен . Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени . Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Рисунок 1.16.1. Выберем на оси времени малый интервал , в течение которого сила остается практически неизменной. Импульс силы за время будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от до разбить на малые интервалы , а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах , то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе () эта площадь равна площади, ограниченной графиком и осью . Этот метод определения импульса силы по графику является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции на интервале . Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от до равен: В этом простом примере В некоторых случаях среднюю силу можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой может сообщить ему скорость . Время удара приблизительно равно . Импульс , приобретенный мячом в результате удара есть: Следовательно, средняя сила , с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть: Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой . Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов , на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой налетел на стенку со скоростью под углом к нормали (ось ) и отскочил от нее со скоростью под углом . Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Эта статья посвящена задачам на одну из самых важных тем школьного курса физики — закон сохранения импульса. Такие задачи можно часто встретить в экзаменационных билетах. В статье использованы задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах по физике в Московском физико-техническом институте, на физических факультетах Московского государственного университета, Новосибирского государственного университета и в ряде других вузов.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называется произведение ее массы на скорость. Так как скорость — это вектор, а масса — величина скалярная, то импульс — тоже векторная величина. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Если у нас имеется несколько материальных точек или частиц, то можно говорить об импульсе системы материальных точек. Он равен векторной сумме импульсов отдельных точек. Так, например, если у нас имеется две материальные точки, одна из которых имеет массу m₁ и скорость , а вторая — массу m₂ и скорость , то импульс  системы этих материальных точек равен сумме  (рис. 1). Важно не забывать, что импульсы частиц складываются векторно, то есть геометрически (по правилу треугольника или по правилу параллелограмма). В том случае, когда скорости частиц направлены вдоль одной прямой, импульсы можно складывать алгебраически. При этом импульсы частиц, движущихся в противоположные стороны, следует брать с противоположными знаками.

Рис. 1.

Для того чтобы найти импульс тела, различные точки которого имеют разные скорости, его разбивают мысленно на маленькие части (в пределе бесконечно маленькие) и затем складывают импульсы этих частей. Найдем таким способом импульс однородного диска, вращающегося вокруг своей оси. Ясно, что всегда можно найти два таких элемента диска с массами Δm, линейные скорости которых равны по абсолютной величине и противоположно направлены (рис. 2). Сумма импульсов этих элементов, очевидно, равна нулю. А так как диск можно всегда разбить на пары таких элементов, то отсюда следует, что импульс всего диска равен нулю.

Рис. 2.

Иное дело, если диск катится по горизонтальной поверхности (рис. 3). Пусть скорость центра диска равна . Скорость любого малого элемента Δm диска можно представить как сумму линейной скорости  ее вращения вокруг центра диска (в системе координат, связанной с центром диска) и скорости  ее поступательного движения: . Импульс диска равен сумме импульсов отдельных его элементов, то есть

Рис. 3.

Но первый член в этой сумме, очевидно, равен импульсу диска в системе координат, связанной с его центром. В этой системе координат центр диска неподвижен и импульс диска равен нулю. Поэтому импульс диска, катящегося по горизонтальной плоскости, равен . Вынося постоянный множитель  за знак суммы, найдем

где М — масса диска.

Импульс тела зависит от системы координат. Пусть в системе координат В тело массы m движется со скоростью . Его импульс . Система координат В движется со скоростью  относительно системы координат А. Чтобы найти импульс тела в системе координат A, надо к  прибавить  — произведение массы тела на скорость системы координат В относительно системы координат А. Это правило — следствие того, что скорость любой точки в системе координат В складывается из скорости этой точки в системе координат А и скорости системы координат В относительно системы координат А (рис. 4): . Отсюда

Рис. 4.

Пользуясь понятием «импульс», второй закон Ньютона можно записать так:

Если на тело действует сила  в течение времени Δt то импульс тела изменяется на величину . Произведение силы  на время ее действия Δt называют импульсом силы. И говорят, что изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

Воспользовавшись такой формой записи второго закона Ньютона, найдем, например, среднюю силу, действующую на плиту, с которой абсолютно упруго сталкивается шарик массы m, летящий со скоростью  под углом α к плите (рис. 5). Время соударения шарика с плитой равно τ.

Рис. 5.

