Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднения у учеников.
Материал подготовлен совместно с учителем первой категории Камушковой Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — 27 лет.
Определения
Параллелепипед – это фигура в пространстве, которая состоит из шести четырехугольников.
Каждый четырехугольник – это грань параллелепипеда. Среди граней различают четыре боковые и два основания. Если в основании фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.
Стороны граней – это ребра. У параллелепипеда всего 12 ребер.
Параллелепипед имеет 8 вершин, для их обозначения используют заглавные латинские буквы.
Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда также равны.
Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.
Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.
Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.
Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.
Формула для нахождения площади
Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.
$S = ab$;
$S = ac$; где a, b, c – стороны фигуры.
А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.
$S= 2(ab + ac)$
Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.
$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$
Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п. – площадь полной поверхности, либо S б.п. – площадь боковой поверхности. Это помогает во время выполнения задания не перепутать нужные данные.
Пример задания
Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.
Решение:
S п.п. = 2(ab + ac + bc)
S п.п. = 2(4*3 + 4*2 + 3*2) = 52 см2
Таким образом, S п.п. = 52 см2.
Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. Если длины ребер прямоугольного параллелепипеда даны в разных единицах измерения, то их нужно перевести в одинаковые.
Что мы узнали?
Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади его боковой и полной поверхности, которые можно использовать для решения заданий.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Марина Яговцева
8/10
-
Розочка Ангелиночка
10/10
-
Слава Сироткин
10/10
-
Тома Зимина
7/10
-
Artem Sevastanov
10/10
-
Влад Чибиряев
10/10
-
Александр Селезнев
10/10
-
Акрам Сафарбеков
10/10
-
Вера Машковцева
10/10
-
Александр Семёнов
9/10
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
А какая ваша оценка?
Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).
Рисунок 1
Определение
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.
Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.
У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.
Рисунок 2
Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Длина, ширина, высота
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 3
Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.
Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.
Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).
Рисунок 4
Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a2. Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a2
Объем прямоугольного параллелепипеда
Рисунок 5
С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.
Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.
Рисунок 6
За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.
Рисунок 7
Объем куба
Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:
V=a3
Рисунок 8
Пирамида
Рисунок 9
Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).
Рисунок 10
Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.
Рисунок 11
Даниил Романович | Просмотров: 1.1k
Как найти площадь грани параллелепипеда
Пространственная фигура под названием параллелепипед имеет несколько числовых характеристик, в том числе площадь поверхности. Чтобы ее определить, нужно найти площадь каждой грани параллелепипеда и сложить получившиеся величины.
Инструкция
Начертите параллелепипед с помощью карандаша и линейки, расположив основания горизонтально. Это классическая форма представления фигуры, с помощью которой можно наглядно показать все условия задачи. Тогда решить ее будет гораздо легче.
Посмотрите на рисунок. У параллелепипеда – шесть попарно параллельных граней. Каждая пара представляет собой равные двухмерные фигуры, которые в общем случае являются параллелограммами. Соответственно, их площади также равны. Таким образом, полная поверхность складывается из суммы трех удвоенных величин: площади верхнего или нижнего основания, фронтальной или задней грани, правой или левой грани.
Чтобы найти площадь грани параллелепипеда, нужно рассмотреть ее как отдельную фигуру с двумя измерениями, длиной и шириной. По общеизвестной формуле площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
У прямого параллелепипеда только основания являются параллелограммами, все его боковые грани имеют форму прямоугольника. Площадь этой фигуры получается путем умножения длины на ширину, поскольку она совпадает с высотой. Кроме того, существует прямоугольный параллелепипед, все грани которого – прямоугольники.
Куб – тоже параллелепипед, который обладает уникальным свойством – равенством всех измерений и числовых характеристик граней. Площадь каждой его стороны равна квадрату длины любого ребра, а полная поверхность получается умножением этой величины на 6.
Форму параллелепипеда с прямыми углами часто можно встретить в повседневной жизни, например, при строительстве домов, создании предметов мебели, бытовой техники, детских игрушек, канцелярских принадлежностей и т.д.
Пример: найдите площадь каждой боковой грани прямого параллелепипеда, если известно, что высота равна 3 см, периметр основания – 24 см, а длина основания больше ширины на 2 см.Решение.Запишите формулу периметра параллелограмма P = 2•а + 2•b. По условию задачи b = а + 2, следовательно, P = 4•а + 4 = 24, откуда а = 5, b = 7.
Найдите площадь боковой грани фигуры со сторонами 5 и 3 см. Это прямоугольник:Sб1 = 5•3 = 15 (см²).Площадь параллельной боковой грани, по определению параллелепипеда, также равна 15 см². Осталось определить площадь другой пары граней со сторонами 7 и 3:Sб2 = 3•7 = 21 (см²).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер — это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота — это ребра прямоугольного параллелепипеда.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- примеры задач
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
a — длина прямоугольного параллелепипеда
b — ширина прямоугольного параллелепипеда
c — высота прямоугольного параллелепипеда
Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{бок} = 2(ac+bc)}
a — длина прямоугольного параллелепипеда
b — ширина прямоугольного параллелепипеда
c — высота прямоугольного параллелепипеда
Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Задача 1
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.
Решение
Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2
Ответ: 76 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Для проверки ответа используем калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.
Решение
Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2
Ответ: 1158 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.
Решение
В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.
S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .