Как найти плечо в треугольнике

Плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и связанной с ней точкой (полюсом или осью вращения) при создании силой момента.

Определяется длинной нормали (перпендикуляра) к линии усилия проведенной из рассматриваемой точки.

Обозначается: L, l или h. Измеряется в метрах [м].

Плечо силы – один из двух множителей определяющих момент силы.

Порядок нахождения плеча силы

Рассмотрим порядок нахождения плеча силы F относительно точки A.

Для этого покажем прямую a, по направлению действия силы F

Из точки A опустим перпендикуляр к прямой a.

Длина этого перпендикуляра является плечом силы.

Примеры определения плеча силы

1. Сила расположена перпендикулярно оси стержня и известно расстояние между точками A и B.
   
   Плечо силы относительно точки A равно длине отрезка AB.
2. Сила расположена под определенным углом к оси стержня
   
   Плечо силы относительно точки B составляет AB×cos30°
3. Известно расстояние от точки до линии действия силы
   
   Плечо силы относительно точки B равно 3м.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Момент силы

О чем эта статья:

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или замедляется, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

• Сила — это физическая векторная величина, является мерой действия тела на другое тело.

Она измеряется в ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Плечо силы

Для начала давайте разберемся, что такое плечо силы — оно нам сегодня очень пригодится.

Представьте человека. Совершенно обычного. Если он совершенно обычный, у него точно будут плечи — без них получится уже какой-то инопланетянин. Если мы прочертим прямую вдоль линии плеча, а потом еще одну — вдоль линии руки — мы получим две пересекающиеся прямые. Угол между такими прямыми будет равен 90 градусов, а значит эти линии перпендикулярны.

Как анатомическое плечо перпендикулярно руке, так и в физике плечо перпендикулярно, только уже линии действия силы.

То есть перпендикуляр, проведенный от точки опоры до линии, вдоль которой действует сила — это плечо силы.

Попробуйте курсы подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в онлайн-школе Skysmart!

Рычаг

В каждом дворе есть качели, для которых нужны два качающихся (если в вашем дворе таких нет, посмотрите в соседнем). Большая доска ставится посередине на точку опоры. По сути своей, качели — это рычаг.

Рычаг — простейший механизм, представляющий собой балку, вращающуюся вокруг точки опоры.

Хорошо, теперь давайте найдём плечо этой конструкции. Возьмём правую часть качелей. На качели действует сила тяжести правого качающегося, проведём перпендикуляр от линии действия силы до точки опоры. Получилась, что плечо совпадает с рычагом, разве что рычаг — это вся конструкция, а плечо — половина.

Давайте попробуем опустить качели справа, тогда что получим: рычаг остался тем же самым по длине, но вот сместился на некоторый угол, а вот плечо осталось на том же месте. Если направление действия силы не меняется, как и точка опоры, то перпендикуляр между ними невозможно изменить.

Правило равновесия рычага

Рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

F₁, F₂ — силы, действующие на рычаг

Момент силы

При решении задач на различные силы нам обычно хватало просто сил. Сила действует всегда линейно (ну в худшем случае под углом), поэтому очень удобно пользоваться законами Ньютона, приравнивать разные силы. Это работало с материальными точками, но не будет так просто применяться к телам, у которых есть форма и размер.

Вот мы приложили силу к краю палки, но при этом не можем сказать, что на другом ее конце будут то же самое ускорение и та же самая сила. Для этого мы вводим такое понятие, как момент силы.

Момент силы — это произведение силы на плечо. Для определения физического смысла можно сказать, что момент — это вращательное действие.

Момент силы

M = Fl

M — момент силы [Н*м]
F — сила [Н]
l — плечо [м]

Для примера представьте, что вы забыли, как открывать двери. Стоите перед дверью и раздумываете, как легче это сделать.

Для начала приложим силу к краю двери — туда, где самый длинный рычаг. Открылась!

А что если толкнуть дверь ближе к креплению — там, где плечо намного короче? Для этого придётся приложить силу большего значения.

Вывод: чтобы повернуть дверь, нужен крутящий момент определенного значения. Чем больше плечо силы, тем меньше значение силы, которую нужно приложить — и наоборот. Поэтому нам легче толкать дверь там, где плечо силы больше.

Похожая история с гаечным ключом. Чтобы закрутить гайку, нужно взяться за ручку подальше от гайки. За счет увеличения плеча мы уменьшаем значение силы, которую нужно приложить.

Расчёт момента силы

Сейчас рассмотрим несколько вариантов того, как момент может рассчитываться. По идее просто нужно умножить силу на плечо, но поскольку мы имеем дело с векторами, все не так просто.

Если сила расположена перпендикулярно оси стержня, мы просто умножаем модуль силы на плечо.

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

Если сила расположена под углом к оси стержня, умножаем проекцию силы на плечо.

Обратите внимание, что такие задания могут встретиться только у учеников не раньше 9 класса!

Момент силы относительно точки B:

Если известно самое короткое расстояние от точки до линии действия силы, момент рассчитывается как произведение силы на это расстояние (плечо).

Момент силы относительно точки B:

Правило моментов

Вернемся к нашим баранам качелям. Силы, с которыми мы действуем на разные стороны этих качелей могут быть разными, но вот моменты должны быть одинаковыми.

Правило моментов говорит о том, что если рычаг не вращается, то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке.

Это условие выполняется относительно любой точки.

Правило моментов

M₁ + M₂ +. + M_n — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке [Н*м]

M’₁ + M’₂ +. + M’_n — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелке [Н*м]

Давайте рассмотрим этот закон на примере задач.

Задача 1

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг.

Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

Решение:

Одним из условий равновесия стержня является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры. Момент, создаваемый левым грузом равен он вращает стержень против часовой стрелки. Момент, создаваемый правым грузом: — он вращает по часовой.

Приравнивая моменты, получаем, что для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой

M = m : 4 = 3 : 4 = 0,75 кг

Ответ: для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой 0,75 кг

Задача 2

Путешественник несёт мешок с вещами на лёгкой палке. Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно OA?

Решение:

По правилу рычага:

где FA и FB — силы, приложенные соответственно к точкам A и B. Выразим длину OA:

Ответ: расстояние ОА равно 30 см

Задача 3

Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

Решение:

По правилу рычага

Ответ: Масса груза равна 0,3 кг

Задача 4 — a.k.a самая сложная задачка

Под действием силы тяжести mg груза и силы F рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии. Вектор силы F перпендикулярен рычагу, груз на плоскость не давит. Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную оси указаны на рисунке.

Если модуль силы F равен 120 Н, то каков модуль силы тяжести, действующей на груз?

Решение:

Одним из условий равновесия рычага является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно опоры рычага. Момент, создаваемый силой F, равен F*5 м и он вращает рычаг по часовой стрелке. Момент, создаваемый грузом относительно этой точки — mg*0,8 м, он вращает против часовой. Уточним, что 0,8 м — это расстояние от центра тяжести груза до опоры, т. е. перпендикуляр до оси вращения. Приравнивая моменты, получаем выражение для модуля силы тяжести

Ответ: модуль силы тяжести, действующей на груз равен 750 Н

I. Механика

Тестирование онлайн

Плечо силы

Плечо силы — это длина перпендикуляра из некоторой вымышленной точки О к силе. Вымышленный центр, точку О, будем выбирать произвольно, моменты каждой силы определяем относительно этой точки. Нельзя для определения моментов одних сил выбрать одну точку О, а для нахождения моментов других сил выбрать ее в другом месте!

На камень действуют сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры, две дополнительные внешние силы F₁ и F₂

Выбираем точку О в произвольном месте, больше ее местоположение не изменяем. Тогда плечо силы тяжести — это длина перпендикуляра (отрезок d) на рисунке

Плечо силы реакции опоры определяется аналогично

Если перпендикуляр нет возможности построить, то вектор силы продлевается в необходимом направлении, после чего строим перпендикуляр к этой линии. Плечо силы F₂

Осталась сила трения! Если точка О и сила лежат на одной линии, то плечо этой силы равно нулю. Плечо силы трения равно нулю.

При решении задач выгодно точку О выбирать в точке пересечения нескольких сил. Тогда плечи всех этих сил будут нулевыми. Например, если точку О в предыдущем примере выбрать иначе, то плечи сил будут иными.

Плечи сил F₁, F₂ и силы тяжести равны нулю, так как точка О лежит с ними на одной прямой (или на самой силе). Плечо силы реакции опоры — это длина d₁. Плечо силы трения — это длина d₂.

Момент силы

Это векторная величина, определяется по формуле

Направление вектора момента силы определяется следующим образом. Представляем в какую сторону сила пытается повернуть (тащить) тело относительно точки О, если тело с точкой О закреплены осью. Если по часовой стрелки, то вектор имеет знак «+», если против часовой, тогда знак «-«.

