Как найти первообразную функции в общем виде

Первообразная функции и общий вид

20 июля 2015

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Допустим, нам необходимо посчитать следующую производную:

[fleft( x right)={{x}^{3}}]

Мы знаем такую формулу:

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

Считается эта производная элементарно:

[{f}’left( x right)={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{x}^{2}}]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

[{{x}^{2}}=frac{{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}}{3}]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

[{{x}^{2}}={{left( frac{{{x}^{3}}}{3} right)}^{prime }}]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

[{{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}]

Аналогично запишем и такое выражение:

[{{x}^{4}}to frac{{{x}^{5}}}{5}]

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

[{{x}^{n}}to frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

  1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
  2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
  3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

Давайте попробуем посчитать такое выражение:

[{{x}^{-1}}to frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=frac{1}{0}]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

[{{x}^{-1}}=frac{1}{x}]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

[{{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x}]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

[frac{1}{x}={{x}^{-1}}to ln x]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

  • Для степенной функции — ${{x}^{n}}to frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
  • Для константы — $=constto cdot x$
  • Частный случай степенной функции — $frac{1}{x}to ln x$

Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:

[fleft( x right)to Fleft( x right)]

[gleft( x right)to Gleft( x right)]

[f+gto F+G]

[f-g=F-G]

[ccdot fto ccdot Fleft( c=const right)]

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

[fleft( x right)={{x}^{2}}+5{{x}^{4}}]

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

[{{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}]

[5{{x}^{4}}to 5cdot frac{{{x}^{5}}}{5}={{x}^{5}}]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{5}}]

Задача № 2

[fleft( x right)=frac{x+1}{x}]

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

[fleft( x right)=frac{x}{x}+frac{1}{x}=1+frac{1}{x}]

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

[Fleft( x right)=1cdot x+ln x]

[Fleft( x right)=x+ln x]

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

[sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}}]

[sqrt[n]{x}={{x}^{frac{1}{n}}}]

[frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

  • умножать (степени складываются);
  • делить (степени вычитаются);
  • умножать на константу;
  • и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

[fleft( x right)=7sqrt{x}+sqrt[4]{x}]

Посчитаем каждый корень отдельно:

[]

[sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}}to frac{{{x}^{frac{1}{2}+1}}}{frac{1}{2}+1}=frac{{{x}^{frac{3}{2}}}}{frac{3}{2}}=frac{2cdot {{x}^{frac{3}{2}}}}{3}]

[sqrt[4]{x}={{x}^{frac{1}{4}}}to frac{{{x}^{frac{1}{4}}}}{frac{1}{4}+1}=frac{{{x}^{frac{5}{4}}}}{frac{5}{4}}=frac{4cdot {{x}^{frac{5}{4}}}}{5}]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

[Fleft( x right)=7cdot frac{2cdot {{x}^{frac{3}{2}}}}{3}+frac{5cdot {{x}^{frac{5}{4}}}}{4}=frac{14cdot {{x}^{frac{3}{2}}}}{3}+frac{4cdot {{x}^{frac{5}{4}}}}{5}]

Пример № 2

[fleft( x right)=frac{1}{sqrt{x}}-frac{1}{{{x}^{3}}}]

Запишем:

[frac{1}{sqrt{x}}={{left( sqrt{x} right)}^{-1}}={{left( {{x}^{frac{1}{2}}} right)}^{-1}}={{x}^{-frac{1}{2}}}]

Следовательно, мы получим:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{-frac{1}{2}+1}}}{-frac{1}{2}+1}=frac{{{x}^{frac{1}{2}}}}{frac{1}{2}}=2{{x}^{frac{1}{2}}}=2sqrt{x}]

[frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}to frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-frac{1}{2{{x}^{2}}}]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

[Fleft( x right)=2sqrt{x}+frac{1}{2{{x}^{2}}}]

Пример № 3

[fleft( x right)=sqrt[4]{x}-xsqrt{x}+1]

Для начала заметим, что $sqrt[4]{x}$ мы уже считали:

[sqrt[4]{x}to frac{4{{x}^{frac{5}{4}}}}{5}]

[xsqrt{x}={{x}^{1}}cdot {{x}^{frac{1}{2}}}={{x}^{frac{3}{2}}}]

[{{x}^{frac{3}{2}}}to frac{{{x}^{frac{3}{2}+1}}}{frac{3}{2}+1}=frac{2cdot {{x}^{frac{5}{2}}}}{5}]

[1to x]

Перепишем:

[Fleft( x right)=frac{4{{x}^{frac{5}{4}}}}{5}-frac{2{{x}^{frac{5}{2}}}}{5}+x]

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

[fleft( x right)={{left( sqrt[3]{x}-2 right)}^{2}}]

Вспомним формулу квадрата разности:

[{{left( a-b right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}]

Давайте перепишем нашу функцию:

[fleft( x right)=left( sqrt[3]{x} right)-2cdot sqrt[3]{x}cdot 2+4]

[fleft( x right)={{x}^{frac{2}{3}}}-4{{x}^{frac{1}{3}}}+4]

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

[{{x}^{frac{2}{3}}}to frac{3cdot {{x}^{frac{5}{3}}}}{5}]

[{{x}^{frac{1}{3}}}to frac{3cdot {{x}^{frac{4}{3}}}}{4}]

[4to 4x]

Собираем все в общую конструкцию:

[Fleft( x right)=frac{3{{x}^{frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{frac{4}{3}}}+4x]

Задача № 2

[fleft( x right)={{left( frac{1}{x}-2 right)}^{3}}]

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

[{{left( a-b right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}cdot b+3acdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}]

С учетом этого факта можно записать так:

[fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{3}}}-3cdot frac{1}{{{x}^{2}}}cdot 2+3cdot frac{1}{x}cdot 4-8]

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

[fleft( x right)={{x}^{-3}}-6{{x}^{-2}}+12cdot {{x}^{-1}}-8]

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

[{{x}^{-3}}to frac{{{x}^{-2}}}{-2}]

[{{x}^{-2}}to frac{{{x}^{-1}}}{-1}]

[{{x}^{-1}}to ln x]

[8to 8x]

Запишем полученную конструкцию:

[Fleft( x right)=-frac{1}{2{{x}^{2}}}+frac{6}{x}+12ln x-8x]

Задача № 3

[fleft( x right)=frac{{{left( x+sqrt{x} right)}^{2}}}{x}]

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

[frac{{{left( x+sqrt{x} right)}^{2}}}{x}=frac{{{x}^{2}}+2xcdot sqrt{x}+{{left( sqrt{x} right)}^{2}}}{x}=]

[=frac{{{x}^{2}}}{x}+frac{2xsqrt{x}}{x}+frac{x}{x}=x+2{{x}^{frac{1}{2}}}+1]

Далее все легко:

[xto frac{{{x}^{2}}}{2}]

[{{x}^{frac{1}{2}}}to frac{2cdot {{x}^{frac{3}{2}}}}{3}]

[1to x]

Давайте напишем итоговое решение:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}}{x}+frac{4{{x}^{frac{3}{2}}}}{3}+x]

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

  1. ${{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}$
  2. ${{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
  3. ${{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

[Fleft( x right)=frac{3{{x}^{frac{5}{3}}}}{5}-3{{x}^{frac{4}{3}}}+4x+C]

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

[Fleft( x right)=-frac{1}{2{{x}^{2}}}+frac{6}{x}+12ln x+C]

И последняя:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}}{2}+frac{4{{x}^{frac{3}{2}}}}{3}+x+C]

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

[fleft( x right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-2x+6]

[M=left( -1;4 right)]

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

[{{x}^{4}}to frac{{{x}^{5}}}{5}]

[{{x}^{3}}to frac{{{x}^{4}}}{4}]

[xto frac{{{x}^{2}}}{2}]

[6to 6x]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

[Fleft( x right)=5cdot frac{{{x}^{5}}}{5}+6cdot frac{{{x}^{4}}}{4}-2cdot frac{{{x}^{2}}}{2}+6x+C]

[Fleft( x right)={{x}^{5}}+frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+C]

Эта функция должна проходить через точку $Mleft( -1;4 right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $Fleft( x right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

[4={{left( -1 right)}^{5}}+frac{3cdot {{left( -1 right)}^{4}}}{2}-{{left( -1 right)}^{2}}+6cdot left( -1 right)+C]

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

[4=-1+frac{3}{2}-1-6+C]

[C=4+6+2-frac{3}{2}=10,5]

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

[Fleft( x right)={{x}^{5}}+frac{3{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+6x+10,5]

Пример № 2

[fleft( x right)={{left( x-3 right)}^{2}}]

[M=left( 2;-1 right)]

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

[fleft( x right)={{x}^{2}}-6x+9]

Считаем:

[{{x}^{2}}to frac{{{x}^{3}}}{3}]

[xto frac{{{x}^{2}}}{2}]

[9to 9x]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{3}-6cdot frac{{{x}^{2}}}{2}+9x+C]

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x+C]

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

[-1=frac{8}{3}-12+18+C]

Выражаем $C$:

[C=-1-6-2frac{2}{3}=-9frac{2}{3}]

Осталось отобразить итоговое выражение:

[Fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+9x-9frac{2}{3}]

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

[fleft( x right)=frac{1}{{{cos }^{2}}x}]

[M=left( frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}};-1 right)]

Вспомним следующую формулу:

[{{left( text{tg}x right)}^{prime }}=frac{1}{{{cos }^{2}}x}]

Исходя из этого, мы можем записать:

[Fleft( x right)=text{tg}x+C]

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

[-1=text{tg}frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+C]

[-1=1+C]

[C=-2]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

[Fleft( x right)=text{tg}x-2]

Задача № 2

[fleft( x right)=frac{1}{{{sin }^{2}}x}]

[M=left( -frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}};2 right)]

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

[{{left( text{ctg}x right)}^{prime }}=-frac{1}{{{sin }^{2}}x}]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

[{{left( -text{ctg}x right)}^{prime }}=frac{1}{{{sin }^{2}}x}]

Вот наша конструкция

[Fleft( x right)=-text{ctg}x+C]

Подставим координаты точки $M$:

[2=-text{ctg}left( -frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right)+C]

[2=text{ctg}frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+C]

[2=1+C]

[C=1]

Итого запишем окончательную конструкцию:

[Fleft( x right)=-text{ctg}x+1]

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!

Смотрите также:

  1. Таблица первообразных
  2. Интегрирование по частям
  3. Решение задач B12: №448—455
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция Первообразная
$f(x)=k$ $F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$ $F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$
$f(x)={1}/{x}$ $F(x)=ln|x|+C$
$f(x)=e^x$ $F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$ $F(x)={a^x}/{lna}+C$
$f(x)=sinx$ $F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$ $F(x)=sinx+C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$ $F(x)=-ctgx+C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$ $F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$ $F(x)={2x√x}/{3}+C$
$f(x)={1}/{√x}$ $F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
  2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
  3. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Пример:

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}$.

