Как найти пириметр равностороннего треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формула
Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника

Формула

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, надо длину его стороны умножить на три.

Периметр равностороннего треугольника — это сумма длин его сторон. У равностороннего треугольника
все стороны равны. Поэтому чтобы найти периметр равностороннего треугольника
$ABC$, со стороной
$a$ нужно воспользоваться формулой

$$P_{Delta A B C}=a+a+a=3 a$$

Примеры вычисления периметра равностороннего треугольника

Пример

Задание. Найти периметр треугольника
$ABC$ со стороной, равной 5 дм.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения периметра равностороннего треугольника:

$$P_{Delta A B C}=3a$$

Тогда искомый периметр равен:

$P_{Delta A B C}=3 cdot 5=15$ (дм)

Ответ. $P_{Delta A B C}=15$ (дм)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Периметр равностороннего треугольника
$ABC$ равен
27 см. Найти длины его стороны.

Решение. Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$$P_{Delta A B C}=3 a$$

Подставим в нее заданное значение периметра и выразим из полученного уравнения искомую длину
$a$:

$27=3 a Rightarrow a=27: 3=9$ (см)

Ответ. $a=9$ (см)

Читать дальше: как найти периметр круга.

Источник

An Equilateral triangle is a triangle in which all three sides are equal and angles are also equal. The value of each angle of an equilateral triangle is 60 degrees therefore, it is also known as an equiangular triangle. The equilateral triangle is considered as a regular polygon or a regular triangle as angles are equal and sides are also equal.

For instance, in the triangle, ABC are equal i.e.

AB = BC = CA = a units.

Also, ∠A, ∠B and, ∠C = 60°

Properties of Equilateral Triangle

All three sides are equal.
All three angles are equal to 60°

Perimeter of Equilateral Triangle

Semi Perimeter of an Equilateral Triangle

Semi Perimeter of an Equilateral Triangle = $frac{Perimeter of an Equilateral Triangle}{2}$

Let us assume a to be the side of an equilateral triangle.

In other words, we have,

Semi Perimeter of an Equilateral Triangle = $frac{3a}{2}$

Perimeter of an Equilateral Triangle when the area is given

Let us assume a to be the side of an equilateral triangle.

Perimeter of an equilateral triangle can be computed using its area, which is given by,

$Area=frac{sqrt3}{4}a^2$

Now,

We know,

Perimeter of an equilateral triangle = Side + Side + Side

Perimeter of an equilateral triangle, P is given by = 3 × a

Therefore, the values a can be replaced by P/3.

$Area=frac{sqrt3}{4}(frac{P}{3})^2$

Perimeter of an Equilateral Triangle when Altitude is given

The perimeter of an equilateral can be calculated when the altitude (height) of the triangle is given.

We have,

Height of an Equilateral Triangle = $frac{sqrt3}{2}a$

Upon substituting the values of the perimeter of the equilateral triangle, we have,

Perimeter of an equilateral triangle = Side + Side + Side

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × a

Therefore,

Height (or Altitude ) = $frac{sqrt3}{2}(frac{P}{3})$

Sample Questions

Question 1. Calculate the perimeter of an equilateral triangle if the side of the triangle is 30√3 cm.

Solution:

Here we have to find the perimeter of an equilateral triangle

We are given that the side of the equilateral triangle is 30√3 cm

As we know that

Formula for perimeter of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle = Side + Side + Side

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × a

where a is side of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × 30√3

Perimeter of an equilateral triangle = 90√3 cm

Therefore,

Perimeter of an equilateral triangle is 90√3 cm.

Question 2. If the side of an equilateral triangle is 90 m, then find the perimeter and semi-perimeter of the triangle?

Solution:

Here we have to find the perimeter and semi-perimeter of an equilateral triangle,

First finding the perimeter of an equilateral triangle

We are given that the side of the equilateral triangle is 90 m

Formula for the perimeter of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle = Side + Side + Side

The perimeter of an equilateral triangle = 3 × a

Substituting the value of a in the formula

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × 90

Perimeter of an equilateral triangle = 270 m

Further finding the semi-perimeter

Formula for semi-perimeter of an equilateral triangle = $frac{3a}{2}$

Where a is the side of an equilateral triangle

Substituting value of a in the formula

Semi-perimeter of an equilateral triangle = $frac{3times90}{2}$

Semi-perimeter of an equilateral triangle = 135 m

Therefore,

Perimeter of an equilateral triangle is 270 m and semi-perimeter of an equilateral triangle is 135 m.

Question 3. Consider that the area of an equilateral triangle is 100√3 cm², Then calculate its perimeter?

Solution:

Here we have to find the perimeter of equilateral triangle using its area

Formula for equilateral triangle area = $frac{sqrt3}{4}a^2$

Area of equilateral triangle = 100√3

100√3= $frac{sqrt3}{4}a^2$

a² = $100sqrt3timesfrac{4}{sqrt3}$

a = √400

a = 20

Therefore,

Side of the equilateral triangle is 20 cm

Now further finding perimeter of equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 20

Perimeter of equilateral triangle = 60 cm

Question 4. Find the perimeter of an Equilateral triangle if the height of the triangle is 35√3 m.

Solution:

Here we have to find the Perimeter of the equilateral triangle with the height 35√3 m

Formula for calculating perimeter using height is given below

Height = $frac{sqrt3}{2}a$

Here a is the side of the equilateral triangle

35√3 = $frac{sqrt3}{2}a$

a = $35sqrt3timesfrac{2}{sqrt3}$

a = 70 m

Now further finding perimeter of the equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 70

Perimeter of equilateral triangle = 210 m

Question 5. If the side of an equilateral triangle is 23 cm, then find the perimeter and height of the equilateral triangle?