Момент силы реакции опоры отрицательный, так как сила реакции опоры «поворачивает» тело против часовой стрелки

Момент силы тяжести положительный, так как сила тяжести «поворачивает» тело по часовой стрелки

Если точка О выбрана на теле

Момент силы реакции опоры и силы трения положительные, так как силы «поворачивают» тело по часовой стрелке.

Формула плеча силы в физике

Формула плеча силы

Определение и формула плеча силы

Рассмотрим рычаг с осью вращения находящийся в точке О. (рис.1). Силы ${overline{F}}_1$ и ${overline{F}}_2$, действующие на рычаг направлены в одну сторону.

Минимальное расстояние между точкой опоры (точка О) и прямой, вдоль которой действует на рычаг сила, называют плечом силы.

Для нахождения плеча силы следует из точки опоры опустить перпендикуляр к линии действия силы. Длинна данного перпендикуляра и станет плечом рассматриваемой силы. Так, на рис.1 расстояние $left|OAright|=d_1$- плечо силы $F_1$; $left|OAright|=d_2$- плечо силы $F_2$.

Рычаг находится в состоянии равновесия, если выполняется равенство:

[frac{F_1}{F_2}=frac{d_2}{d_1}left(1right).]

Предположим, что материальная точка движется по окружности (рис.2) под действием силы $overline{F}$ (сила действует в плоскости движения точки). В таком случае угловое ускорение ($varepsilon $) точки определяется тангенциальной составляющей ($F_{tau }$) силы $overline{F}$:

[mRvarepsilon =F_{tau }left(2right),]

где $m$ — масса материальной точки; $R$ — радиус траектории движения точки; $F_{tau }$ — проекция силы на направление скорости движения точки.

Если угол $alpha $ — это угол между вектором силы $overline{F}$ и радиус — вектором $overline{R}$, определяющим положение рассматриваемой материальной точки (Этот радиус- вектор проведен из точки О в точку А на рис.2), тогда:

[F_{tau }=F{sin alpha left(3right). }]

Расстояние $d$ между центром O и линией действия силы $overline{F}$ называют плечом силы. Из рис.2 следует, что:

[d=R{sin alpha left(4right). }]

Если на точку будет действовать сила ($overline{F}$), направленная по касательной к траектории ее движения, то плечо силы будет равно $d=R$, так как угол $alpha $ станет равен $frac{pi }{2}$.

Момент силы и плечо

Понятие плечо силы иногда используют, для записи величины момента силы ($overline{M}$), который равен:

[overline{M}=left[overline{r}overline{F}right]left(5right),]

где $overline{r}$ — радиус — вектор проведенный к точке продолжения силы$ overline{F}$. Модуль вектора момента силы равен:

[M=F{rsin alpha = }Fd left(6right).]

Построение плеча силы

И так, плечом силы называют длину перпендикуляра, который проводят из некоторой выбранной точки, иногда ее называют полюсом (выбираемой произвольно, но при рассмотрении одной задачи один раз). При рассмотрении задач точку О выбирают обычно на пересечении нескольких сил) к силе (рис.3 (а)). Если точка О будет лежать на одной прямой с силами или на самой силе, то плечи сил будут равны нулю.

Если перпендикуляр не получается построить, то вектор силы продлевают в нужном направлении, после этого строят перпендикуляр (рис.3 (б)).

Примеры задач с решением

Читать дальше: формула полезной мощности.

Легче всего решать задачу, если все приложенные к телу силы параллельны – тогда можно получить ответ, используя лишь правило моментов. Если же силы непараллельные, то иногда для получения ответа требуется дополнительно применять второй закон Ньютона.

Параллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (параллельные силы)

• Выполнить чертеж. Указать на нем все силы с точкой их приложения и направлением действия. В этом вам поможет таблица.

Сила	Точка приложения	Направление
Сила тяжести, действующая на груз	Центр груза	Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на однородный стержень	Центр тяжести	Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на неоднородный стержень	Центр масс, положение которого указывают в условии задачи	Вертикально вниз
Вес	Точка опоры или подвеса	Вес тела направлен противоположно вектору силы нормальной реакции опоры или вектору силы натяжения подвеса
Сила реакции опоры	Точка соприкосновения стержня и опоры	Перпендикулярно вверх
Сила натяжения нити	Точка соединения с подвесом	Вдоль оси подвеса

• Выбрать положение оси вращения. Обычно ось выбирают в месте, где находится неизвестная сила или сила, искать которую не нужно.
• Указать значение плеч. Если в задаче нужно указать некоторое расстояние (к примеру, от центра стержня или от места приложения некоторой силы), то это расстояние следует обозначать за x. Размер плеч сил нужно определять с учетом размеров стержня и расстояния x.
• Записать правило моментов и решить задачу.