Решение:

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

$f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}=2∙sin⁡x+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cos⁡x$

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

$f_1=sin⁡x$

$f_2={1}/{x}$

$f_3=cos⁡x$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cos⁡x)+4∙ln⁡|x|-{1}/{3}∙sin⁡x$

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

$F(x)=-2cos⁡x+4ln⁡|x|-{sin x}/{3}+C$

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
  3. Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Пример:

На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$

Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).

Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.

У нас получилось $6$ таких точек.

Ответ: $6$

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$ 

Формула Ньютона — Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Пример:

На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$

$S=F(1)-F(-2)$

Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить

$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$

$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$

$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$

Ответ: $12$

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время Интеграл и его применение с примерами решения

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Интеграл и его применение с примерами решения Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: Интеграл и его применение с примерами решения А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость Интеграл и его применение с примерами решения а также закон движения Интеграл и его применение с примерами решения

Дифференцирование — это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции Интеграл и его применение с примерами решения заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию Интеграл и его применение с примерами решения что на этом интервале выполнялось Интеграл и его применение с примерами решения или Интеграл и его применение с примерами решения

Определение. Функция Интеграл и его применение с примерами решения удовлетворяющая равенству Интеграл и его применение с примерами решения для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решениязаданной на том же промежутке.

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения есть первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения так как для всех Интеграл и его применение с примерами решения справедливо

Интеграл и его применение с примерами решения

С другой стороны, Интеграл и его применение с примерами решения вообще для любой постоянной Интеграл и его применение с примерами решения имеем Интеграл и его применение с примерами решения поэтому каждая из функций Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения первообразные функции Интеграл и его применение с примерами решения на определенном промежутке, то для функции Интеграл и его применение с примерами решения на этом же промежутке выполняется тождество Интеграл и его применение с примерами решения Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции Интеграл и его применение с примерами решения будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке Интеграл и его применение с примерами решения (здесь Интеграл и его применение с примерами решения произвольная постоянная). Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом получаем, что если функция Интеграл и его применение с примерами решения на заданном промежутке является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения то для любой постоянной Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения называется неопределенным интегралом, обозначается Интеграл и его применение с примерами решения и читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных для Интеграл и его применение с примерами решения то но определению Интеграл и его применение с примерами решения

Здесь Интеграл и его применение с примерами решения — знак интеграла, Интеграл и его применение с примерами решения — подынтегральная функция, Интеграл и его применение с примерами решения — переменная интегрирования, Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) Интеграл и его применение с примерами решения b) Интеграл и его применение с примерами решения с) Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Так как: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 2. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Интеграл и его применение с примерами решения Например, известно, что производной функции Интеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения Значит, множителем искомой функции является дробь Интеграл и его применение с примерами решения которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится Интеграл и его применение с примерами решения

Такой функцией является функция Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл степенной Интеграл и его применение с примерами решения

функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Так как функция Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения то одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения будет

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

  1. Интеграл и его применение с примерами решения
  2. Интеграл и его применение с примерами решения
  3. Интеграл и его применение с примерами решения
  4. Интеграл и его применение с примерами решения
  5. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: запишем заданную функцию в виде

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда получим, Интеграл и его применение с примерами решения

Интегралы показательной функции и функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл показательной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл функции Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения в любом промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

В общем случае: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a)Интеграл и его применение с примерами решения b) Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: a) Интеграл и его применение с примерами решения

b) Интеграл и его применение с примерами решения

Интегралы тригонометрических функций

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Так как Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3. Вычислите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Воспользуемся тождеством Интеграл и его применение с примерами решения Тогда,Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 4. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Воспользуемся формулой

Интеграл и его применение с примерами решения

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку: Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

a) По условию Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения

b) По условию Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Интеграл и его применение с примерами решения Здесь Интеграл и его применение с примерами решения показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через Интеграл и его применение с примерами решения секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как Интеграл и его применение с примерами решения то для функции Интеграл и его применение с примерами решения неопределенным интегралом является функция Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Как можно найти постоянную Интеграл и его применение с примерами решения

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент Интеграл и его применение с примерами решения мяч находился на высоте 1 м и Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, в момент Интеграл и его применение с примерами решения высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле Интеграл и его применение с примерами решения При Интеграл и его применение с примерами решения получим

Интеграл и его применение с примерами решения

Т. е. в момент Интеграл и его применение с примерами решения секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения Интеграл и его применение с примерами решения можно найти прирост городского населения за год. Здесь Интеграл и его применение с примерами решения показывает количество лег после 1960 года, Интеграл и его применение с примерами решения — численность населения в данный Интеграл и его применение с примерами решения год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения показывающую численность населения, соответствующую функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Теперь найдем постоянную Интеграл и его применение с примерами решения

Например, по условию при Интеграл и его применение с примерами решения численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Интеграл и его применение с примерами решенияТогда Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции Интеграл и его применение с примерами решения в Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции Интеграл и его применение с примерами решения непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и ограниченной осью абсцисс Интеграл и его применение с примерами решения слева прямой Интеграл и его применение с примерами решения справа прямой Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияПоказанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Площадь: Интеграл и его применение с примерами решения

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению Интеграл и его применение с примерами решения

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: Интеграл и его применение с примерами решения и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов Интеграл и его применение с примерами решения и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае Интеграл и его применение с примерами решения и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Интеграл и его применение с примерами решения Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияпонимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как «площадь, ограниченная кривой». Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону Интеграл и его применение с примерами решения движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон Интеграл и его применение с примерами решения изменения ее скорости, а именно: Интеграл и его применение с примерами решения

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения то закон движения задается формулой Интеграл и его применение с примерами решения

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию Интеграл и его применение с примерами решения называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения если для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения поскольку на Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток Интеграл и его применение с примерами решения опускают. В таких случаях считают, что Интеграл и его применение с примерами решения Так, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения поскольку выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим еще один пример. Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения поскольку на этом промежутке выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Однако на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения функция Интеграл и его применение с примерами решения не является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решениятак как в точке Интеграл и его применение с примерами решения не выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Каждая из них имеет одну и ту же производную Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому обе функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения являются первообразными функции Интеграл и его применение с примерами решения Понятно, что каждая из функций вида Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения любое число, является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения любое число, то функция Интеграл и его применение с примерами решения также является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения. Любую первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения, где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является константой на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, называют общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Интеграл и его применение с примерами решения

Совокупность всех первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения называют ее неопределенным интегралом и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Это можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияявляется функция Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда согласно теореме 24.1 запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияна каждом из промежутков Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На промежутке Интеграл и его применение с примерами решения имеет место равенствоИнтеграл и его применение с примерами решенияна промежутке Интеграл и его применение с примерами решения имеют место равенства Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения а функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения.

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то на любом промежутке, не содержащем точку 0, записьИнтеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения найдите первообразную, график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Замечание.

Можно доказать, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку Интеграл и его применение с примерами решениято функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Учитывая равенства Интеграл и его применение с примерами решения можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения являются соответственно первообразными функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Из условия следует, что для любого Интеграл и его применение с примерами решения выполняются равенства Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Тогда для любого Интеграл и его применение с примерами решения из промежутка Интеграл и его применение с примерами решения имеем: Интеграл и его применение с примерами решения

Из теоремы 25.1 следует, что

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Интеграл и его применение с примерами решения

Теорема 25.2. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: Интеграл и его применение с примерами решениягде Интеграл и его применение с примерами решенияпроизвольное число.

Теорема 25.3. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем: Интеграл и его применение с примерами решения

Коротко записывают: Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Напомним, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку на данном промежутке выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по теореме 25.2 функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияИнтеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной заданной в условии функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда запись Интеграл и его применение с примерами решения является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение примера 1 можно записать и так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

1) Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения то по теореме 25.3 функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения 2) Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решениянайдите первообразную на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на данном промежутке.

На промежутке Интеграл и его применение с примерами решения искомая первообразная имеет вид

Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Из условия следует, что Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Интеграл и его применение с примерами решения Найдите закон движения Интеграл и его применение с примерами решения если Интеграл и его применение с примерами решения (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда можно записать

Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Найдем Интеграл и его применение с примерами решения из условия Интеграл и его применение с примерами решения

Имеем: Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда искомый закон движения задается формулой Интеграл и его применение с примерами решения

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций Интеграл и его применение с примерами решения или Интеграл и его применение с примерами решения если известны первообразные функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения которая непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций. Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми и Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения которая определена таким правилом.

Если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что Интеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения произвольная точка отрезка Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения приращение аргумента в точке Интеграл и его применение с примерами решения Ограничимся рассмотрением случая, когда Интеграл и его применение с примерами решения (случай, когда Интеграл и его применение с примерами решения рассматривают аналогично).

Имеем: Интеграл и его применение с примерами решения

Получаем, что Интеграл и его применение с примерами решения это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

Интеграл и его применение с примерами решения

На отрезке Интеграл и его применение с примерами решения как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторая точка промежутка Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения непрерывна в точке Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда, если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения

Имеем Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения произвольная точка области определения функции Интеграл и его применение с примерами решения то для любого Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения Получили, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения некоторая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по основному свойству первообразной можно записать Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решениянекоторое число.

Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

По определению функции Интеграл и его применение с примерами решения искомая площадь Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции равна Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Интеграл и его применение с примерами решения

Одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке я Интеграл и его применение с примерами решения

является функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямой Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

График функции Интеграл и его применение с примерами решения пересекает прямую Интеграл и его применение с примерами решения в точках Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Определение. Пусть Интеграл и его применение с примерами решения первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения, числа Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения принадлежат промежутку Интеграл и его применение с примерами решения. Разность Интеграл и его применение с примерами решения называют определенным интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Определенный интеграл функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияобозначают Интеграл и его применение с примерами решения (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения произвольная первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда для произвольных чисел Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Заметим, что значение разности Интеграл и его применение с примерами решения не зависит от того, какую именно первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения выбрали.

Действительно, каждую первообразную Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторая постоянная. Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла Интеграл и его применение с примерами решения по формуле Ньютона-Лейбница надо:

  1. найти любую первообразную Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения
  2. вычислить значение первообразной Интеграл и его применение с примерами решения в точках Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения
  3. найти разность Интеграл и его применение с примерами решения

При вычислении определенных интегралов разность Интеграл и его применение с примерами решения обозначают Интеграл и его применение с примерами решения

Используя такое обозначение, вычислим, например, Интеграл и его применение с примерами решения Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения имеет первообразную Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Интеграл и его применение с примерами решения

Действительно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если каждая из функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения имеет первообразную на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Используя теорему 26.1, можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции Интеграл и его применение с примерами решения, которые на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения такие, что для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется неравенство Интеграл и его применение с примерами решения

Покажем, как найти площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры Интеграл и его применение с примерами решения, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.7).