Так как столкновение абсолютно упруго, то шарик отскакивает от плиты под таким же углом α, под каким подлетает к ней, и с той же по величине скоростью . Нетрудно найти изменение импульса  шарика при ударе. Оно равно

и направлено перпендикулярно плите. Эго означает, что при столкновении шарика с плитой на шарик действует средняя сила

Согласно третьему закону Ньютона точно такая же сила, но направленная противоположно, действует на плиту.

Если одна и та же сила действует на два тела одно и то же время, то импульсы этих тел меняются одинаково, независимо от их начальных масс или скоростей. Пусть, например, две частицы с массами m и 2m движутся так, как показано на рисунке 6, а — первая, частица (m) движется со скоростью  в направлении, перпендикулярном направлению движения второй частицы (2m), скорость которой равна 2.

          

                                    а                                                  б

Рис. 6.

На частицы в некоторый момент времени начинают действовать одинаковые силы, причем эти силы действуют на частицы одинаковое время. После прекращения действия сил частица массы m движется со скоростью 2 в направлении, противоположном направлению ее первоначального движения. С какой скоростью и в каком направлении движется вторая частица после прекращения действия силы?

Найдем импульс силы, действующей на каждую частицу. Нужно не забывать, что импульс и изменение импульса — величины векторные. Импульс первой частицы изменился по направлению и по величине и стал равным 2. Изменение импульса первой частицы равно 3 (рис. 6, б). Так как и на вторую частицу действует такая же сила в течение того же самого времени, то и импульс второй частицы меняется на 3. Сложив первоначальный импульс второй частицы с изменением импульса, найдем, что импульс частицы массы 2m стал равен 5 и направлен под углом  к направлению первоначального движения этой частицы (см. рис. 6, б). Разделив импульс частицы на ее массу, найдем, что скорость частицы массы 2m после прекращения действия силы равна 2,5.

Теперь решим более сложную задачу.

Космический корабль, имеющий лобовое сечение S = 50 м² и скорость υ = 10 км/сек, попадает в облако микро-метеоров, плотность которого n = 1 м^-3 (то есть в одном кубическом метре пространства находится один микрометеор). Масса каждого микрометеора m = 0,02 г. Насколько должна возрасти сила тяги двигателя, чтобы скорость корабля не изменилась? Удар микрометеоров об обшивку корабля считать абсолютно неупругим.

За время Δt корабль сталкивается с микрометеорами, которые в начальный момент находились от него на расстоянии, меньшем (рис. 7).

Рис. 7.

Масса М всех этих микрометеоров равна . До столкновения с кораблем скорости и импульсы микрометеоров были равны нулю, а после неупругого столкновения с кораблем скорости микрометеоров стали равны υ. Это означает, что при столкновении микрометеора с обшивкой корабля микрометеор приобретает импульс m·υ. Микрометеоры, попавшие на обшивку корабля за время Δt, приобретают суммарный импульс

Это означает, что на микрометеоры действует сила

Согласно третьему закону Ньютона такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону, действует на обшивку корабля. Поэтому для того, чтобы при попадании корабля в облако метеоров его скорость не изменилась, сила тяги двигателя корабля должна увеличиться на  = 10⁵ H.

Если на тело не действуют силы или действующие силы взаимно уравновешиваются, то импульс тела не меняется. Точно так же, если на систему тел не действуют внешние силы (такая система тел называется замкнутой или изолированной), то суммарный импульс системы тел не меняется.

Решим такую задачу. Нейтрон с энергией E = 10^–15 Дж поглощается первоначально неподвижным, ядром кадмия (А = 112). Определить скорость вновь образовавшегося ядра (А = 113).

Система нейтрон — ядро изолированная, и ее импульс не меняется.

Если массу нейтрона обозначить m, а его скорость υ, то . Отсюда мы найдем, что скорость нейтрона до его столкновения с ядром кадмия была равна . До столкновения импульс нейтрона был равен , а импульс ядра был равен нулю. Поэтому до столкновения импульс системы был равен . Если скорость ядра, образовавшегося в результате поглощения нейтрона ядром кадмия, обозначить u, а его массу М, то импульс этого ядра равен М·и. Запишем теперь закон сохранения импульса:

Отсюда найдем, что

Напомним еще раз, что импульс — величина векторная. Поэтому, когда мы говорим о сохранении импульса изолированной системы, важно помнить, что сохраняется не только величина импульса, но и его направление. Сохраняются и составляющие импульса по любым направлениям, например по двум осям координат.

Решим, используя это, следующую задачу.