Типовы задачи на правило моментов при параллельных силах

Прямая неоднородная балка длиной l и массой m подвешена за концы на вертикально натянутых тросах. Балка занимает горизонтальное положение. Найдите силу натяжения первого троса T2, если центр тяжести балки находится на расстоянии a от левого конца балки.	Для решения задачи в качестве положения оси вращения удобно выбрать точку приложения силы натяжения первого троса (потому что ее искать не нужно). Тогда плечом силы тяжести будет расстояние a, а плечом силы натяжения второго троса — l. Поэтому правило моментов можно записать так: T2l = mga T2 = mga/l
Рельс длиной l и массой m поднимают равномерно в горизонтальном положении на двух вертикальных тросах, первый из которых укреплен на конце рельса, а второй — на расстоянии x от другого конца. Определите натяжение второго троса.	В этой задаче положение оси вращения также удобно выбрать в точке О, соответствующей точке приложения силы натяжения нити первого троса (так как ее искать не нужно). Тогда плечом силы натяжения второго троса будет служить разность длины рельса и расстояния x, а плечом силы тяжести — половина длины рельса. Поэтому правило моментов примет вид: mgl/2 = T2(l – x) T2 = mgl2(l−x)

Пример №1. К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг (см. рисунок). Стержень расположили на опоре, отстоящей от груза на 0,2 длины. Груз какой массы надо подвесить к правому концу, чтобы стержень находился в равновесии?

Условие равновесие будет выполняться, если произведение силы тяжести первого груза на ее плечо будет равно произведению силы тяжести второго груза на ее плечо:

F_тяж1d₁ = F_тяж2d₂

Согласно рисунку, второй груз будет подвешен на расстоянии 0,8 от опоры. Следовательно:

Fтяж2=Fтяж2d1d2=m1gd1d2

m2g=m1gd1d2

m2=m1d1d2=3·0,20,8=0,75 (кг)

Непараллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (непараллельные силы)

• Выполнить чертеж и указать все силы. Правильно определить точку приложения и направление сил поможет таблица:

Сила	Точка приложения	Направление
Сила реакции опоры	Точка соприкосновения с опорой	Перпендикулярно плоскости опоры
Сила трения покоя	Точка соприкосновения с опорой	В сторону возможного движения
Сила тяжести	Центр масс (у однородных тел центр масс совпадает с центром тела)	Вертикально вниз
Архимедова сила	Центр масс погруженной части тела	Вертикально вверх

• Определить плечи сил как кратчайшее расстояние между осью вращения и направлением действия силы.
• Записать правило моментов и решить задачу.

Внимание! Иногда для решения задачи может потребоваться использование второго закона Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy.