Перенесем фигуру Интеграл и его применение с примерами решения вверх на Интеграл и его применение с примерами решения единиц так, чтобы полученная фигура Интеграл и его применение с примерами решения находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура Интеграл и его применение с примерами решения ограничена графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку фигуры Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения имеют равные площади, то искомая площадь Интеграл и его применение с примерами решения равна разности Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.9, а);

Интеграл и его применение с примерами решения площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.9, б)

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, если функции Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения непрерывны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется неравенство Интеграл и его применение с примерами решения то площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Интеграл и его применение с примерами решения

Решив уравнение Интеграл и его применение с примерами решения устанавливаем, что графики функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения пересекаются в двух точках с абсциссами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда искомая площадь

Интеграл и его применение с примерами решения

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения Величина Интеграл и его применение с примерами решения равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая Интеграл и его применение с примерами решения пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

Интеграл и его применение с примерами решения

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело Интеграл и его применение с примерами решения, объем которого равен Интеграл и его применение с примерами решения Пусть плоскость Интеграл и его применение с примерами решения пересекает тело Интеграл и его применение с примерами решения по фигуре с площадью Интеграл и его применение с примерами решения а проекцией тела Интеграл и его применение с примерами решения на ось абсцисс является отрезок Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.3). Если Интеграл и его применение с примерами решения непрерывная на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функция, то объем тела Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой Интеграл и его применение с примерами решения, равной Интеграл и его применение с примерами решения и основанием, площадь которого равна Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Интеграл и его применение с примерами решения Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды Интеграл и его применение с примерами решения совпала с началом координат, а высота пирамиды Интеграл и его применение с примерами решения принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть плоскость Интеграл и его применение с примерами решения пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Интеграл и его применение с примерами решения Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Интеграл и его применение с примерами решения Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Теперь можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.7). Найдите Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Интеграл и его применение с примерами решения Тогда площадь этого круга равна Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси абсцисс образуется тело объема Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функцииИнтеграл и его применение с примерами решения. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если Интеграл и его применение с примерами решения, то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполненоИнтеграл и его применение с примерами решения.

Пример:

Пусть а — заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции v(t), так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, так как

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения, при Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения,

так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения,*>0, Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения

является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Докажите, что функции Интеграл и его применение с примерами решения,

Интеграл и его применение с примерами решенияявляются первообразными для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Из этой задачи можно сделать вывод: Интеграл и его применение с примерами решения

где С -постоянная является первообразной функцией для функции Интеграл и его применение с примерами решения.

Действительно, Интеграл и его применение с примерами решения

Для заданной функцииИнтеграл и его применение с примерами решения её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения на некотором промежутке может быть записана в виде Интеграл и его применение с примерами решения, где F(x) — одна из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида Интеграл и его применение с примерами решения называется неопределённым интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решения и обозначается так: Интеграл и его применение с примерами решения. Таким образом, Интеграл и его применение с примерами решения

В этом обозначении Интеграл и его применение с примерами решения — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, а выражение Интеграл и его применение с примерами решения — подынтегральное выражение.

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения, так как согласно таблице производных, Интеграл и его применение с примерами решения .

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения

Так как Интеграл и его применение с примерами решения.

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно примеру 4. Интеграл и его применение с примерами решения

График функции Интеграл и его применение с примерами решения можно получить из графика функции Интеграл и его применение с примерами решения с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения, график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения,

так как Интеграл и его применение с примерами решения.

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

Интеграл и его применение с примерами решенияпроходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения, С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет видИнтеграл и его применение с примерами решения .

Ответ:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения, график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функцииИнтеграл и его применение с примерами решения имеет видИнтеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения , так как Интеграл и его применение с примерами решения Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

Интеграл и его применение с примерами решения проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось Интеграл и его применение с примерами решения .

Значит Интеграл и его применение с примерами решения отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Докажите, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Интеграл и его применение с примерами решения

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, Интеграл и его применение с примерами решения при Интеграл и его применение с примерами решения, то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна — Интеграл и его применение с примерами решения

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Правило 2: Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения, то есть:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функциюИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов: Интеграл и его применение с примерами решения

Так как согласно таблице интегралов Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функцию Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х2 + 8 = u тогда,Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда

Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функциюИнтеграл и его применение с примерами решения. Действительно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения и заданный интеграл

получит вид Интеграл и его применение с примерами решения . Согласно пункту 3 таблицы интегралов Интеграл и его применение с примерами решения,

Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка. Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно тождеству Интеграл и его применение с примерами решения и пункту 10 таблицы интегралов: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства: Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решения

и Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияимеют непрерывные производные Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения, то справедлива формула

Интеграл и его применение с примерами решения (1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения; 2) выражения Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Подберём Интеграл и его применение с примерами решения. Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения. Согласно (1), Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения .

Решение:

Представим подынтегральную функцию Интеграл и его применение с примерами решенияв виде произведения функцийИнтеграл и его применение с примерами решения. Поэтому:Интеграл и его применение с примерами решения.

Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно формуле (1),

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

В этом случае Интеграл и его применение с примерами решения(здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Определенный интеграл, формула ньютона — лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная сверху графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения, снизу — отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.Интеграл и его применение с примерами решения

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х — произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть Интеграл и его применение с примерами решения.

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим разность Интеграл и его применение с примерами решения, где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при Интеграл и его применение с примерами решения стремится к S'(х). Поэтому при Интеграл и его применение с примерами решения получим равенство Интеграл и его применение с примерами решения. Поэтому S(x) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то естьИнтеграл и его применение с примерами решения

Положим в этом равенстве х=а получим Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда следует, что Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда равенство (1) можно записать в виде: Интеграл и его применение с примерами решения. Положим в этом равенстве х=b, получим Интеграл и его применение с примерами решения.

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: Интеграл и его применение с примерами решения, (2)

где F(x) — любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: Интеграл и его применение с примерами решения (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом, Интеграл и его применение с примерами решения

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

Интеграл и его применение с примерами решения. В этом случае: Интеграл и его применение с примерами решения

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х0, х1.., х1-n , хn= b на равные отрезки Интеграл и его применение с примерами решения, и на каждом из этих отрезков Интеграл и его применение с примерами решения, отметим произвольную точку Интеграл и его применение с примерами решения . Умножим длину Интеграл и его применение с примерами решения отрезка Интеграл и его применение с примерами решенияна значение Интеграл и его применение с примерами решения заданной функции f(х) в точке Интеграл и его применение с примерами решения и составим сумму

Интеграл и его применение с примерами решения (6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием Интеграл и его применение с примерами решения и высотой Sn. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения (рисунок 5).

Интеграл и его применение с примерами решения

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечностиИнтеграл и его применение с примерами решения стремится к нулю. Тогда интегральная сумма Sn стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) Интеграл и его применение с примерами решения. Вычислим это значение по

формуле Ньютона — Лейбиица (3). Очевидно, что функция

Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения. Значит, Интеграл и его применение с примерами решения Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): Интеграл и его применение с примерами решения (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц). Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 0. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 13,5. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл: Интеграл и его применение с примерами решения

Значит Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Интеграл и его применение с примерами решения Значит Интеграл и его применение с примерами решения Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1.Интеграл и его применение с примерами решения Действительно Интеграл и его применение с примерами решения

2. Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

3.Пусть а, b, с — действительные числа. Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть Интеграл и его применение с примерами решения — четная функция, тогда Интеграл и его применение с примерами решения

5.Если Интеграл и его применение с примерами решения, тогда Интеграл и его применение с примерами решения.

6.Если Интеграл и его применение с примерами решения,тогда Интеграл и его применение с примерами решения.

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл Интеграл и его применение с примерами решения
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
Интеграл и его применение с примерами решения (2)
Теорема 1. При Интеграл и его применение с примерами решения интеграл (1) сходится.
Доказательство.
Интеграл и его применение с примерами решения
Если Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решения сходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения — сходится .
Если Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решениясходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения — сходится.
Таким образом Интеграл и его применение с примерами решения сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.
Интеграл и его применение с примерами решения
Если x∈[0,1], то функция Интеграл и его применение с примерами решения − ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решениясходится, поэтому
Интеграл и его применение с примерами решения-сходится.
Если Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, Интеграл и его применение с примерами решения
сходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения -сходится.
Следовательно Интеграл и его применение с примерами решения сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти Интеграл и его применение с примерами решения
Решение. По формуле (11): Интеграл и его применение с примерами решения
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:  Интеграл и его применение с примерами решения (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:
Интеграл и его применение с примерами решения
Пример 2.

Найти Интеграл и его применение с примерами решения
Решение.
Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3.

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения
Решение.
Интеграл и его применение с примерами решения
 

n.5. Рассмотрим
Интеграл и его применение с примерами решения
Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

  • Функция F (х) называется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервалеИнтеграл и его применение с примерами решенияпервообразной является функция Интеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения яляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервале Интеграл и его применение с примерами решения (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно записать следующим образом: Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

  • Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом Интеграл и его применение с примерами решения то естьИнтеграл и его применение с примерами решения где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения поскольку для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервале Интеграл и его применение с примерами решения все первообразные можно записать следующим образом:Интеграл и его применение с примерами решения .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

  1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
  2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения
  3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция Интеграл и его применение с примерами решения

Общий вид первообразныхИнтеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная

  1. 1.Интеграл и его применение с примерами решения
  2. 2.Интеграл и его применение с примерами решения
  3. 3.Интеграл и его применение с примерами решения
  4. 4.Интеграл и его применение с примерами решения

Запись с помощью неопределенного интеграла

Интеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Интеграл и его применение с примерами решения Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Интеграл и его применение с примерами решения Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования: Интеграл и его применение с примерами решения

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Интеграл и его применение с примерами решения Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Интеграл и его применение с примерами решения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию Интеграл и его применение с примерами решения(латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка Интеграл и его применение с примерами решения

Например, для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервалеИнтеграл и его применение с примерами решенияпервообразной является функцияИнтеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что функция Интеграл и его применение с примерами решения имеет ту же производную Интеграл и его применение с примерами решенияСледовательно, функцияИнтеграл и его применение с примерами решения также является первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения при этом любая первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решенияна данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

