Как найти площадь бокового сечения параллелепипеда

Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

Параллелепипед — объемная фигура, одна из разновидностей призм, в основании которой лежит четырехугольник — параллелограмм, а все остальные грани также образованы данным видом четырехугольников. Площадь боковой поверхности параллелепипеда найти очень легко.

Инструкция

Стоит для начала разобраться, что из себя представляет боковая поверхность параллелепипеда. Она представляет из себя сумму площадей четырех параллелограммов, находящихся по бокам данной объемной фигуры. Площадь любого параллелограмма находится по формуле:S = a*h, где a — одна из сторон данного параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне.
Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:
S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника.Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

В том случае, если дан прямой параллелепипед, у которого известны периметр основания P, высота его h, то найти площадь его боковой поверхности можно найти так:S = P*h.Если дан прямоугольный параллелепипед (у которого все грани — прямоугольники), у которого известны длины сторон основания (a и b), a c — его боковое ребро, то боковая поверхность этого параллелепипеда вычисляется по такой формуле:
S = 2*c*(a+b).

Для большей ясности можно рассмотреть примеры:Пример 1. Дан прямой параллелепипед с периметром основания 24 см, высотой 8 см. Исходя из этих данных площадь боковой поверхности его будет вычисляться так:
S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:
S = 2*9*(4+9) = 234 см²

Источники:

• площадь поверхности параллелепипеда

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

§ 12. Параллелепипед

12.1. Определение и свойства параллелепипеда

Определение. Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом (рис. 82).

У параллелепипеда шесть граней и четыре диагонали.

Из определения следует, что у параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (противоположными).

Параллельные рёбра параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются его противолежащими (противоположными) рёбрами.

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны свойствам параллелограмма.

Рассмотрим диагонали AC1 и В1D параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 83).

Так как грани ABCD и В1С1CВ — параллелограммы, то равны и параллельны отрезки AD и BС, а также отрезки ВС и B1C1. Тогда на основании свойства транзитивности отношений параллельности и равенства отрезки AD и B1C1 равны и параллельны. Значит, четырёхугольник AB1C1D — параллелограмм. Диагонали AС1 и B1D параллелепипеда являются диагоналями этого параллелограмма, поэтому в точке О их взаимного пересечения каждая из них делится пополам.

Аналогично доказывается, что диагонали AC1 и ВD1, а также диагонали A1C и B1D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А так как отрезок имеет только одну середину, то все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.

Тогда при центральной симметрии относительно точки О концы каждой из диагоналей параллелепипеда отображаются друг на друга, т. е. ZO(A) = C1, ZO(B) = D1, ZO(C) = A1, ZO(D) = B1, ZO(A1) = C, ZO(B1) = D, ZO(C1) = A, ZO(D1) = B. Это означает, что рёбра параллелепипеда центральной симметрией относительно точки О отображаются на противолежащие им рёбра, грани — на противолежащие им грани. А так как центральная симметрия — движение, при котором прямая и плоскость, не проходящие через центр симметрии, отображаются соответственно на параллельные прямую и плоскость, то как противоположные рёбра, так и противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

Кроме того, любая внутренняя точка параллелепипеда при симметрии SO отображается также на его внутреннюю точку. Следовательно, при центральной симметрии ZO параллелепипед ABCDA1B1C1D1 отображается на себя.

Таким образом, параллелепипед обладает следующими свойствами:

диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии;

противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

Из сказанного выше следует, что любую грань параллелепипеда можно принять за его основание.

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований (см. рис. 82, а), в противном случае параллелепипед называется наклонным (см. рис. 82, б, в).

Из определения следует, что все боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Определение. Прямой параллелепипед, основание которого — прямоугольник, называется прямоугольным.