Типовы задачи на правило моментов при непараллельных силах

Рабочий удерживает за один конец доску массой m так, что она образует угол α с горизонтом, опираясь о землю другим концом. С какой силой рабочий удерживает доску, если эта сила перпендикулярна доске?	За точку равновесия примем точку касания доски с землей. Плечо силы тяжести будет равно нижнему катету треугольника, образованного при опускании перпендикуляра к земле из точки приложения этой силы: d1 = l cosα/2 Плечо силы, с которой рабочий поднимает доску, равно длине доски: d2 = l Отсюда: mglcosα2=Fl F=2lmglcosα=2mgcosα
В гладкий высокий цилиндрический стакан с внутренним радиусом R помещают карандаш длиной l и массой m. С какой силой действует на стакан верхний конец карандаша?	За точку равновесия примем нижнюю точку карандаша. Сила давления верхнего конца карандаша на стакан по модулю будет равна силе нормальной реакции опоры в этой точке. Поэтому плечо ее силы будет равно произведению длины карандаша на синус угла между ним и дном стакана: d1 = l sinα Минимальным расстоянием между линией действия силы тяжести и точкой равновесия будет половина произведения длины карандаша на косинус угла между ним и дном стакана: d2 = l сosα/2 Отсюда: Nl sinα = mgl сosα/2 N=mglcosα2lsinα Плечо силы тяжести также равно радиусу стакана, а плечо силы реакции опоры можно найти из теоремы Пифагора. Отсюда: N=mgR√l2−4R2
Колесо радиусом R и массой m стоит перед ступенькой высотой h. Какую наименьшую горизонтальную силу надо приложить, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Сила трения равна нулю.	За точку равновесия примем точку касания колеса со ступенькой. Плечо силы тяжести является катетом треугольника, образованного с радиусом колеса и плечом прикладываемой силы. Плечо этой силы равно разности радиуса и высоты ступеньки. d1=√R2−d22 d2 = R – h Отсюда: mg√R2−d22=F(R−h) F=mg√R2−d22R−h=mg√h(2R−h)R−h
Лестница массой m приставлена к гладкой вертикальной стене пол углом α. Найдите силу давления лестницы на стену. Центр тяжести лестницы находится в ее середине.	Плечо силы тяжести равно половине произведения длины лестницы на косинус угла α. Плечо силы реакции опоры равно произведению этой длины на синус α. Поэтому правило моментов записывается так: Nlsinα=mglcosα2 Отсюда: N=mglcosα2lsinα=mg2tanα
Лестница длиной l приставлена к идеально гладкой стене под углом α к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом μ. На какое расстояние x вдоль лестницы может поднять человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.	Правило моментов: mgxcosα=N2lsinα Второй закон Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy соответственно: Fтр – N2 = 0 N1 – mg = 0 Сила трения: Fтр = μmg = N2 Следовательно: mgxcosα=μmglsinα x=μmglsinαmgxcosα=μltanα
Однородная лестница приставлена к стене. При каком наименьшем угле α между лестницей и горизонтальным полом лестница сохранит равновесие, если коэффициент трения между лестницей и полом μ1, а между лестницей и стеной — μ2?	Правило моментов: mgl2cosα=Fтр2lcosα+N2lsinα Второй закон Ньютона в проекциях на ось Ox: Fтр1 – N2 = 0 μ1N1 – N2 = 0 На ось Oy: Fтр2 + N1 – mg = 0 μ2N2 +N2μ1 = mg N2(μ2+1μ1)=mg N2=mgμ2+1μ1=mgμ1μ1μ2+1 Fтр2=mg−N1=mg−N2μ1=mg−mgμ1μ2+1=mg(1−1μ1μ2+1) mgl2cosα=mg(1−1μ1μ2+1)lcosα+mgμ1μ1μ2+1lcosα Преобразуем выражение и получим: tanα=1−μ1μ21μ1
Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить к верхнему ребру куба массой m, находящегося на горизонтальной плоскости, чтобы перекинуть его через нижнее ребро?	Правило моментов примет вид: mgl2cosα=Flsinα У куба угол α равен 45 градусам, а синус и косинус этого угла равны. Длины диагонали взаимоуничтожаются. Остается: F=mg2

Пример №2. Невесомый стержень длиной 1 м, находящийся в ящике с гладким дном и стенками, составляет угол α = 45^о с вертикалью (см. рисунок). К стержню на расстоянии 25 см от его левого конца подвешен на нити шар массой 2 кг. Каков модуль силы N, действующий на стержень со стороны левой стенки ящика?

25 см = 0,25 м

Пусть точкой равновесия будет точка касания нижнего конца стержня с дном ящика. Тогда плечом силы тяжести будет:

d₁ = (l – 0,25)sinα

Плечом силы реакции опоры будет:

d₂ = l cosα

Запишем правило моментов:

mg(l−0,25)sinα=Nlcosα

Отсюда:

N=mg(l−0,25)sinαlcosα

Так как косинус и синус угла 45^о равны, получим:

N=mg(l−0,25)l=2·10(1−0,25)1=15 (Н)

Задание EF17982

Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Ответ:

а) 0,3 Н

б) 0,25 Н

в) 0,6 Н

г) 0,13 Н

---

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2. Выполнить чертеж. Выбрать ось вращения. Указать силы и их плечи.
3. Использовать второй и третий законы Ньютона, чтобы выполнить общее решение.
4. Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса стержня: m = 100 г.
• Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С: F_C = 0,5 Н.
• Модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуду в точке В: F_By = 0,6 Н.

Переведем единицы измерения в СИ:

100 г = 0,1 кг

Выполним чертеж:

Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы:

• сила тяжести (mg);
• сила реакции опоры в точке С (F_C);
• сила реакции опоры в точке В (F_В).