Интеграл и его применение с примерами решения 1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежуткаИнтеграл и его применение с примерами решения ТогдаИнтеграл и его применение с примерами решениято есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функцияИнтеграл и его применение с примерами решения — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть Интеграл и его применение с примерами решения для всехИнтеграл и его применение с примерами решенияТогда Интеграл и его применение с примерами решения По условию постоянства функции, если производная функции Интеграл и его применение с примерами решения равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех Интеграл и его применение с примерами решения функцияИнтеграл и его применение с примерами решения Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале Интеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является функция Интеграл и его применение с примерами решения(действительно, F’ (х) =Интеграл и его применение с примерами решения то общий вид всех первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияможно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция Интеграл и его применение с примерами решения, чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

Интеграл и его применение с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решениягде F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знакИнтеграл и его применение с примерами решения называют знаком интеграла, функцию Интеграл и его применение с примерами решения — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решениязаписывается так: Интеграл и его применение с примерами решения следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. Интеграл и его применение с примерами решенияС помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Интеграл и его применение с примерами решения Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем Интеграл и его применение с примерами решения следовательно, cF — первообразная для cf.Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f,Интеграл и его применение с примерами решения — постоянные (причемИнтеграл и его применение с примерами решения тоИнтеграл и его применение с примерами решения— первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

Интеграл и его применение с примерами решения

а это и означает, что Интеграл и его применение с примерами решения — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций Интеграл и его применение с примерами решенияа для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Интеграл и его применение с примерами решенияДля всех Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функцияИнтеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения будет Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решенияУ функции Интеграл и его применение с примерами решения область определения Интеграл и его применение с примерами решения Рассмотрим функцию

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, на каждом из промежутков Интеграл и его применение с примерами решенияфункция

Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения а это и означает, что F (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения

2) Найдите все первообразные для функции Интеграл и его применение с примерами решения

3*) Найдите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения 1) Одной из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решенияна множестве R

будет функция Интеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

1) Первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить Интеграл и его применение с примерами решения необходимо брать производную от Интеграл и его применение с примерами решения Но Интеграл и его применение с примерами решения Чтобы производная равняласьИнтеграл и его применение с примерами решениядостаточно поставить перед функцией Интеграл и его применение с примерами решения коэффициент Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения 2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно записать в виде 1Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная. Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции Интеграл и его применение с примерами решенияявляется функция Интеграл и его применение с примерами решения

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определениюИнтеграл и его применение с примерами решения то есть неопределенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения— это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияОбщий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

Интеграл и его применение с примерами решения

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаемИнтеграл и его применение с примерами решения

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная: Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииИнтеграл и его применение с примерами решенияучтем, что область определения этой функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда эту функцию можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения и использовать формулу нахождения первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения а именно:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияЗапишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции Интеграл и его применение с примерами решения

первообразной является функция Интеграл и его применение с примерами решения Второе слагаемое запишем так: Интеграл и его применение с примерами решения Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразной для функции будет функцияИнтеграл и его применение с примерами решения будет функция Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаИнтеграл и его применение с примерами решенияСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргументаИнтеграл и его применение с примерами решения), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель Интеграл и его применение с примерами решения

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для Интеграл и его применение с примерами решенияявляется (-ctg х), для второго первообразной для Интеграл и его применение с примерами решения являетсяИнтеграл и его применение с примерами решениятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 — х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Так как для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является

Интеграл и его применение с примерами решения

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезкомИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решенияназывают криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

4. Свойства определенных интегралов Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция f (х) интегрируема на Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решениятоиИнтеграл и его применение с примерами решения

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммыИнтеграл и его применение с примерами решения

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения. Выполним следующие операции.

  1. Разобьем отрезок Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения отрезков точками Интеграл и его применение с примерами решения (полагаем, что Интеграл и его применение с примерами решения
  2. Обозначим длину первого отрезка через Интеграл и его применение с примерами решения, второго — черезИнтеграл и его применение с примерами решения и т. д. (то есть Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения
  3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку Интеграл и его применение с примерами решения
  4. Составим суммуИнтеграл и его применение с примерами решения

Эту сумму называют интегральной суммой функции Интеграл и его применение с примерами решенияна отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма Интеграл и его применение с примерами решения стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функцииИнтеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату Интеграл и его применение с примерами решения точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости Интеграл и его применение с примерами решения (напомним, что Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Интеграл и его применение с примерами решения Графиком скорости в системе координат Интеграл и его применение с примерами решения является прямая Интеграл и его применение с примерами решения, параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле Интеграл и его применение с примерами решения. Величина Интеграл и его применение с примерами решения равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени Интеграл и его применение с примерами решения. Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения приближенно выражается произведениемИнтеграл и его применение с примерами решения. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения оси Интеграл и его применение с примерами решения задана непрерывная функция Интеграл и его применение с примерами решения, которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения отрезком Интеграл и его применение с примерами решения оси Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения, называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок Интеграл и его применение с примерами решения называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Интеграл и его применение с примерами решения

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка Интеграл и его применение с примерами решения При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решенияПокажем, что S (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, то есть чтоИнтеграл и его применение с примерами решения

По определению производной нам необходимо доказать, что Интеграл и его применение с примерами решения

при Интеграл и его применение с примерами решения Для упрощения рассуждений рассмотрим случайИнтеграл и его применение с примерами решения (случай Интеграл и его применение с примерами решения рассматривается аналогично).

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения, то геометрически Интеграл и его применение с примерами решения — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезокИнтеграл и его применение с примерами решения (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой Интеграл и его применение с примерами решения(иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади Интеграл и его применение с примерами решения). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем Интеграл и его применение с примерами решения. ТогдаИнтеграл и его применение с примерами решения(Эта формула будет верной и при Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку точка с лежит междуИнтеграл и его применение с примерами решения то с стремится к х, если Интеграл и его применение с примерами решенияУчитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех Интеграл и его применение с примерами решения отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) — F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения— произвольная первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность Интеграл и его применение с примерами решения называют определенным интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решенияна отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения и обозначают так: Интеграл и его применение с примерами решения

ЗаписьИнтеграл и его применение с примерами решения читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Интеграл и его применение с примерами решения

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Интеграл и его применение с примерами решения Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Интеграл и его применение с примерами решения

Например, поскольку для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения существует определенный интегралИнтеграл и его применение с примерами решения функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияфункции у = f (х), отрезкомИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком Интеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция Интеграл и его применение с примерами решения

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: Интеграл и его применение с примерами решения (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что Интеграл и его применение с примерами решения то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеИнтеграл и его применение с примерами решенияуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Интеграл и его применение с примерами решения Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Интеграл и его применение с примерами решения Для случая а = b также по определению будем считать, что

Интеграл и его применение с примерами решения Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции Интеграл и его применение с примерами решения первообразной будет функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (x) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решениято

Интеграл и его применение с примерами решения

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения). На этом рисунке основание трапеции— отрезок Интеграл и его применение с примерами решения — разбито наИнтеграл и его применение с примерами решения отрезков (не обязательно равных) точками Интеграл и его применение с примерами решения (для удобства будем считать, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точкаИнтеграл и его применение с примерами решения и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Интеграл и его применение с примерами решения Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаИнтеграл и его применение с примерами решенияи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой Интеграл и его применение с примерами решения и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через Интеграл и его применение с примерами решения длину первого отрезка черезИнтеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если Интеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма Интеграл и его применение с примерами решения стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезкаИнтеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения частей (то есть фиксируя другие точки Интеграл и его применение с примерами решения и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точкиИнтеграл и его применение с примерами решения мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек Интеграл и его применение с примерами решения еслиИнтеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыИнтеграл и его применение с примерами решениястремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции Интеграл и его применение с примерами решения мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-ЛейбницаИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример №297

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

I способ

Интеграл и его применение с примерами решенияДля функции Интеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решенияиспользуя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

Интеграл и его применение с примерами решения

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Интеграл и его применение с примерами решенияХотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияИзображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда ее площадь ровна

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записатьИнтеграл и его применение с примерами решения

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения осью Ох и прямыми х = а иИнтеграл и его применение с примерами решенияравна Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решения

Формула

Интеграл и его применение с примерами решения

Если на заданном отрезке Интеграл и его применение с примерами решения непрерывные функцииИнтеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияимеют такое свойство, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения тоИнтеграл и его применение с примерами решения Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Объемы тел

Интеграл и его применение с примерами решения

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки Интеграл и его применение с примерами решениягде Интеграл и его применение с примерами решения — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения и перпендикулярна к оси Ох.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции у = f (х) и прямыми х = а иИнтеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Интеграл и его применение с примерами решения Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения снизу графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения а также вертикальными прямыми Интеграл и его применение с примерами решенияфункции Интеграл и его применение с примерами решения непрерывны и неотрицательны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Площадь S этой фигуры равна разности площадей Интеграл и его применение с примерами решениякриволинейных трапеций (Интеграл и его применение с примерами решения — площадь криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения — площадь криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения Но Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения для этого достаточно выполнения условий, что функцииИнтеграл и его применение с примерами решения непрерывны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на Интеграл и его применение с примерами решения единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции Интеграл и его применение с примерами решения мы заменили соответственно на функции Интеграл и его применение с примерами решения Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решения равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадьИнтеграл и его применение с примерами решения

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна Интеграл и его применение с примерами решения

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции. Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка Интеграл и его применение с примерами решения (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число Интеграл и его применение с примерами решения — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения, то справедлива Интеграл и его применение с примерами решения Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Интеграл и его применение с примерами решения Разделим отрезок Интеграл и его применение с примерами решенияна Интеграл и его применение с примерами решения отрезков одинаковой длины точками Интеграл и его применение с примерами решения

Через каждую точку Интеграл и его применение с примерами решения проведем плоскостьИнтеграл и его применение с примерами решения перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостямиИнтеграл и его применение с примерами решения (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади Интеграл и его применение с примерами решения сечения, умноженной на «толщину слоя»Интеграл и его применение с примерами решения и поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Интеграл и его применение с примерами решения Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезокИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения. Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок Интеграл и его применение с примерами решения этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью Интеграл и его применение с примерами решения(рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).Интеграл и его применение с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения иИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияИзобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции Интеграл и его применение с примерами решенияа снизу — графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнениеИнтеграл и его применение с примерами решения

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при Интеграл и его применение с примерами решения).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Интеграл и его применение с примерами решения Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения Решение

Интеграл и его применение с примерами решенияНайдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Интеграл и его применение с примерами решения

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле: Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: Интеграл и его применение с примерами решения куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно осиИнтеграл и его применение с примерами решения и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости Интеграл и его применение с примерами решениясводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 — Интеграл и его применение с примерами решения то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 — Интеграл и его применение с примерами решения

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияВсе решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3. Интеграл и его применение с примерами решения

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

Интеграл и его применение с примерами решения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

Интеграл и его применение с примерами решения

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скоростьИнтеграл и его применение с примерами решения размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массойИнтеграл и его применение с примерами решения бактерий в момент времени t уравнениемИнтеграл и его применение с примерами решения

гдеИнтеграл и его применение с примерами решения — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функцииИнтеграл и его применение с примерами решения

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса Интеграл и его применение с примерами решения бактерий известна. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения и, следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. ЕслиИнтеграл и его применение с примерами решения — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Интеграл и его применение с примерами решения

Если в момент времени t масса вещества равна Интеграл и его применение с примерами решения и тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

Интеграл и его применение с примерами решения В этом случае формула (3) записывается

так: Интеграл и его применение с примерами решения

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — заданное положительное число, Интеграл и его применение с примерами решения

Решением уравнения (4) является функция

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

Интеграл и его применение с примерами решениягде А — амплитуда колебания, Интеграл и его применение с примерами решения— угловая частота,Интеграл и его применение с примерами решения — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияОбозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстияИнтеграл и его применение с примерами решения (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Интеграл и его применение с примерами решения

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Интеграл и его применение с примерами решенияПоэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 117).