Таким образом, все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники (рис. 84). Из сказанного следует, что у прямоугольного параллелепипеда:

а) рёбра, сходящиеся в одной его вершине, попарно взаимно перпендикулярны;

б) любые две его грани либо параллельны, либо перпендикулярны;

в) каждое его ребро перпендикулярно тем граням, которые содержат лишь концы этого ребра.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной его вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Теорема 16. Квадpaт длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трёх его рёбер, исходящих из одной вершины.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 84) и найдём квадрат длины его диагонали А1С.

Учитывая, что DC = AB, получаем: A1C2 = АB2 + АD2  + . Теорема доказана. ▼

Замечание. Эта теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому её иногда называют пространственной теоремой Пифагора.

У параллелепипеда есть ещё одно метрическое свойство, похожее на свойство параллелограмма: «Сумма квадратов длин всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его рёбер». Это свойство легко доказывается векторным методом.

Изображения прямого и прямоугольного параллелепипедов имеют один и тот же вид. При этом ошибочным является зрительное восприятие того, что сечение прямого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через противоположные стороны его оснований, всегда — прямоугольник. На самом деле, если прямой параллелепипед не прямоугольный, то его сечением плоскостью, проходящей через противолежащие стороны оснований, является параллелограмм, но не прямоугольник.

Действительно, пусть ABCDA1B1C1D1 — прямой (но не прямоугольный) параллелепипед, четырёхугольник ABC1D1 — его сечение плоскостью, проходящей через противолежащие стороны АВ и C1D1 оснований (рис. 85).

Так как АВ = C1D1 и АВ || C1D1, то четырёхугольник ABC1D1 — параллелограмм. Докажем, что этот параллелограмм не может быть прямоугольником.

Предположим противное: пусть ABC1D1 — прямоугольник. Тогда АВ ⟂ ВС1 (как смежные стороны прямоугольника), АВ ⟂ BB1 (так как B1B ⟂ (ABC)), поэтому AB ⟂ (B1BC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)  ⇒AB ⟂ BC ⇒ ABCD — прямоугольник ⇒ ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед. Пришли к противоречию с условием теоремы. Значит, предположение неверно, и четырёхугольник ABC1D1 — параллелограмм.

Аналогично, сечение BCD1A1 — параллелограмм, но не прямоугольник. Утверждение доказано.

 ЗАДАЧА (2.090). В прямом параллелепипеде с основанием ABCD известно: АВ = 29 см, AD = 36 см, BD = 25 см, АА1 =  48 см. Найти площадь сечения AB1C1D.

Дано. ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед (рис. 86); АВ = 29 см, AD =  36 см, BD = 25 см, АA1 = 48 см.

Найти: .

Решение. Имеем 292 + 362 ≠ 252 ⇒ AB2 + AD2 ≠ BD2 ⇒ △ ABD — не прямоугольный ⇒ ABCD — параллелограмм, но не прямоугольник. Это означает, что сечение AB1C1D — параллелограмм (докажите почему). Пусть C1E — высота этого параллелограмма, тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) СЕ — высота основания ABCD.

Поэтому

 = AD•C1E, (1)△ CС1E (∠ C = 90°): C1E = , (2)СЕ =  = .(3)

Таким образом, находим:

SABCD = 2s△ ABD =  = 720.

Тогда из (3), (2) и (1) последовательно получаем СЕ =   = 20; C1E =  = 52;  = 36•52 = 1872 (см2).

Ответ: 1872 cм2.

 ЗАДАЧА (2.100). Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами α, β и γ. Доказать, что cos α + соs β + соs γ = 1.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (рис. 87); O = A1C ∩ BD1; ∠ АОВ = α; ∠ BOC = β; ∠ B1OB = γ.

Дoкaзaть: cos α + cos β + cos γ = 1.

Решение. Введём три некомпланарных вектора:  = ,  = ,  = . Так как все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то |  | = |  | = |  | = р. Тогда

cos γ = cos ∠ (; ) = cos ∠ (; ) =  = .

Имеем △ OA1B1:  =  + .

