Как найти площадь боковой грани трапеции

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция (понятие, определение)

Видеоурок “Трапеция”

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

Свойства равнобедренной трапеции

Формулы трапеции

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция 

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2 

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. 

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2 

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  180° . 

Рис. 9. Трапеция 

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

 Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2 

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC 

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция 

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции.  k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c ² + d ²    

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Формулы трапеции:

Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d₁ и d₂ – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.

Формулы для определения сторон трапеции:

Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:

a = 2m – b

b = 2m – a

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

Через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

Формулы для определения средней линии трапеции:

Через длины оснований трапеции:

Через площадь и высоту трапеции:

Формулы для определения высоты трапеции:

Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:

h = c·sin α = d·sin β

Через диагонали трапеции и углы между ними:

Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:

Через площадь и длины оснований трапеции:

Через площадь и длину средней линии трапеции:

Формула для определения периметра трапеции:

P = a + b + c + d

Формулы для определения площади трапеции:

Через основания и высоту трапеции:

Через среднюю линию и высоту трапеции:

S = m · h

Через диагонали трапеции и угол между ними:

Через все стороны трапеции:

С помощью формулы Герона для трапеции:

Как называется объемная трапеция?

Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.

В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.

Квадрат

Овал

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

Коэффициент востребованности
6 627

У каждой трапеции имеются две боковые стороны и два основания. Для того, чтобы узнать площадь, периметр или другие параметры этой фигуры, нужно знать хотя бы одну из боковых сторон. Также нередко по условиям задач требуется находить боковую сторону прямоугольной трапеции.

Инструкция

Начертите прямоугольную трапецию ABCD. Боковые стороны этой фигуры обозначьте, соответственно, как AB и DC. Первая боковая сторона DC совпадает с высотой трапеции. Она перпендикулярна двум основаниям прямоугольной трапеции.
Существует несколько способов нахождения боковых сторон. Так например, если в задаче дана вторая боковая сторона BA и угол ABH=60, то первую высоту найдите наиболее простым из способов, проведя высоту BH:
BH=AB*sin?
Поскольку BH=CD, то СD=AB*sin?=?3AB/2

Если, наоборот, дана сторона трапеции, обозначенная, как CD, а требуется найти ее же сторону AB, такая задача решается несколько иным образом. Так как BH=CD, и при этом, BH представляет собой катет треугольника ABH, можно сделать вывод, что сторона AB равна:
AB=BH/sin?=2BH/?3

Задачу можно решить и в том случае, если значения углов неизвестны, при условии, что даны два основания и боковая сторона AB. Однако, в этом случае можно найти только сторону CD, которая является высотой трапеции. Первоначально, зная значения оснований, найдите длину отрезка AH. Он равен разности большего и меньшего оснований, поскольку известно, что BH=CD:
AH=AD-BC
Затем, используя теорему Пифагора, найдите высоту BH, равную стороне CD:
BH=?AB^2-AH^2

Если у прямоугольной трапеции есть диагональ BD и угол 2?, как показано на рисунке 2, то сторону AB можно найти также по теореме Пифагора. Для этого, сначала вычислите длину основания AD:
AD=BD*cos2?
Затем найдите сторону AB следующим образом:
AB=?BD^2-AD^2
После этого докажите подобие треугольников ABD и BCD. Так как у этих треугольников одна общая сторона — диагональ, и при этом, два угла равны, как видно из рисунка, то эти фигуры подобны. На основании этого доказательства найдите вторую боковую сторону. Если известно верхнее основание и диагональ, то сторону найдите обычным образом с использованием стандартной теоремы косинусов:
c^2=а^2+b^2-2ab cos ?, где а, b, с — стороны треугольника, ? — угол между сторонами а и b.

Трапеция представляет собой обычный четырехугольник, обладающий добавочным свойством параллельности двух своих сторон, которые называются основаниями. Поэтому этот вопрос, во-первых, следует понимать с точки зрения отыскания боковых сторон. Во-вторых, для задания трапеции
требуется не менее четырех параметров.