Найдем приближенно отношениеИнтеграл и его применение с примерами решения считая, что за время Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решенияскорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время Интеграл и его применение с примерами решения объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты Интеграл и его применение с примерами решения с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен Интеграл и его применение с примерами решения С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время Интеграл и его применение с примерами решения, то есть объем равен Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения Учитывая формулу (6), получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда при Интеграл и его применение с примерами решенияполучаем равенство

Интеграл и его применение с примерами решения

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое времяИнтеграл и его применение с примерами решения

Используя данные задачи, получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияПо закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть Интеграл и его применение с примерами решениягде х — величина растяжения или сжатия (в метрах), Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная. По условию задачи находим Интеграл и его применение с примерами решения. Поскольку при х = 0,01 м

силаИнтеграл и его применение с примерами решения.

Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точкуИнтеграл и его применение с примерами решения

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращениеИнтеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решенияработа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкуИнтеграл и его применение с примерами решениябудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда при Интеграл и его применение с примерами решения Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку Интеграл и его применение с примерами решения равна Интеграл и его применение с примерами решения

Используя данные задачи, получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ Интеграл и его применение с примерами решения ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция Интеграл и его применение с примерами решения — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интегралаИнтеграл и его применение с примерами решения ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида Интеграл и его применение с примерами решения Такие суммы принято обозначать Интеграл и его применение с примерами решения Подграфик функции Интеграл и его применение с примерами решения — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

Интеграл и его применение с примерами решения

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси Интеграл и его применение с примерами решения Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от Интеграл и его применение с примерами решения и равен Интеграл и его применение с примерами решения Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной Интеграл и его применение с примерами решения равен Интеграл и его применение с примерами решения Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, его объём

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 128). Для неотрицательных значений Интеграл и его применение с примерами решения график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 129). Итак, искомый объём

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы Интеграл и его применение с примерами решения тело перемещается в направлении её действия на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения то при этом выполняется работа Интеграл и его применение с примерами решения А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила Интеграл и его применение с примерами решения которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решенияпропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Интеграл и его применение с примерами решенияКоэффициент Интеграл и его применение с примерами решения различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то Интеграл и его применение с примерами решения Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения

Поделим отрезок Интеграл и его применение с примерами решения на который растягивается пружина, точками Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения равных частей (рис. 130). Пусть Интеграл и его применение с примерами решения — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

Интеграл и его применение с примерами решения

расстояние Интеграл и его применение с примерами решения т. е. переместить её конец из точки Интеграл и его применение с примерами решения надо приложить силу Интеграл и его применение с примерами решения При этом выполненная работа приближённо равна Интеграл и его применение с примерами решения Чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения надо приложить силу Интеграл и его применение с примерами решения и выполнить работу, которая приближённо равна Интеграл и его применение с примерами решения и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Интеграл и его применение с примерами решения

Значение Интеграл и его применение с примерами решения с увеличением Интеграл и его применение с примерами решения (и соответствующим уменьшением Интеграл и его применение с примерами решения всё меньше отличается от точного значения искомой работы Интеграл и его применение с примерами решения т. е. если  Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой Интеграл и его применение с примерами решения — глубина в метрах, Интеграл и его применение с примерами решения — давление воды в килопаскалях. Пусть Интеграл и его применение с примерами решения — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на Интеграл и его применение с примерами решения равных полос. Если Интеграл и его применение с примерами решения, то площадь каждой полосы равна Интеграл и его применение с примерами решения  Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Интеграл и его применение с примерами решения

Полученное произведение ширины ворот Интеграл и его применение с примерами решения на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Интеграл и его применение с примерами решения

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная функция), то объём продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за некоторый промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения задаётся формулой Интеграл и его применение с примерами решения В общем случае справедливо приближённое равенство Интеграл и его применение с примерами решения Оно тем точнее, чем меньше Интеграл и его применение с примерами решения

Разобьём отрезок Интеграл и его применение с примерами решения равных частей точками Интеграл и его применение с примерами решения Для объёма продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения имеем Интеграл и его применение с примерами решения 

Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения — производительность труда в момент времени Интеграл и его применение с примерами решения то объём произведённой продукции за промежуток Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра Интеграл и его применение с примерами решения равных частей точками Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен Интеграл и его применение с примерами решения а масса — Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения — плотность жидкости в резервуаре, Интеграл и его применение с примерами решения— радиус основания цилиндра, а Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы тело массой Интеграл и его применение с примерами решения поднять на высоту Интеграл и его применение с примерами решения нужно выполнить работу Интеграл и его применение с примерами решения В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в Интеграл и его применение с примерами решения цилиндре, выражается формулой Интеграл и его применение с примерами решения а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

По условию задачи Интеграл и его применение с примерами решения поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения
Ответ. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ. Интеграл и его применение с примерами решения единиц.

  • Первообразная и интегра
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Геометрические задачи и методы их решения
  • Прямые и плоскости в пространстве

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию Первообразная и интеграл такую, что в каждой точке х некоторого промежутка Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл. В этом случае функцию f(x) называют производной функции F(x), a Первообразная и интеграл — первообразной для f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Например, на всей числовой оси (т. е. на R] функция F(x) = Первообразная и интегралявляется первообразной для f(x) = 2х, ибо Первообразная и интеграл = 2х; F(x) = sin х есть первообразной для f(x) = cos х, ибо (sin х)’ = cos х.

Функция F(x) Первообразная и интеграл является первообразной для Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл например на [1; 5]. Но не на R, поскольку F'(O) не существует, и не на Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл, поскольку это не промежуток.

Одна ли функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл является первообразной для Первообразная и интеграл Нет. Ведь и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл иПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и т. д. Каким бы ни было число С (произвольная постоянная), функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл — первообразная дляПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл, ибо (Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл) Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Существуют ли другие функции, отличные от Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл , первообразные для Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл? Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции Первообразная и интеграл) имеет вид F(x) + С, где Первообразная и интеграл — одна из этих первообразных, а С — произвольная постоянная.

Доказательство 1. ПустьПервообразная и интеграл—одна из первообразных для функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, т. е. для каждого Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл:Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

По правилу нахождения производной суммы

Первообразная и интеграл

Этим доказано» что какая бы ни была постоянная С, если Первообразная и интеграл — первообразная для Первообразная и интеграл, то и Первообразная и интегралПервообразная и интеграл — первообразная для Первообразная и интеграл

Пусть Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл — две любые первообразные для функции

Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл на промежуткеПервообразная и интеграл, т. е. Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл для каждого Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. Тогда Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Как видим, функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл такая, что в каждой точке Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралеё производная равна 0.

Такое свойство имеет только определённая наПервообразная и интеграл функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка Первообразная и интеграл эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак, Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл , где С — постоянная, т. е. Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Этим доказано, что если Первообразная и интеграл— одна из первообразных для функции Первообразная и интеграл, то каждая из функций Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл также её первообразная и других первообразных для Первообразная и интеграл) не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции Первообразная и интегралтакие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

Первообразная и интегралПервообразная и интегралобщий вид первообразных для функции Первообразная и интеграл.

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция Первообразная и интеграл) определена на Первообразная и интеграл и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной Первообразная и интеграл также на Первообразная и интеграл.

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл Первообразная и интегралпервообразной есть Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл и т.д.

Множество всех первообразных функции Первообразная и интеграл часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом Первообразная и интеграл (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функциюПервообразная и интеграл» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции Первообразная и интеграл » .

То есть, если Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл, а Первообразная и интеграл —произвольное число, то Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении Первообразная и интеграл имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёлен-ного интеграла можно записать так:

Первообразная и интеграл

Примеры с решением

Пример №1

Докажите, что функция Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл является первообразной для функции Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Доказательство.Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Имеем Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. Итак, по определению, функция Первообразная и интеграл— первообразная для функции Первообразная и интеграл

Пример №2

Найдите первообразную для функции : а) Первообразная и интеграл; б) Первообразная и интеграл;

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции Первообразная и интегралесть функция Первообразная и интеграл.

Для функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл , поэтому Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

б) Первообразной для функции Первообразная и интеграл есть функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Для функции Первообразная и интегралПервообразная и интегралпоэтому Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Пример №3

Найдите для функции Первообразная и интеграл такую первообразную, чтобы её график проходил через точку Р (2; 5).

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПоскольку график искомой первообразной проходит через точку Р (2; 5), то Первообразная и интегралПервообразная и интеграл, отсюда С = 3.

Следовательно, Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл.

Ответ.Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Пример №4

Проинтегрируйте функцию Первообразная и интеграл.

Решение:

Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I. ЕслиПервообразная и интеграл и Первообразная и интеграл— первообразные для функций Первообразная и интеграл) иПервообразная и интеграл, тоПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Действительно, если Первообразная и интеграл Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл. то

Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл. Если Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл, a Первообразная и интеграл — произвольное число, то Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл.

Ведь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Первообразная и интеграл Если Первообразная и интеграл—первообразная для функции Первообразная и интеграл, a Первообразная и интеграл,b — произвольные числа Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл — первообразная для функции Первообразная и интеграл.

»

Ведь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Пример №5

Найдите первообразную для функции:

а) Первообразная и интеграл; б) Первообразная и интеграл; в) Первообразная и интеграл.

Решение:

а) Для функций Первообразная и интегралПервообразная и интегралиПервообразная и интеграл первообразными являются соответственно Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и Первообразная и интеграл.

Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных

Первообразная и интеграл

б) По правилу II: Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

в) Одной из первообразных для функции Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл,согласно правилу III, является функция Первообразная и интегралПервообразная и интеграл . Общий вид первообразных для данной функции

Первообразная и интеграл

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример..