Поэтому:

m→g+→FC+→FB=0

Запишем проекции на оси Ox и Oy соответственно:

FCx=FBx

FCy+FBy=mg

Модуль горизонтальной составляющей силы в точке В можно выразить через теорему Пифагора:

FCx=√F2C−F2Cy

Но вертикальная составляющая силы в точке C равна разности силы тяжести и горизонтальной составляющей силы в точке В:

FCy=mg−FBy

Отсюда:

FBx=FCx=√F2C−F2Cy=√F2C−(mg−FBy)2

Подставим известные данные и вычислим:

FBx=√0,52−(0,1·10−0,6)2=√0,25−0,16=0,3 (Н)

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18697

Невесомый стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шарик массой 1 кг. Каков модуль силы упругости N, действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать правило моментов.

3.Выполнить решение в общем виде.

4.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Угол между стержнем и стенкой ящика: α = 45^o.

• Масса шарика: m = 1 кг.

Чтобы записать правило моментов, нужно определить плечи силы тяжести и силы упругости. В качестве точки равновесия выберем точку опоры нижнего конца стержня. Тогда плечо силы тяжести будет равно произведению половины длины стержня на косинус угла между дном ящика и стержнем. Он тоже будет равен 45 градусам, так как он равен разности 180 градусов и угла α = 45^o. Отсюда:

dmg=l2cosα

Плечо силы упругости будет равно расстоянию от дна ящика до верхней точки стержня. Оно определяется как произведение длины стержня на синус угла α:

dN=lsinα

Запишем правило моментов:

mgl2cosα=Nlsinα

Отсюда:

N=mgl2lsinαcosα

Длина стержня в числителе и знаменателе сократится, косинус и синус угла тоже, так как при 45 градусах они одинаковые. Следовательно:

N=mg2=1·102=5 (Н)

Ответ: 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 8k

Момент силы зависит от длины плеча. Для многих подобная фраза — просто сухой набор фактов. На самом деле, если разобраться, за терминами «длина плеча», «момент силы» прячутся удобные и вполне понятные физические концепции. На данном уроке мы приподнимем над всем этим завесу тайны, а также откроем для себя условие равновесия и правило моментов. Нюансы а-ля в чем там измеряется момент силы и формула момента силы прилагаются!

Момент силы: вновь Архимед и его рычаг

Поговаривают, что древнейшим открытием и в какой-то степени самым первым научным достижением человека можно смело называть рычаг. Удивительно, но наши предки на уровне интуиции понимали, что увесистый камень намного проще поднять или передвинуть с помощью самой обычной палки. При этом удивляет больше не наличие палки во всей этой истории, а осознание первобытным человеком принципа простых механизмов. Ведь палки первые разумные жители планеты специально искали подлиннее. Они понимали: чем длиннее, тем будет проще совершить работу.

«Катить проще, чем тянуть» — еще одно древнейшее «научное»  открытие примитивного человека наряду с рычагом.

Принцип рычага передавался из уст в уста, от одного племени к другому, от одного поколения к следующему. Мы не знали, почему это работает. У нас не было формул, не было определений. Был лишь рычаг в самых его разных формах проявления и четкое знание — возьмись подальше от точки опоры, если тяжело.

И лишь в третьем веке до нашей эры Архимед впервые произвел необходимые математические расчеты. Он наконец описал теорию рычага, которой мы пользуемся и по сей день. Он первым связал друг с другом понятия груза, плеча и силы. Как гласит легенда, осознав масштабы своего открытия, воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!»

Благодаря опытам Архимеда, его фундаментальному пониманию закона равновесия рычага, впоследствии возникла крайне важная физическая величина — момент силы. 

Закон равновесия: опыт с грузами

Определить момент силы можно разными способами. Мы воспользуемся самым простым. Нам достаточно вспомнить условие равновесия рычага и провести несложный опыт с подвешенными грузами. 

Во-первых, возьмем небольшую деревянную балку. К ее верхнему концу прикрепим болтом мерную линейку таким образом, чтобы крепление располагалось в центре тяжести линейки (рисунок 1). Далее к линейке прикрепим по сантиметровым делениям два крючка, за которые будем подвешивать грузики разной массы. Начнем с отметок $10 space см$ и $20 space см$ — по пять влево и вправо от центра тяжести в $15 space см$. 