Ho  = – = –,  =  = –  = – .

Поэтому  = –  + – . Значит, • = •(–  + – ).

Тогда cos α + cos β + cos γ =  + +  =  =  =  = 1, что и требовалось доказать.

 ЗАДАЧА (2.106). Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найти: а) площадь второго диагонального сечения; б) площадь боковой поверхности параллелепипеда; в) площадь полной поверхности параллелепипеда; г) площади сечений параллелепипеда, проходящих через противолежащие стороны его верхнего и нижнего оснований.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед (рис. 88); AD = 8 см, АВ = 15 см, ∠ BAD = 60°,  = 130 см2.

Найти. a) ; б) Sбок; в) Sполн; г) ; .

Pешение. ∠ BAD = 60°, значит, в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD связаны неравенством BD < АС. Поэтому  = 130 и требуется найти . Так как АСС1A1 — прямоугольник (почему?), то  = AC•AA1.

Найдём длины отрезков АС и АА1.

Далее,

 = BD•BB1 = 130 ⇒ BB1 = 130 : BD = 130 : 13 = 10.

Тогда:

а)  = AC•AA1 = 10;

б) Sбок = 2(AB + BC)•AA1 = 460;

в) Sполн = Sбок + 2Sосн;

Sосн = AB•AD•sin 60° = 60.

Таким образом,

Sполн = 460 + 2•60 = 20•(23 + 6);

г) сечение ABC1D1 — параллелограмм (почему?). Пусть D1F — высота этого параллелограмма. Тогда   = АВ•D1F. Найдём длину D1F.

Имеем:

D1F ⟂ АВ, D1D ⟂ (АВС) ⇒ DF ⟂ АВ (по теореме о трёх перпендикулярах).

Поэтому DF = AD•sin 60° = 4,

△ DD1F (∠ D = 90°): D1F =  =  = 2 .

Тогда

 = 15•2  = 30 .

Аналогично, сечение BCD1A1 — параллелограмм. Если D1E — высота этого параллелограмма, то DE ⟂ BC. Поэтому ∠ DED1 = ϕ — угол между плоскостью сечения BCD1A1 и плоскостью основания ABCD. Так как основание ABCD является ортогональной проекцией сечения ВСD1A1, то  = Sосн : cos ϕ. Найдём cos ϕ.

△ DEC: DE = DC•sin 60° = .△ DED1: tg ϕ =  = 10 :  = ⇒ cos ϕ = .

Откуда  = 60 :  = 20.

Ответ: а) 10 cм2; б) 460 см2; в) 20•(23 + 6) cм2; г) 30  см2; 20  см2.

 ЗАДАЧА (2.108). Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с меньшей боковой гранью угол α, а с плоскостью основания — угол ϕ. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; BD1 = d;

∠ DBD1 = ϕ; ∠ D1BC1 = α (рис. 89).

Найти: Sбок.

Решение. Sбок = 2•( + ).

Так как все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то

 = AB•BB1;  = BC•BB1.

Найдём стороны основания и боковое ребро параллелепипеда.

Вследствие того, что DD1 ⟂ (АВC) и D1C1 ⟂ (BCC1), имеем:

в △ BDD1 (∠ BDD1 = 90°): BD = d•cos ϕ, DD1 = d•sin ϕ;

в △ BC1D1 (∠ BC1D1 = 90°): ВС1 = d•cos α, C1D1 = d•sin α.

Тогда

Так как AB = C1D1, BB1 = DD1, то

Преобразуем

Тогда

Ответ: 2d2•sin ϕ (sin α + ).

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется кубом.

Из этого определения следует, что у куба все грани — равные квадраты.

12.2. Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, как и любой другой призмы, равен произведению площади его основания на высоту.