Ядро массы m, летящее со скоростью , распадается на две части одинаковой массы, причем один из осколков деления летит со скоростью  под углом α к направлению полета ядра до его распада. Найти скорость и направление полета второго осколка ядра.

Введем такую систему координат: ось х направим по скорости ядра до распада (рис. 8). Если скорость второго осколка ядра обозначить , а угол, который образует вектор  с направлением скорости ядра до распада (с осью х), обозначить β, то на основании закона сохранения импульса мы можем записать:

— для составляющих импульсов по оси x,

— для составляющих импульсов по оси у.

Рис. 8.

Из этих уравнений находим

Если система не изолирована и на нее действует некоторая сила , то полный импульс системы не сохраняется. Однако сохраняется составляющая импульса в направлении, перпендикулярном силе . На этом основано решение большого числа задач.

Решим, например, такую задачу.

На железнодорожной платформе, движущейся со скоростью υ, укреплено орудие. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы и приподнят над горизонтом. Орудие произвело выстрел, после чего скорость платформы уменьшилась в n раз. Найти скорость u снаряда (относительно земли), если он вылетает из ствола под углом α к горизонту. Масса снаряда m, масса платформы с орудием (без снаряда) М.

Система орудие — платформа — снаряд не является изолированной: на нее действует сила тяжести и сила реакции Земли. Однако в горизонтальном направлении на платформу с пушкой и снаряд внешние силы не действуют. Это означает, что горизонтальная составляющая импульса системы не должна при выстреле измениться. Поэтому

Отсюда

Если система частиц или тел изолирована и ее импульс не меняется, то не меняется и скорость центра масс системы (центра тяжести). В частности, если в некоторый момент система двигалась так, что скорость центра масс была равна нулю, то эта скорость остается равной нулю все время. Поэтому не меняется и положение центра масс.

Рассмотрим пример.

Человек массы m находится на корме лодки массы М, стоящей в пруду. Длина лодки L. На сколько сдвинется лодка относительно берега, если человек перейдет с кормы лодки на нос?

Рис. 9.

Так как в горизонтальном направлении на систему лодка — человек силы не действуют, положение ее центра масс должно сохраниться. Но положение центра масс системы определяется положением центров масс лодки и человека (рис. 9). Пусть первоначально расстояние между центром масс системы (О_с) и центром масс лодки (О_л) равно х.

Тогда , откуда . Когда человек перейдет с кормы лодки на ее середину, то, очевидно, положение его центра масс должно совпадать с положением центра масс системы. Следовательно, и положение центра масс лодки должно также совпадать с положением центра масс системы, то есть лодка должна переместиться на расстояние х. На такое же расстояние переместится лодка при переходе человека на нос. Следовательно, полное перемещение лодки

Упражнения

1. Найти среднюю силу, действующую на плиту при абсолютно неупругом столкновении с ней шарика массы m, летящего со скоростью υ в направлении, составляющем с плитой угол α. Время соударения равно τ.

2. С какой силой давит на плечо ручной пулемет при стрельбе, если масса пули m = 10 г, ее скорость при вылете υ = 800 м/сек и скорострельность пулемета n = 600 выстрелов в минуту?

3. Два шарика падают в облаке пыли. Во сколько раз отличаются скорости шариков, если диаметр одного из них вдвое больше диаметра другого?

4. Шарик, летящий горизонтально со скоростью υ, ударяется о тяжелую стальную плиту, движущуюся ему навстречу со скоростью u. С какой скоростью будет двигаться шарик после абсолютно упругого соударения? Силой тяжести пренебречь.

5. Пуля массы m, летящая горизонтально со скоростью υ, попадает в кубик, лежащий на гладком полу, и пробивает его насквозь. Масса кубика М. Скорость пули после вылета равна u. Какая часть первоначальной энергии пули перешла в тепло?

6. При взрыве снаряда массы М = 60 кг образовались три одинаковых осколка. Их общая кинетическая энергия равна E = 2,9 10⁷ Дж. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков, если до разрыва снаряд летел со скоростью υ = 800 м/сек?

7. Шарик массы m, летящий со скоростью υ, сталкивается под углом α с кубиком массы М, стоящим на гладком полу (рис. 10). Найти скорость шарика после удара. Удар считать абсолютно упругим.

Рис. 10.