Возьмем грузик массой $20 space г$ и подвесим его за крючок (рисунок 2). Очевидно, что рычаг в результате не окажется в положении равновесия. 

Теперь с другой стороны от центра тяжести подвесим грузик массой $40 space г$ (рисунок 3). Очевидно, что рычаг снова не окажется в положении равновесия: с левой стороны на плечо рычага действует бó‎льшая сила $mg$. 

Приводим рычаг в равновесие

Интуитивно мы понимаем, что дабы соблюсти условие равновесия данной системы, один из грузиков нужно куда-то сместить. Мы так же интуитивно понимаем, что если смещать грузик массой $40 space г$, его нужно подвесить за крючок, располагающийся ближе к точке опоры. Смещать грузик массой $20 space г$ нужно в другую сторону — подальше от точки опоры.

Вопрос на миллион: если, скажем, мы хотим перевесить двадцатиграммовый грузик, на сколько делений должно увеличиться плечо груза?

Используем стандартный метод проб и ошибок. Перевешивая крючок с грузиком по разным отметкам на линейке, мы обнаружим, что рычаг придет в положение равновесия, если двадцатиграммовый грузик подвесить на расстоянии десяти сантиметров от точки опоры — на отметке $25 space см$ (рисунок 4). Обратите внимание на то, как пропорциональны получаемые величины: грузики массой $40 space г$ и $20 space г$ уравновешивают друг друга на плечах длиной $5 space см$ и $10 space см$ соответственно. 

Условие равновесия

Именно таким образом Архимедом было сформулировано условие равновесия рычага. Можно долго перевешивать грузики, пользоваться различными массами, рычагами короткими, рычагами длинными, но одна вещь всегда будет объединять все элементы и переменные:

Рычаг находится в положении равновесия при условии, что отношение масс, подвешенных грузов, будет обратно пропорционально отношению расстояний от точки опоры до центров тяжести грузов:
$frac{m_1}{m_2}=frac{l_2}{l_1}$.

Если от масс перейти к силам, формулу можно улучшить до следующего вида:
$frac{m_1g}{m_2g} = frac{l_2}{l_1}$.

Лучше, но все равно не то. Где гарантии, что на наш абстрактный грузик будет действовать только сила тяжести? Ведь на грузик можно и надавить. Так что улучшим пропорцию еще раз и придем к окончательному математическому выражению под условие равновесия:
$frac{F_1}{F_2} = frac{l_2}{l_1}$,
где $F_1$ и $F_2$ — силы, действующие на рычаг, $l_1$ и $l_2$ — плечи сил.

Таким образом: 

Рычаг находится в положении равновесия, когда отношение сил, действующих на рычаг, обратно пропорционально отношению плеч этих сил.  

А теперь заметим, что согласно основному свойству пропорции из формулы выше получается следующее равенство:
$F_1cdot l_1 = F_2cdot l_2$.

Ранее мы с подобным не сталкивались — с произведением силы на плечо силы. Именно это произведение и называется в физике момент силы.

Определение момента силы

Момент силы — физическая величина, характеризующая действие силы. Равняется произведению модуля силы на ее плечо.

Формула момента силы соответственно следующая:

$M = F cdot l$,

где $F$ — модуль силы, $l$ — длина плеча.

Обратите внимание на то, как выглядит формула момента силы: в физике момент силы обозначается заглавной латинской литерой $M$ и измеряется в $Н cdot м$ — в ньютонах на метр. Характеризует момент силы, как мы указали в определении, действие силы.

Так-так, в чем измеряется момент силы?

Еще раз, формула момента силы включает в себя произведение модуля силы на длину плеча. Сила $F$ измеряется в ньютонах. Длина плеча, как и любая другая длина, согласно СИ измеряется в метрах. Ну и в чем же тогда измеряется момент силы? В ньютонах на метр ($Hcdot м$), разумеется.

И как понять, что характеризует момент силы?

Возьмем гаечный ключ. Ухватимся рукой за его конец и приложим некоторое усилие, чтобы провернуть гайку. После перехватим гаечный ключ примерно до середины ручки и также попробуем приложить некоторое усилие. Во втором случае провернуть гайку будет сложнее, чем если бы мы держались за конец ручки инструмента.

Причина? Образуются разные величины момента силы! Помните, как мы говорили о механическом выигрыше на прошлом уроке? При нем образуется бóльший момент силы.