Инструкция

В данном конкретном случае самым общим ее заданием (не избыточным) следует считать условие: даны длины верхнего и нижнего оснований, а также вектор одной из диагоналей. Индексы координат (дабы написание не было похоже на умножение) будут выделены курсивом).Для графического изображения процесса решения постройте рисунок 1.

Пусть в представленной задаче рассматривается трапеция AВCD. В ней даны длины оснований ВC=b и АD=a, а также диагональ АС, заданная вектором p(px, py). Его длина (модуль) |p|=p=sqrt(((px)^2 +(py)^2). Так как вектор задается еще и углом наклона к оси (в задаче — 0X), то обозначьте его через ф (угол CAD и параллельный ему угол ACB). Далее необходимо применить известную со школьной программы теорему косинусов. При этом искомую величину (длины CD или АВ при составлении уравнения обозначьте через х).

Теперь рассмотрите треугольник ABC. Длина стороны
АС равна модулю вектора |p|=p. BC=a. По теореме косинусов x^2=p^2+ a^2-2pacosф. х=AB=sqrt(p^2+ a^2-2pacosф).

Хотя квадратное уравнение и имеет два корня, в данном случае необходимо выбрать лишь те, где перед корнем из дискриминанта стоит знак плюс, при этом заведомо исключив отрицательные решения. Это обусловлено тем, что длина стороны
трапеции
должна быть заведомо положительной.

Итак, искомые решения в виде алгоритмов решения данной задачи получены. Чтобы представить числовое решение остается подставить данные из условия. При этом cosф вычисляется, как направляющий вектор (орт) вектора p=px/sqrt(px^2+py^2).

Обратите внимание

Конечно, возможны и другие исходные данные, например задание двух диагоналей и высоты трапеции. Но в любом случае вам потребуется информация о расстоянии между основаниями трапеции.

Трапеция — геометрическая фигура с четырьмя углами, две стороны которой параллельны друг другу и называются основаниями, а две другие — не параллельны и называются боковыми.

Инструкция

Рассмотрим две задачи с разными начальными данными.Задача 1.Найдите боковую сторону
равнобедренной трапеции
, если известно основание
BC = b, основание
AD = d и угол при боковой стороне BAD = Альфа.Решение:Опустите перпендикуляр (высоту трапеции
) из вершины B до пересечения с большим основание
м, получите отрезок BE. Запишите AB по формуле через величину угла: AB = AE/cos(BAD) = AE/cos(Альфа).

Найдите AE. Оно будет равно разности длин двух оснований, деленной пополам. Итак: AE = (AD — BC)/2 = (d — b)/2.Теперь найдите AB = (d — b)/(2*cos(Альфа)).В равнобедренной трапеции
длины боковых сторон равны, следовательно, CD = AB = (d — b)/(2*cos(Альфа)).

Задача 2.Найдите боковую сторону
трапеции
AB, если известно верхнее основание
BC = b- нижнее основание
AD = d- высота BE = h и угол при противоположной боковой стороне CDA равен Альфа.Решение:Проведите вторую высоту из вершины C до пересечения с нижним основание
м, получите отрезок CF. Рассмотрите прямоугольный треугольник CDF, найдите сторону
FD по следующей формуле: FD = CD*cos(CDA). Длину боковой стороны CD найдите из другой формулы: CD = CF/sin(CDA). Итак: FD = CF*cos(CDA)/sin(CDA). CF = BE = h, следовательно, FD = h*cos(Альфа)/sin(Альфа) = h*ctg(Альфа).