Ранее отмечалось, что у параллелепипеда, в отличие от любой другой призмы, любая грань может быть принята за его основание. При этом каждой грани параллелепипеда, принятой за его основание, соответствует высота параллелепипеда, опущенная на эту грань. Таким образом:

Vпаралл = S1•h1 = S2•h2 = S3•h3,

где S1, S2, S3 — площади трёх граней параллелепипеда, имеющих общую вершину, h1, h2, h3 — высоты параллелепипеда, опущенные на эти грани.

Этим соотношением часто пользуются при решении различных задач.

 ЗАДАЧА (2.164). Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом в 60°, расположенные так, что три острых плоских угла трёх его граней имеют общую вершину. Найти объём параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, все грани которого — равные ромбы; АВ = a, ∠ A1AB = ∠ A1AD = ∠ BAD  = 60° (рис. 90).

Найти: объём параллелепипеда.

Решение. Объём V данного параллелепипеда найдём по формуле: V = Sосн•h = SABCD•A1H, где A1H — высота параллелепипеда.

Прежде всего, докажем, что основание Н высоты А1Н параллелепипеда лежит на диагонали АС ромба ABCD.

В самом деле, так как все грани параллелепипеда — равные ромбы, то высоты всех граней равны. Пусть отрезки A1K и А1M — высоты граней AA1D1D и AA1B1B (см. рис. 90), где точка K — середина AD, М — середина АВ (докажите почему).

Так как отрезок А1Н — перпендикуляр к плоскости основания параллелепипеда, то по теореме о трёх перпендикулярах HK ⟂ AD, HM ⟂ AB. При этом НK = HM (как проекции равных наклонных), т. е. точка H равноудалена от сторон угла BAD, значит, точка Н принадлежит диагонали AC ромба ABCD, которая является биссектрисой угла BAD. Более того, так как точка K — середина AD и точка М — середина АВ, то в точке Н пересекаются медианы BK, DM и АО треугольника ABD.

Из сказанного следует важный вывод: изображение заданного параллелепипеда следует начинать с построения нижнего основания АВСD и точки Н = АC ∩ ВK (где точка K — середина AD); вершина A1 выбирается на перпендикуляре, проведённом через точку Н к плоскости основания.

Теперь нетрудно найти длину высоты А1H.

В правильном △ ABD: АН = АО = . В прямоугольном △ AA1H: A1H =  =  = . А так как SABCD = AB2•sin 60° = , то V = • = .

Ответ: .

Площадь диагонального сечения параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение представляет собой прямоугольник.

Значит, для нахождения его площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника:

S = a * b.

Сторона a совпадает с диагональю основания параллелепипеда.

Длину диагонали основания можно найти по теореме Пифагора, поскольку данная диагональ разбивает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника и является в каждом из них гипотенузой.

BD² = AB² + AD². => BD = √(AB² + AD²).

Сторона b равна высоте параллелепипеда (боковому ребру).

Высоту параллелепипеда можно, например, найти по его объёму и площади основания.

У прямоугольного параллелепипеда основание — это прямоугольник, поэтому площадь основания равна произведению его длины и ширины (на рисунке это AB и AD).

BB1 = V / (AB * AD).

Далее рассмотрим несколько примеров.

**

Пример 1

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Нужно найти площадь диагонального сечения.

S (сеч) = √(12² + 4²) * 5 = √140 * 5 = 2√35 * 5 = 10√35 см.

**

Пример 2

Стороны основания и высота прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объём равен 48 см².

Нужно найти площадь диагонального сечения.

1) Сначала найдём, чему равны стороны основания и высота.

V = abc = 48.

Пусть a = x, b = 2x, c = 3x.

x * 2x * 3x = 48.

6x³ = 48.

x³ = 8.

x = 2.

Таким образом, стороны основания равны 2 и 4 см соответственно, а высота равна 6 см.

2) Теперь всё решается так же, как и в 1 примере.

S (сеч) = √(2² + 4²) * 6 = √20 * 6 = 2√5 * 6 = 12√5 см.