8. Шарик массы m, летящий со скоростью υ, составляющей угол α с горизонтом, попадает в покоящуюся платформу с песком массы М (рис. 11) и застревает в песке. Найти скорость платформы.

Рис. 11.

Ответы

1. Изменение импульса шарика равно . Поэтому

2. = 80 Н.

3. Сила сопротивления, действующая на шарик, пропорциональна площади сечения шарика и квадрату его скорости

Эта сила растет с увеличением скорости и при некоторой скорости становится равной силе тяжести m·g. После этого скорость шарика не меняется. Так как  (ρ —плотность шарика), то .

Отсюда . Таким образом, . Это означает, что отношение скоростей шариков равно .

То есть скорость шарика с вдвое большим диаметром в  раз больше скорости второго шарика.

4. υ + 2u. Указание. Перейти в систему координат, связанную с плитой. Система шарик — плита не изолированная, так как скорость плиты не меняется.

5. Скорость кубика равна . В тепло перешла энергия . Разделив это выражение на , найдем, что в тепло перейдет  часть энергии пули.

6. υ_max ≈ 1500 м/с. Указание. Скорость одного из осколков максимальна, если он будет лететь в направлении полета снаряда, а два других осколка — в противоположную сторону.

7. В вертикальном направлении составляющие скорости шарика  не меняются. В горизонтальном направлении система изолирована. Записав законы сохранения энергии импульса, нетрудно найти, что горизонтальная составляющая скорости шарика будет равна . Скорость шарика после столкновения равна

8.

Импульсом тела называется произведение его массы на скорость. Также импульс называют количеством движения. Импульс является векторной величиной. Направление его совпадает с направлением скорости.

Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует:

Здесь — изменение импульса за время . Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Сила здесь может быть и равнодействующей всех сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса – следствие второго и третьего законов Ньютона. Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.

В замкнутой системе суммарный импульс системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел в системе между собой.

Система тел может быть не замкнута вдоль одной из осей, а вдоль другой – замкнута. Тогда закон сохранения импульса будет работать в такой системе вдоль этой оси. Например, если рассматривать столкновение лодок на озере и не принимать в расчет трение, то такая система может считаться замкнутой вдоль горизонтальной оси, и вдоль этой оси работает закон сохранения импульса. Вдоль вертикальной оси действует сила тяжести, и система не замкнута.

Также при решении задач, связанных с импульсом, очень важны такие понятия, как абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе  тело отскакивает от другого тела, сохраняя модуль импульса, и «угол падения равен углу отражения». При абсолютно неупругом ударе тела слипаются, образуя новое тело, масса которого равна сумме их масс. То, что  удар был неупругим  можно понять, например, если тело отскочило под углом, не равным углу падения, если о неупругом ударе специально не сказано в задаче.

Рассмотрим сначала простые задачи, где движение тел происходит вдоль одной прямой.

Задача 1.

Тело массой кг движется равномерно по окружности, со скоростью м/с. Определить изменение импульса тела после того, как оно пройдет четверть окружности, половину окружности.

---

После того, как тело пройдет четверть окружности, вектор его скорости повернется на 90 градусов, как показано на рисунке  — . Изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу параллелограмма. Зеленым показан вектор изменения скорости . По теореме Пифагора можно найти его длину – он будет равен м/с, тогда изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Когда тело пройдет половину окружности, вектор его скорости развернется в противоположную сторону — . Точно так же изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу многоугольника. Зеленым показан вектор изменения скорости . Видно, что м/с.

Изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Ответ: кг*м/с, кг*м/с.

Задача 2.

Снаряд массой кг  вылетает из ствола орудия со скоростью м/с. Зная, что время движения снаряда внутри ствола равно с, определить среднюю силу давления пороховых газов.

---

На вылете из ствола пушки снаряд обладает импульсом, равным кг*м/с. Так как на систему не действуют никакие внешние силы, то импульс системы сохраняется, а до выстрела он был нулевым. После выстрела суммарный импульс системы также нулевой, а это значит, что импульс снаряда равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса пороховых газов в стволе. Таким образом, газы будут давить с силой кН

Ответ: 1000 кН

Задача 3.

На тело в течение времени с действовала сила Н. Найти массу тела, если изменение скорости тела в результате действия силы равно м/с.

---

Изменение импульса равно произведению изменения скорости на массу тела. Импульс силы равен , масса тела тогда   кг.

Ответ: 100 кг

Задача 4.