Иными словами, момент силы — это и есть в своем роде величина усилия. Чем больше момент, тем быстрее двигается предмет, тем проще он проворачивается, тем легче выполняется действие. Формула момента силы наглядно это демонстрирует.

Как рассчитать момент силы

Момент силы всегда рассчитывается как произведение модуля силы на плечо силы:
$M = F cdot l$.

Иногда определять приходится результирующий момент — когда на тело действует несколько разнонаправленных сил. Однако подобные «превратности» нам встретятся в программе лишь через пару лет.

Момент силы трапеции

Для примера возьмем нечто отвлеченное от привычных нам двуплечих рычагов — ясно, что внутри подобной механической системы плечо силы чаще всего будет совпадать с плечом рычага, так что сложности как таковой с расчетом плеча силы не возникнет. Представим вместо этого, что мы раскручиваем прикрепленную к поверхности фигуру в форме трапеции. Ого!.. 

Итак, наша вращающаяся трапеция. Силу мы прикладываем к концу фигуры — направление силы указано на изображении (рисунок 6). Согласитесь, увидеть плечо силы для подобной схемы движения уже не так просто, особенно когда глаз привык к рычагам.

Не паникуем и вспоминаем, что плечо силы есть перпендикуляр к линии действия силы, опущенный из точки опоры или, вернее сказать, из оси вращения (рисунок 7).

Плечо силы будет равно длине отрезка $OA$. Ось вращения трапеции находится в точке $О$. Все гениальное просто, согласны?

Знак момента силы

Еще один немаловажный момент при расчете момента силы — знак величины. Момент может быть отрицательным или положительным. Это зависит от того, в каком направлении действует сила, приложенная к телу. Если она вращает тело по часовой стрелке, то момент силы считается положительным. Если наоборот — против часовой стрелки, то момент считается отрицательным. 

Может ли момент быть нулевым? Конечно, почему нет. Логично предположить, что в случае, если плечо силы равно нулю, то сила не создает никакого момента. Например, если вы надавите на ось вращения, сдвинуть при таком приложении силы что-либо невозможно.

Задача на моменты

Образавр предлагает решить задачу самостоятельно!

На земле лежит палка массой $20 space кг$ и длиной $4 space м$. Палку приподнимают за конец, прикладывая усилие в $120 space Н$. Какие моменты при этом создают силы, действующие на доску? Моменты силы тяжести в поднятом положении палки и в вертикальном положении к земле равны.

Дано:
$m = 20 space кг$
$d = 4 space м$
$F = 120 space Н$

$M — ?$

Решение задачи на моменты

Показать решение и ответ

Скрыть

Правило моментов

Остается последнее — разобраться, зачем нужно отрицательное значение момента силы.

Ранее мы говорили о том, что условие равновесия рычага — обратная пропорциональность отношений сил к плечам этих сил. Однако условие равновесия можно задать и через смежное понятие момента силы. В некоторых случаях даже удобнее для вычислений. 

Вернемся к нашей вращающейся трапеции. Представим, что вы стоите и прикладываете к одному концу трапеции силу $vec{F}_1$. Ваш друг берется за другой конец трапеции и тянет фигурку в противоположную сторону c силой $vec{F}_2$. Вы в одну сторону, он в другую. При этом трапеция вращаться никуда не хочет. Она упрямо находится в положении равновесия. Но, казалось бы, моменты сил создаются. Где движение?

Правило моментов — формула

Дело в том, что один момент силы, условно говоря, «гасит» другой. Математически вычитается. Как только создаваемый вами момент силы превысит тот, что создается вашим другом, фигурка начнет движение по часовой стрелке, к вам. Если друг поднажмет, то трапеция пойдет против часовой стрелки, от вас.

Таким образом, мы можем складывать все моменты, действующие на тело, чтобы понимать, движется ли тело, и если да, то в какую сторону. Знак числа — удобный математический инструмент, позволяющий работать с направлениями. Если сумма всех моментов положительна, вращательное движение идет по часовой стрелке. Если отрицательна — против часовой.

А если сумма моментов равна нулю?

Логично, что тогда тело находится в положении равновесия. Оно не двигается. Вот как мы можем получить условие равновесия (неважно — рычага или другого тела), выраженное через момент силы.

Подобное равенство называется правило моментов.

Тело находится в состоянии покоя, если алгебраическая сумма всех моментов сил, приложенных к телу, равняется нулю:
$sum_i M_i= M_1+M_2+…+M_i =0$.