Solution:

Here we have to find the perimeter of an equilateral triangle

We are given that the side of the equilateral triangle is 23 cm

As we know that

Formula for the perimeter of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle = Side + Side + Side

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × a

where a is side of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle = 3 × 23

Perimeter of an equilateral triangle = 69 cm

Further finding the height of the triangle

Height = $frac{sqrt3}{2}a$

Here a is the side of the equilateral triangle

Substituting the value of a in the formula

Height = $frac{sqrt3}{2}times23$

Height = 11.5√3

Therefore,

Perimeter of an equilateral triangle is 69 cm and the height of an equilateral triangle is 11.5√3 cm.

Last Updated :
10 Nov, 2021

Like Article

Save Article

Источник

Периметр равностороннего треугольника

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 325.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 325.

Равносторонний треугольник занимает особое место среди треугольников. Для того, чтобы найти значение периметра, площади, углов или радиусов окружностей вписанной и описанной у равнобедренного треугольника, достаточно знать величину стороны. С одной стороны, это значительно облегчает решение, с другой составители задач редко дают значение стороны и приходится искать обходные пути решения.

Формула нахождения периметра равностороннего треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника вытекает из определений. Что такое периметр? Периметр это сумма всех сторон фигуры. Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Значит,для того, чтобы найти значение периметра достаточно умножить величину стороны на количество сторон:

P=3*a

Решим несколько разных по сложности задач, чтобы разобраться, какие проблемы могут встречаться на пути нахождения периметра.

Задача 1

В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти периметр треугольника.

Это самый простой вариант задачи. Достаточно подставить значение в формулу и получить результат. Такая задача не должна вызывать затруднений:

P=3*a=3*6=18

Задача 2

В равнобедренном треугольнике острый угол при основании равен 60 градусам, площадь треугольника равна $${64oversqrt{3}}$$.

Особое внимание нужно обращать на вид фигуры, который указан в условии задачи.

В данной задаче дан равнобедренный треугольник. Чтобы воспользоваться общей формулой, необходимо доказать, что этот равнобедренный треугольник является еще и равносторонним.

Обратим внимание на величину угла. Угол при основании равен 60. При этом углы у основания равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Значит у основания два угла по 60 градусов. Рассчитаем угол при вершине:

180-60-60=60 – угол при вершине так же равен 60 градусам.

Значит, данный треугольник будет равносторонним, так как все углы равны 60 градусам.

Углы по 60 градусов характерны только для равностороннего треугольника. Именно сочетание 3 равных сторон образует 3 равных угла. В любых других ситуациях, хотя бы один угол будет отличаться.

Для площади равностороннего треугольника имеется отдельная формула:

$$S=a^2*{sqrt{3}over 4}={64oversqrt{3}}$$ – где а значение стороны, которое нам и нужно выразить из этой формулы.

$$а^2={Sover{sqrt{3}over 4}}$$

$$a^2={4Soversqrt{3}}$$

$$a=sqrt{4Soversqrt{3}}$$

$$a={sqrt{4*{64oversqrt{3}^2}}oversqrt{3}}=sqrt{4*64}=16$$

Подставим полученное значение в формулу:

P=3*a=3*16=48

Задача 3

В равностороннем треугольнике высота равна $$3*sqrt{3}$$. Найти периметр треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче 3

Для данной задачи нужно воспользоваться методом решения, который часто используется в задачах с равнобедренным треугольником. Из любой вершины опустим высоту, которая будет медианой и биссектрисой.

В одном из получившихся треугольников выразим значение высоты через сторону с помощью теоремы Пифагора:

$$h^2=a^2-({aover2})^2$$

$$h^2=a^2-{a^2over4}$$

Вычтем подобные слагаемые:

$$h^2={3over4}*a^2$$

Из получившейся формулы выразим значение стороны:

$$a^2={4over3}*h^2$$

$$a=sqrt{{4over3}*h^2}$$

$$a=sqrt{{4over3}*(3*sqrt{3})^2}$$

$$a=sqrt{{4over3}*(9*3)}$$

$$a=sqrt{4*9}$$

a=6

Рис. 3. Периметр равностороннего треугольника

Подставим получившееся значение в формулу периметра равностороннего треугольника.

P=3*a=3*6=18

Что мы узнали?

Мы обсудили формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. Выделили проблемы, которые приходится решать при нахождении стороны равностороннего треугольника для дальнейшего решения задачи. Рассмотрели различные пути решения задач на нахождение периметра равностороннего треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Марго Дудченко

4/5
Татьяна Коробейникова

5/5
Наташа Новак

4/5
Марина Безобразова

4/5
Даниил Толыпин

5/5
Ибрагим Вафя-Сулим

5/5
Наталия Левина

4/5
Исмаил Тагиев

5/5

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 325.

А какая ваша оценка?

Источник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками
(рис. 1).

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

«Как найти периметр треугольника» 👇

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+β+γ$

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Решение.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α^2=6^2+8^2$

$α^2=100$

$α=10$
По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Решение.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

$α^2=6^2+8^2$

$α^2=100$

$α=10$

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

Решение.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3cdot 12=36$ см

Ответ: $36$ см.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
S — площадь треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
b, c — известные стороны треугольника;
ɑ — угол между известными сторонами;
a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника;
h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любой катет прямоугольника;
c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Источник