Скорость реактивного самолета равна км/ч. На пути самолета оказалась птица массой кг.  Определить среднюю силу удара птицы о стекло кабины летчика, если длительность удара с. Каково среднее давление на стекло при ударе, если площадь соприкосновения птицы со стеклом см?

---

Среднюю силу удара можно определить так:

Скорость самолета выразим в единицах СИ – метрах в секунду. км/ч м/с

Или 500 кН. Можно теперь определить среднее давление на стекло при ударе, только прежде представить площадь в м:

см м

Паскалей или 50 атмосфер.

Ответ: Па или 50 атмосфер.

Задача 5.

Падающий вертикально шарик массой кг ударился о пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара с, к моменту удара о пол скорость шарика м/с.

---

Шарик двигается равноускоренно, поэтому, когда он соприкоснется с полом, его вес будет больше силы тяжести. А его вес – это, собственно, и есть сила его давления на пол.

При равноускоренном движении вес можно вычислить:

Определим ускорение шарика. Здесь — мера изменения скорости шарика,

Так как шарик взлетел на высоту 0,4 метра, то определим его скорость при отрыве от пола по формуле:

Скорость шарика в наивысшей точке равна 0, поэтому:

Тогда изменение скорости

Ответ: 158 Н

Задача 6.

Шарик летит навстречу стенке со скоростью . Стенка движется навстречу шарику со скоростью . Какой станет скорость шарика после упругого удара о стенку?

---

Сначала рассмотрим полет шарика относительно стенки. Тогда (если мы представим себе, что смотрим от стенки, и вместе с ней двигаемся со скоростью , не замечая этого) нам будет казаться, что шарик летит на нас со скоростью . Тогда после отскока шарик изменит свою скорость на такую же по модулю, но противоположную по направлению: — это мы его от стенки наблюдаем. А вот теперь мы покинули движущуюся стенку и смотрим с  неподвижной земли – и тогда шарик летит уже со скоростью — минус показывает противоположное, относительно первоначального, направление полета.

Задача 7.

Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/c, вскакивает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?

---

Импульс системы тел будет сохраняться вдоль горизонтальной оси. Поэтому суммарный импульс тележки (0) и мальчика () будет равен суммарному импульсу тележки с мальчиком на ней после прыжка:

Ответ: 1, 62 м/с

Задача 8.

Два неупругих шара с массами 4 и 6 кг движутся со скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если первый догоняет второй? Если они двигаются навстречу?

---

Запишем закон сохранения в первом случае:

Все слагаемые с плюсами, так как тела движутся в одну сторону.

Теперь тела двигаются навстречу друг другу:

Ответ: 5 м/с, 1,4 м/с

Задача 9.

Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с.  Шар после попадания в песок застревает в нем.  В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

---

Записываем уравнение сохранения импульса системы тел вдоль горизонтальной оси: примем — масса камня, — скорость камня, — масса тележки, — скорость тележки.

За положительное направление примем направление полета камня, тогда скорость тележки будет со знаком «минус»

Получили скорость тележки с камнем со знаком «плюс» — это значит, что она после «поимки» камня поедет в противоположную сторону.

Ответ: 2 м/c

Задача 10.

Средневековая пушка массой 200 кг установлена у края плоской крыши  высокой башни. Пушка выпускает ядро массой 5 кг горизонтально, оно приземляется на расстоянии 300 м от стены башни. Пушка, двигаясь без трения, откатывается назад и падает на землю.  На каком расстоянии от основания башни она упадет?

---

Предположим, что высота стены башни . Ядро пушка выпустила горизонтально, и его полет подобен телу, брошенному горизонтально: по горизонтали ядро перемещается с постоянной скоростью, а по вертикали падает, то есть движется равноускоренно.

Тогда ядро будет падать с этой высоты в течение времени, которое можно установить из формулы:

Все это время ядро летит горизонтально с постоянной скоростью, и пролетает 300 метров. Тогда его скорость по горизонтали равна:

Импульс ядра равен импульсу пушки, поэтому пушка откатится назад со скоростью:

Здесь — масса ядра, — его скорость, — масса пушки, — ее скорость.

Найдем горизонтальную скорость пушки:

Пушка падает ровно столько же времени, как и ядро, так как все тела на Земле падают вниз с одним и тем же ускорением, поэтому пушка пролетит за время расстояние от стены до места падения, равное: м

Ответ: 7,5 м