Если известен закон прямолинейного движения тела Первообразная и интеграл ,то для нахождения его скорости в момент t нужно найти производную: Первообразная и интеграл. Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Задача №1.

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью Первообразная и интеграл. За перые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функциейПервообразная и интеграл, что Первообразная и интеграл. Здесь s(t) — первообразная для функции Первообразная и интеграл. Общий вид всех таких первообразных Первообразная и интеграл. Поскольку за 4 с точка прошла 80м, то 80 = 5-16 + С, отсюда С = 0.

Ответ. Искомый закон движения точки Первообразная и интеграл, где t — время в секундах, Первообразная и интеграл — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

Первообразная и интеграл

Пример №6

Найдите одну из первообразных для функции:

а)Первообразная и интеграл; б)Первообразная и интеграл.

Решение:

а) Для функции Первообразная и интеграл одной из первообразных есть функция Первообразная и интеграл. Учитывая то, что первообразной для функции Первообразная и интеграл есть функция Первообразная и интеграл, запишем искомую первообразную: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл ;

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

Первообразная и интеграл

Тогда Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл .

Пример №7

Тело движется прямолинейно с ускорением Первообразная и интеграл.

Определите скорость данного движения как функцию от времени f, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если Первообразная и интеграл — искомая скорость, то Первообразная и интеграл. Следовательно,Первообразная и интеграл) — первообразная для функции Первообразная и интеграл, поэтому Первообразная и интеграл. Поскольку Первообразная и интеграл, то Первообразная и интегралПервообразная и интеграл.

Ответ. Первообразная и интеграл Первообразная и интеграл.

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции Первообразная и интеграл, принимающей на промежутке [а; Ь) только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь, называют криволинейной трапецией.

Первообразная и интеграл

Криволинейную трапецию называют также под графиком функции Первообразная и интеграл на [а; Ь].

Несколько криволинейных трапеций изображено на (рис. 105).

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл) на промежутке [а; Ь], равна Первообразная и интеграл, где Первообразная и интеграл— первообразная для функции Первообразная и интеграл на [а; b].

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции Первообразная и интегрална Первообразная и интеграл(риc. 106). Пусть х — произвольная точка отрезка Первообразная и интеграл, а S(x) — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на Первообразная и интеграл. Понятно, что Первообразная и интеграл — функция от х. Докажем, что Первообразная и интегралПервообразная и интеграл для каждого Первообразная и интеграл.

Дадим переменной х приращение Первообразная и интеграл, тогда функция Первообразная и интеграл получит приращение Первообразная и интегралПервообразная и интеграл(pиc. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл, она приближённо равна площади прямоугольника с основанием Первообразная и интеграл, и высотой f(t), где t — некоторое число из промежутка Первообразная и интеграл. Поскольку функция f(x) непрерывна, такое число t обязательно найдётся.

Следовательно, Первообразная и интеграл откуда Первообразная и интеграл.

Первообразная и интеграл

Если Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл, ибо функция Первообразная и интеграл непрерывна. Поэтому если Первообразная и интеграл, то Первообразная и интеграл, т. е. Первообразная и интеграл.

Как видим, функция S(x) — первообразная для Первообразная и интеграл на [а; Ь]. Поэтому если F(x) — какая-либо другая первообразная для Первообразная и интеграл) на [a; b], то S(x) = F(x) + С, где С — постоянная. Чтобы определить С, учтём, что S(a) Первообразная и интеграл 0, ибо при х а криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a; х], вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем: 0 = F(a) + С, отсюда С = -F(a). Следовательно,Первообразная и интеграл= F(х) — F(a). Если в это равенство подставим значение х = Ь, то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]:

Первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл

Значение выражения F(b) — F(a) вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так:.Первообразная и интеграл.Итак, формула (1) приобретает вид:

Первообразная и интеграл

Задача №2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке [1; 3].

Решение:

На (рис) 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функцииПервообразная и интеграл первообразной есть Первообразная и интегралПервообразная и интеграл. Следовательно, искомая площадь Первообразная и интегралПервообразная и интеграл

Первообразная и интеграл

Задача №3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (риc. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Первообразная и интеграл на промежутке Первообразная и интеграл. Для функции Первообразная и интеграл первообразной есть функция Первообразная и интеграл. Следовательно, искомая площадьПервообразная и интеграл= 1 — (-1) — 2 (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (риc. 109) и не всегда она криволинейная(риc. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию *, например, изображенную на (рис 108), повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Задача №4.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = х на [0; 2].

Первообразная и интеграл

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (риc. 110). Его площадь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл(кв. ед.).

Ответ. 2кв. ед.

Задача №5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у -3 на [1,2].

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (риc. 111). Его площадь Первообразная и интегралПервообразная и интеграл(кв. ед.).

Ответ. 3 кв. ед.

Первообразная и интеграл

Задача №6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох. В этих точках ордината функции равна нулю:Первообразная и интегралПервообразная и интеграл, отсюда Первообразная и интеграл, Первообразная и интеграл(риc. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной

Первообразная и интеграл

графиком функции Первообразная и интегралПервообразная и интеграл на [-2; 2].Одна из первообразных для данной функцииПервообразная и интеграл Первообразная и интеграл.Поэтому искомая площадь Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интегралкв,ед.

Ответ. Первообразная и интеграл кв.ед.

Определённый интеграл

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a;b] (рис. 117). Разобьём отрезок [а; Ь] точками Первообразная и интегралПервообразная и интеграл на n равных отрезков: Первообразная и интегралПервообразная и интегралПервообразная и интеграл

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой Первообразная и интеграл, на втором — прямоугольник высотой Первообразная и интеграл,…, на nм — прямоугольник высотой Первообразная и интеграл. В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно Первообразная и интеграл; тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Первообразная и интеграл

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции f(x) на [а; Ь]. Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади S криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]. При этом если Первообразная и интегралто Первообразная и интеграл(риc. 118). Пишут: Первообразная и интеграл .

He только задача о нахождении площади криволинейной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Первообразная и интеграл

Предел интегральной суммы Первообразная и интеграл функции f(x) на отрезке [а; Ь], если Первообразная и интеграл, называют определённым интегралом функции f(x) от а до Ь.

Его обозначают символом Первообразная и интеграл (читают: интеграл от а до b эф от икс де икс). Здесь числа а и b пределы интегрирования, Первообразная и интеграл — знак интеграла, f(x) — подинтегральная функция, хпеременная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь], равна Первообразная и интеграл, т. е.Первообразная и интеграл. Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна Первообразная и интеграл, где Первообразная и интеграл — первообразная для функции f(x). Поэтому

Первообразная и интеграл

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их с в о й с т в о:

Первообразная и интеграл

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований:

Первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл

Задача №7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур ОВАК и ОВАР. Границы интегрирования — абсциссы точек О и А, в которых пересекаются графики функций, т. е. значения х удовлетворяющие системе уравнений Первообразная и интеграл и Первообразная и интеграл. Из системы получим уравнение Первообразная и интеграл корни которого Первообразная и интеграли Первообразная и интеграл

Следовательно, искомая площадь

Первообразная и интеграл

Ответ. Первообразная и интегралкв. ед.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Первообра́зная. Красивое слово.) Для начала немного русского
языка. Произносится это слово именно так, а не «первоОбразная»,
как может показаться. Первообразная — базовое понятие всего интегрального
исчисления. Любые интегралы — неопределённые, определённые (с ними вы
познакомитесь уже в этом семестре), а также двойные, тройные, криволинейные,
поверхностные (а это уже главные герои второго курса) — строятся на этом
ключевом понятии. Имеет полный смысл освоить. Поехали.)

        Прежде чем знакомиться
с понятием первообразной, давайте в самых общих чертах вспомним самую
обычную производную. Не углубляясь в занудную теорию пределов,
приращений аргумента и прочего, можно сказать, что нахождение производной
(или дифференцирование) — это просто математическая операция
над функцией. И всё. Берётся любая функция (допустим, f(x)
= x
2) и по определённым
правилам 
преобразовывается, превращаясь в новую функцию. И
вот эта самая новая функция и называется производной.

        В нашем случае, до дифференцирования
была функция f(x) = x
2,
а после дифференцирования стала уже другая функция f’(x) =
2x
.

        Производная —
потому, что наша новая функция f’(x) = 2x произошла от
функции f(x) = x
2. В
результате операции дифференцирования. И причём именно от неё, а не от какой-то
другой функции (x
3,
например).

        Грубо говоря, f(x) = x2 —
это мама, а f’(x) = 2x — её любимая дочка.) Это понятно. Идём
дальше.

        Математики — народ
неугомонный. На каждое своё действие стремятся найти противодействие. :) Есть
сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление.
Возведение в степень — извлечение корня. Синус — арксинус. Точно
также есть дифференцирование – значит, есть и… интегрирование.)

        А теперь поставим такую
интересную задачу. Есть у нас, допустим, такая простенькая функция f(x)
= 1
. И нам надо ответить на такой вопрос:

        Производная КАКОЙ функции даёт нам
функцию f(x) = 1?

        Иными словами, видя дочку, с помощью
анализа ДНК, вычислить, кто же её мамаша. :) Так от какой же исходной функции
(назовём её F(x)) произошла наша производная функция f(x) = 1?
Или, в математической форме, для какой функции F(x)
выполняется равенство: 

        F’(x) = f(x) = 1?

        Пример элементарный. Я
старался.) Просто подбираем функцию F(x) так, чтобы равенство сработало. :) Ну
как, подобрали? Да, конечно! F(x) = x. Потому, что:

        F’(x) = x’ = 1 = f(x).

        Разумеется, найденную
мамочку F(x) = x надо как-то назвать, да.) Знакомьтесь!

        Первообразной
для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой
равна f(x), т.е. для которой справедливо равенство F’(x) = f(x).

        Вот и всё. Больше
никаких научных хитростей. В строгом определении добавляется ещё дополнительная
фраза «на промежутке Х». Но мы пока в эти тонкости
углубляться не будем, ибо наша первоочередная задача — научиться находить
эти самые первообразные.

        В нашем случае как раз и получается,
что функция F(x) = x является первообразной для
функции f(x) = 1.

        Почему? Потому что F’(x) =
f(x) = 1
Производная икса есть единица. Возражений нет.)

        Термин «первообразная»
по-обывательски означает «родоначальница», «родитель»,
«предок». Сразу же вспоминаем самого родного и близкого человека.) А
сам поиск первообразной — это восстановление исходной функции по
известной её производной
. Иными словами, это действие, обратное
дифференцированию
. И всё! Сам же этот увлекательный процесс тоже называется
вполне научно — интегрирование. Но об интегралах —
позже. Терпение, друзья!)

        Запоминаем: 

        Интегрирование —
это математическая операция над функцией (как и дифференцирование).