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABE. Зная длины его сторон AE и BE, вы можете найти третью сторону
— гипотенузу AB. Вам известна длина стороны BE, AE найдите следующим образом: AE = AD — BC — FD = d — b — h*ctg(Альфа).Используя следующее свойство прямоугольного треугольника — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — найдите AB:AB(2) = h(2) + (d — b — h*ctg(Альфа))(2).Значение боковой стороны трапеции
AB равно квадратному корню из выражения, расположенного в правой стороне равенства.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Трапеция — математическая фигура, четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, а другая — нет. Площадь трапеции — одна из основных числовых характеристик. Инструкция1Основная формула подсчета площади трапеции выглядит…

Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием…

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
…

Трапеция — четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне. Инструкция1Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон двух оснований…

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара — нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции, две другие — боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при…

Трапеция, в которой длины боковых сторон равны, а основания параллельны, называется равнобедренной или равнобокой. Обе диагонали в такой геометрической фигуре имеют одинаковую длину, которую в зависимости от известных параметров трапеции можно…

Геометрия — наука, которую начинают изучать еще в школе. Ошибочно думать, что она никак не пригодится в жизни. Иногда необходимы точные размеры фигур, чтобы сделать, к примеру, WEB-дизайн помещения. А фигуры встречаются разные, в том числе и трапеции. Часто надо найти значения их боковых сторон или основания. Давайте в подробностях рассмотрим, как найти боковую сторону данного четырехугольника различной формы, если известны его углы, основания, диагонали, площадь и т.п.

Как найти боковую сторону трапеции, если известны основания?

Трапеция — это четырёхугольник, у которого параллельны лишь две стороны. И эти не пересекающиеся отрезки называются основаниями данной фигуры. Трапеции бывают различных вариантов:

• Равнобокие — это те, у которых боковые стороны равны.
• Прямоугольные — имеют у основания один прямой угол.
• Остроугольные, разносторонние — с двумя острыми углами у основания.
• Тупоугольные, разносторонние — с одним тупым углом у основания.

Рассмотрим вариант нахождения боковой стороны (высоты) прямоугольной трапеции, если вам даны значения оснований.

Чтобы решить данную задачу, вам понадобится сделать следующее:

• Проведите вторую высоту — ВН в четырехугольнике.
• Получившийся отрезок ВН = СД, так как основание ВС параллельно АД.
• Образовавшийся треугольник АВС — равнобедренный, ведь АС — биссектриса, соответственно углы у основания равны и АВ = СВ = 10 см.
• Рассмотрим треугольник АВН, фактически у нас известны две стороны его: ВА и АН. АН = АД — CD = 16 — 10 = 6 см.
• Отсюда по теореме Пифагора: ВН² = АВ² — НА² = 64; ВН = 8 см, соответственно и СД тоже равно 8 сантиметров.

Кроме того, если вам известен угол ВАД, то СД = (АД — ВС) tg α либо СД = АВ sin α.

Большая боковая сторона рассчитывается по следующим формулам:

• АВ² = СД² + (АД — ВС)²
• АВ = (АД — ВС)/cos ∠ВАН
• АВ = CД/sin ∠ВАН

Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции, если известны диагонали, площадь, средняя линия?

Если обозначить высоту трапеции — b, большую боковую сторону — c, основания — a и к, диагонали — d1 и d2. Больший угол между ними β, меньший — α, то высоту (боковую сторону трапеции) можно найти по следующим формулам:

b = d2 d1/ (a + к) sin α;

или же b = d2 d1/ (a + к) sin β

Для того чтоб определить b — меньшую сторону прямоугольной трапеции, с — большую сторону фигуры, с известными данными S — площадью, n — средней линией, применяйте следующие расчеты:

b = S/n = 2S/ (a + к)

с = S/n sin α = 2S/ (a + к) sin α

Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции?

Итак, у равнобокой трапеции АВ = DC. Если вам даны различные величины, то боковые стороны можно найти по нижеприведенным формулам:

• если известны высота — h и угол — α, то АВ = DC = h/ sin α;
• если даны значения оснований и угол — α , то АВ = DC = (a — b)/ cos α;
• если даны диагонали d и основания, то АВ² = DC² = d² — b a;
• если известны значения средней линии — l, площадь — S, углы — α либо — β (вверху возле основания b, то АВ = DC = S/ l sin α = S/ l sin α.

АВ = DC = S/ (b + a) sin α = S/ (b + a) sin β

В дальнейшем, если вы выучите формулы и научитесь верно рисовать чертежи данных фигур, то решить задачку по геометрии вам не составит труда. Ведь по правильной картинке ответ задачи практически виден сразу.