        Интегрирование — операция,
обратная дифференцированию.

        Первообразная — результат
интегрирования.

        А теперь усложним задачу. Найдём
теперь первообразную для функции f(x) = x. То есть, найдём такую
функцию F(x)
, чтобы её производная равнялась
бы иксу:

        F’(x) = x

        Кто дружит с производными, тому, возможно,
на ум придёт что-то типа:

        (x2)’
= 2x.

        Что ж, респект и уважуха тем, кто
помнит таблицу производных!) Верно. Но есть одна проблемка. Наша исходная
функция f(x) = x, а (x
2)’
2x
Два икс. А у нас
после дифференцирования должен получиться просто икс. Не катит. Но…

        Мы с вами народ учёный. Аттестаты
получили.) И со школы знаем, что обе части любого равенства можно умножать и
делить на одно и то же число (кроме нуля, разумеется)! Так уж 
тождественные
преобразования
 устроены. Вот и реализуем
эту возможность себе во благо.)

        Мы ведь хотим, чтобы справа
остался чистый икс, верно? А двойка мешает… Вот и берём соотношение
для производной (x
2)’ = 2x и
делим обе его части на эту самую двойку:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image001.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image002.png

        Так, уже кое-чего проясняется. Идём
дальше. Мы знаем, что любую константу можно вынести за знак
производной. 
Вот так:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image003.png

        Все формулы в математике работают как
слева направо, так и наоборот — справа налево. Это значит, что, с тем
же успехом, любую константу можно и внести под знак производной:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image004.png

        В нашем случае спрячем двойку в
знаменателе (или, что то же самое, коэффициент 1/2) под знак производной:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image005.png

        А теперь внимательно присмотримся
к нашей записи. Что мы видим? Мы видим равенство, гласящее, что производная
от чего-то (это что-то — в скобочках)
равняется иксу.         

        Полученное равенство как раз и
означает, что искомой первообразной для функции f(x) = x служит
функция F(x) = x
2/2.
Та, что стоит в скобочках под штрихом. Прямо по смыслу первообразной.) Что ж,
проверим результат. Найдём производную:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image006.png

        Отлично! Получена исходная
функция f(x) = x. От чего плясали, к тому и вернулись. Это значит,
что наша первообразная найдена верно.)

        А если f(x) = x2?
Чему равна её первообразная? Не вопрос! Мы с вами знаем (опять же, из правил дифференцирования),
что:

        3x2 =
(x
3)’

        И, стало
быть,

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image007.png

        Уловили? Теперь мы, незаметно для
себя, научились считать первообразные для любой степенной функции
f(x)=x
n. В уме.) Берём исходный
показатель n, увеличиваем его на единичку, а в качестве компенсации
делим всю конструкцию на n+1:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/5-1.png

        Полученная формулка, между прочим,
справедлива не только для натурального показателя степени n,
но и для любого другого — отрицательного, дробного. Это позволяет легко
находить первообразные от простеньких дробей и корней.

        Например:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image010.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image011.png

        Естественно, n ≠ -1 ,
иначе в знаменателе формулы получается ноль, и формула теряет смысл.) Про
этот особый случай n = -1 чуть позже.)

Что такое неопределённый
интеграл? Таблица интегралов.

        Идём дальше. Те студенты, которые хотя
бы мало-мальски «шарят» в производных, — люди грамотные. И,
возможно, уже приготовили мне убойный вопрос. :)

        Скажем, чему равна производная для
функции F(x) = x? Ну, единица, единица — слышу
недовольные ответы… Всё верно. Единица. Но… Для функции G(x) = x+1 производная тоже
будет равна единице
:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image016.png

        Также производная будет равна единице
и для функции x+1234, и для функции x-10, и
для любой другой функции вида x+C, где С —
любая константа. Ибо производная любой константы равна нулю, а от прибавления/вычитания
нуля никому ни холодно ни жарко.)

        Получается неоднозначность. Выходит,
что для функции f(x) = 1 первообразной служит не
только функция F(x) = x
, но и функция  F
1(x)
= x+1234
 и функция F2(x)
= x-10
 и так далее!

        Да. Именно так.) У всякой (непрерывной
на промежутке
) функции существует не какая-то одна первообразная,
а бесконечно много — целое семейство! Не одна мама или
папа, а целая родословная, ага.)

        Но! Всех наших
родственников-первообразных объединяет одно важное свойство. На то они и
родственники.) Свойство настолько важное, что в процессе разбора приёмов
интегрирования мы про него ещё не раз вспомним. И будем вспоминать ещё
долго.) 

        Вот оно, это свойство:

        Любые две
первообразные
 F1(x)
и F
2(x) от
одной и той же функции f(x) отличаются на константу:

        F1(x)
— F
2(x) = С.

        Кому интересно доказательство —
штудируйте литературу или конспекты лекций.) Ладно, так уж и быть, докажу.
Благо доказательство тут элементарное, в одно действие. Берём равенство

        F1(x)
— F
2(x) = С

        и дифференцируем
обе его части.
 То есть, просто тупо ставим штрихи:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image022.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/1-1.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image024.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image025.png

        Вот и всё. Как говорится, ЧТД. :)

        О чём говорит это свойство? А о том,
что две различные первообразные от одной и той же функции f(x) не
могут отличаться на какое-то выражение с иксом . Только
строго на константу! Иными словами, если у нас есть график какой-то одной
из первообразных
 (пусть это будет F(x)), то графики всех
остальных
 наших первообразных строятся параллельным переносом графика
F(x) вдоль оси игреков.

        Посмотрим, как это выглядит на примере
функции f(x) = x. Все её первообразные, как нам уже известно, имеют
общий вид F(x) = x
2/2+C.
На картинке это выглядит как бесконечное множество парабол,
получаемых из «основной» параболы y = x
2/2 сдвигом
вдоль оси OY вверх или вниз в зависимости от значения константы С.

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image029.png

        Помните школьное построение графика
функции y=f(x)+a сдвигом графика y=f(x) на
«а» единиц вдоль оси игреков?) Вот и тут то же самое.)

        Причём, обратите внимание: наши
параболы нигде не пересекаются! Оно и естественно. Ведь две
различные функции y
1(x) и y2(x)
неизбежно будут соответствовать двум различным значениям константы — С
1 и С2.

        Поэтому уравнение y1(x)
= y
2(x) никогда не имеет решений:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/2.png

С1 =
С
2

x ,
так как С
1 ≠
С
2

        А теперь мы плавненько подходим ко
второму краеугольному понятию интегрального исчисления. Как мы только что
установили, у всякой функции f(x) существует бесконечное множество
первообразных F(x) + C, отличающихся друг от друга на константу. Это самое
бесконечное множество тоже имеет своё специальное название.) Что ж, прошу
любить и жаловать!

        Что такое
неопределённый интеграл?

        Множество
всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым
интегралом 
от функции f(x).

        Вот и всё
определение.)

        «Неопределённый» —
потому, что множество всех первообразных для одной и той же функции бесконечно.
Слишком много различных вариантов.)

        «Интеграл» —
с подробной расшифровкой этого зверского слова мы познакомимся в следующем
большом разделе, посвящённом определённым интегралам. А пока, в
грубой форме, будем считать интегралом нечто общее, единое, целое.
А интегрированием — объединение, обобщение, в
данном случае переход от частного (производной) к общему (первообразным). Вот,
как-то так.

        Обозначается неопределённый интеграл
вот так:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image034.png

        Читается так же, как и пишется: интеграл
эф от икс дэ икс
. Или интеграл от эф от икс дэ
икс. 
Ну, вы поняли.)

        Теперь разберёмся с обозначениями.

         — значок
интеграла.
 Смысл тот же, что и штрих для производной.)

        d — значок дифференциала. Не
пугаемся! Зачем он там нужен — чуть ниже.

        f(x) — подынтегральная
функция
 (через «ы»).

        f(x)dx — подынтегральное
выражение.
 Или, грубо говоря, «начинка» интеграла.

        Согласно смыслу неопределённого
интеграла,

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image039.png

        Здесь F(x) — та
самая первообразная для функции f(x), которую мы
так или иначе нашли сами. Как именно нашли — не
суть. Например, мы установили, что F(x) = x
2/2 для f(x)=x.

        «С» — произвольная
постоянная.
 Или, более научно, интегральная константа.
Или константа интегрирования. Всё едино.)

        А теперь вернёмся к нашим самым первым
примерам на поиск первообразной. В терминах неопределённого интеграла можно
теперь смело записать:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image040.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image041.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image042.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image043.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image044.png

        И так далее.) Идея понятна, думаю. Ни
в коем случае не забываем приплюсовывать константу С!

Что такое интегральная константа
и зачем она нужна?

        Вопрос очень интересный. И очень
(ОЧЕНЬ!) важный. Интегральная константа из всего бесконечного множества
первообразных выделяет ту линию, которая проходит через заданную точку.

         В чём суть.
Из исходного бесконечного множества первообразных (т.е. неопределённого
интеграла
) надо выделить ту кривую, которая будет проходить через
заданную точку. С какими-то конкретными координатами. Такое
задание всегда и везде встречается при начальном знакомстве с интегралами.
Как в школе, так и в ВУЗЕ.

         Типичная задачка:

         Среди множества всех
первообразных функции f=x выделить ту, которая проходит через точку (2;2).

         Начинаем
думать головой… Множество всех первоообразных  — это значит,
сначала надо проинтегрировать нашу исходную функцию. То
есть, икс (х). Этим мы занимались чуть выше и получили такой ответ:

         https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image041.png

         А теперь разбираемся, что именно
мы получили. Мы получили не одну функцию, а целое семейство функций. Каких
именно? Вида y=x
2/2+C. Зависящее
от значения константы С. И вот это значение константы нам и предстоит
теперь «отловить».) Ну что, займёмся ловлей?)

         Удочка наша — семейство
кривых (парабол)
 y=x
2/2+C. 

         Константы — это
рыбины. Много-много. Но на каждую найдётся свой крючок и приманка.)

         А что же
служит приманкой? Правильно! Наша точка (-2;2).

         Вот и
подставляем координаты нашей точки в общий вид первообразных!
 Получим:

         https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/4-1.png

         y(2) = 2

         https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/4-2.png

         Отсюда уже легко ищется C
= 0
.         

         Что сиё означает? Это значит,
что из всего бесконечного множества парабол вида y=x
2/2+C только парабола
с константой С=0
 нам подходит! А именно: y=x2/2. И
только она. Только эта парабола будет проходить через нужную
нам точку (-2; 2). А все остальные параболы из нашего
семейства проходить через
 эту
точку уже не будут. Через какие-то другие точки
плоскости — да, а вот через точку (2; 2) — уже нет. Уловили?

         Для наглядности вот вам две
картинки — всё семейство парабол (т.е. неопределённый интеграл) и
какая-то конкретная парабола, соответствующая конкретному
значению константы
 и проходящая через конкретную точку:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/2-4.png

        Видите, насколько важно учитывать
константу С при интегрировании! Так что не пренебрегаем этой
буковкой «С» и не забываем приписывать к окончательному ответу.

        А теперь разберёмся, зачем же внутри
интегралов везде тусуется символ dx. Забывают про него
студенты частенько… А это, между прочим, тоже ошибка! И довольно грубая. Всё
дело в том, что интегрирование — операция, обратная дифференцированию. А
что именно является результатом дифференцирования? Производная?
Верно, но не совсем. Дифференциал!

        В нашем случае, для функции f(x) дифференциал её
первообразной F(x), будет:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image046.png

        Кому непонятна данная цепочка —
срочно повторить определение и смысл дифференциала и то, как именно он
раскрывается! Иначе в интегралах будете тормозить нещадно….

        Напомню, в самой грубой обывательской
форме, что дифференциал любой функции f(x) — это просто произведение f’(x)dx.
И всё! Взять производную и помножить её на дифференциал аргумента (т.е.
dx). То есть, любой дифференциал, по сути, сводится к вычислению обычной производной.

        Поэтому, строго говоря, интеграл
«берётся» не от функции f(x), как принято
считать, а от дифференциала f(x)dx! Но, в
упрощённом варианте, принято говорить, что «интеграл берётся от
функции»
. Или: «Интегрируется функция f(x)«. Это
одно и то же.
 И мы будем говорить точно так же. Но про значок dx при
этом забывать не будем! :)

        И сейчас я подскажу, как его не забыть
при записи. Представьте себе сначала, что вы вычисляете обычную производную по
переменной икс. Как вы обычно её пишете?

        Вот так: f’(x), y’(x), у’x.
Или более солидно, через отношение дифференциалов: dy/dx. Все эти записи нам
показывают, что производная берётся именно по иксу. А не по «игреку»,
«тэ» или какой-то там другой переменной.)

        Так же и в интегралах. Запись f(x)dx нам
тоже как бы показывает, что интегрирование проводится
именно по переменной икс. Конечно, это всё очень упрощённо и
грубо, но зато понятно, я надеюсь. И шансы забыть приписать
вездесущее dx резко снижаются.)

        Итак, что такое же неопределённый
интеграл — разобрались. Прекрасно.) Теперь хорошо бы научиться эти самые
неопределённые интегралы вычислять. Или, попросту говоря,
«брать». :) И вот тут студентов поджидает две новости — хорошая
и не очень. Пока начнём с хорошей.)

         Новость хорошая. Для интегралов,
так же как и для производных, существует своя табличка. И все интегралы,
которые нам будут встречаться по пути, даже самые страшные и навороченные,
мы по определённым правилам будем так или иначе сводить к этим
самым табличным.)

        Итак, вот она, таблица
интегралов!

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/116.png

        Вот такая вот красивая табличка
интегралов от самых-самых популярных функций. Рекомендую обратить отдельное
внимание на группу формул 1-2 (константа и степенная функция). Это — самые
употребительные формулы в интегралах!

        Третья группа формул (тригонометрия),
как можно догадаться, получена простым обращением соответствующих формул для
производных.

        Например:

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image080.png 
 

        C четвёртой группой формул
(показательная функция) — всё аналогично.

        А вот четыре последние группы формул
(5-8) для нас новые. Откуда же они взялись и за какие такие
заслуги именно эти экзотические функции, вдруг, вошли в таблицу основных
интегралов? Чем же эти группы функций так выделяются на фоне остальных функций?

        Так уж сложилось исторически в
процессе развития методов интегрирования. Когда мы будем
тренироваться брать самые-самые разнообразные интегралы, то вы поймёте, что
интегралы от перечисленных в таблице функций встречаются очень и очень часто.
Настолько часто, что математики отнесли их к табличным.) Через них выражаются
очень многие другие интегралы, от более сложных конструкций.

        Ради интереса можно взять какую-нибудь
из этих жутких формул и продифференцировать. :) Например, самую зверскую 7-ю
формулу.

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image081.png

        https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image082.png

        Всё нормально. Не обманули математики.
:)

        Таблицу интегралов, как и таблицу
производных, желательно знать наизусть. Во всяком случае, первые четыре группы
формул. Это не так трудно, как кажется на первый взгляд. Заучивать наизусть
последние четыре группы (с дробями и корнями) пока не стоит.
Всё равно поначалу будете путаться, где логарифм писать, где арктангенс,
где арксинус, где 1/а, где 1/2а … Выход тут один — решать побольше примеров.
Тогда таблица сама собой постепенно и запомнится, а сомнения грызть
перестанут.)

        Особо любознательные лица,
присмотревшись к таблице, могут спросить: а где же в таблице интегралы от
других элементарных «школьных» функций — тангенса, логарифма,
«арков»? Скажем, почему в таблице ЕСТЬ интеграл от синуса, но при
этом НЕТУ, скажем, интеграла от тангенса tg x? Или нету интеграла
от логарифма ln x? От арксинуса arcsin x? Чем они хуже?
Но зато полно каких-то «левых» функций — с корнями, дробями,
квадратами…

        Ответ. Ничем не хуже.) Просто
вышеназванные интегралы (от тангенса, логарифма, арксинуса и т.д.) не
являются табличными
. И встречаются на практике значительно реже, нежели
те, что представлены в таблице. Поэтому знать наизусть, чему они
равны, вовсе не обязательно. Достаточно лишь знать, как они вычисляются.)

        Что, кому-то всё-таки невтерпёж? Так
уж и быть, специально для вас!

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image086.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image087.png

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image088.png

        Ну как, будете заучивать? :) Не
будете? И не надо.) Но не волнуйтесь, все подобные интегралы мы обязательно
найдём. В соответствующих уроках. :)

        Что ж, теперь переходим к свойствам
неопределённого интеграла. Да-да, ничего не поделать! Вводится новое
понятие — тут же и какие-то его свойства рассматриваются.

Свойства неопределённого
интеграла.

        Теперь не очень хорошая новость.

        В отличие от дифференцирования, общих
стандартных правил интегрирования
, справедливых на все случаи жизни,
в математике нету. Это фантастика!

        Например, вы все прекрасно знаете
(надеюсь!), что любое произведение любых двух
функций f(x)·g(x) дифференцируется вот так:

(f(x)·g(x))’ = f’(x)·g(x) +
f(x)·g’(x)
.

        Любое частное
дифференцируется вот так:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image089.png

        А любая сложная функция, какой бы накрученной
она ни была, дифференцируется вот так:

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image090.png

        И какие бы функции ни скрывались под
буквами f и g, общие правила всё равно сработают и производная, так или иначе,
будет найдена.

        А вот с интегралами такой номер уже не
пройдёт: для произведения, частного (дроби), а также сложной функции общих
формул интегрирования не существует! Нету никаких
стандартных правил!
 Вернее, они есть. Это я зря математику обидел.)
Но, во-первых, их гораздо меньше, чем общих правил для дифференцирования. А
во-вторых, большинство методов интегрирования, о которых мы будем разговаривать
в следующих уроках, очень и очень специфические. И справедливы лишь для
определённого, очень ограниченного класса функций. Скажем, только для дробно-рациональных
функций
. Или каких-то ещё.

        А какие-то интегралы, хоть и
существуют в природе, но вообще никак не выражаются через элементарные
«школьные» функции! Да-да, и таких интегралов полно! :)

        Именно поэтому интегрирование —
гораздо более трудоёмкое и кропотливое занятие, чем дифференцирование. Но в
этом есть и своя изюминка. Занятие это творческое и очень увлекательное.) И,
если вы хорошо усвоите таблицу интегралов и освоите хотя бы два базовых приёма,
о которых мы поговорим далее (
замена
переменной
 и интегрирование
по частям
), то интегрирование вам очень понравится. :)

        А теперь познакомимся, собственно, со
свойствами неопределённого интеграла. Их всего ничего. Вот они.

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/4.png

        Первые два свойства полностью
аналогичны таким же свойствам для производных и называются свойствами
линейности неопределённого интеграла
. Тут всё просто и логично:
интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов, а постоянный
множитель можно вынести за знак интеграла.

        А вот следующие три свойства для нас
принципиально новые. Разберём их поподробнее. Звучат по-русски они следующим
образом.

        Третье свойство

        Производная
от интеграла равна подынтегральной функции

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image093.png

        Всё просто, как в сказке. Если
проинтегрировать функцию, а потом обратно найти производную от результата, то…
получится исходная подынтегральная функция. :) Этим свойством всегда можно (и
нужно) пользоваться для проверки окончательного результата интегрирования.
Вычислили интеграл — продифференцируйте ответ! Получили подынтегральную
функцию — ОК. Не получили — значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)

        Конечно же, в ответе могут получаться
настолько зверские и громоздкие функции, что и обратно дифференцировать их
неохота, да. Но лучше, по возможности, стараться себя проверять. Хотя бы в тех
примерах, где это несложно.)

        Идём дальше, по порядочку.

        Четвёртое свойство

        Дифференциал
от интеграла равен подынтегральному выражению
.

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image094.png

        Тут ничего особенного. Суть та же
самая, только dx на конце появляется. Согласно предыдущему свойству и правилам
раскрытия дифференциала.

        Пятое свойство

        Интеграл
от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной
постоянной
.

https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image095.png

        Тоже очень простое свойство. Им мы
тоже будем регулярно пользоваться в процессе решения интегралов.
Особенно — в 
методе
подведения функции под знак дифференциала
 и замены
переменной
.

        Вот такие вот полезные свойства.
Занудствовать с их строгими доказательствами я здесь не собираюсь. Желающим
предлагаю это сделать самостоятельно. Прямо по смыслу производной и
дифференциала. Докажу лишь последнее, пятое свойство, ибо оно менее очевидно.

        Итак, у нас есть утверждение:

           https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image095.png

        Вытаскиваем
«начинку» нашего интеграла и раскрываем, согласно определению
дифференциала:

           https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image098.png

        На всякий случай, напоминаю, что,
согласно нашим обозначениям производной и первообразной, F’(x)
= f(x)
.

        Вставляем теперь наш результат обратно
внутрь интеграла:

           https://abudnikov.ru/userfiles/images/Studentam/Matematicheskij-analiz/Integralnoe-ischislenie/Pervoobraznaya-i-tablica-integralov/image039.png

        Получено в точности определение
неопределённого интеграла
 (да простит меня русский язык)! :)

        Вот и всё.)

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти потенциал на участке цепи
  • Как найти через период полураспада элемента
  • Как найти продажника на процент
  • Как найти в презентации определенный шрифт
  • Как найти кредитную карту тинькофф