Как найти площадь боковой линии пирамиды - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формула площади боковой поверхности пирамиды произвольного типа и правильной: пример задачи

Каждый человек слышал о великих египетских каменных сооружениях, главным из которых является пирамида Хеопса. В курсе стереометрии рассматривают характеристики различных пирамид. Одним из важных параметров фигуры является площадь боковой поверхности. По какой формуле боковой поверхности площадь пирамиды следует рассчитывать, расскажет данная статья.

Что собой представляет пирамида в геометрии?

Прежде чем говорить о пирамиде и формуле площади боковой поверхности, дадим определение самой фигуры. Под ней полагают объемный многогранник, состоящий из одного n-угольного основания и n треугольников. Все треугольники имеют одну общую с основанием сторону, а также пересекаются в точке, которая называется вершиной. Ниже показана произвольная четырехугольная пирамида:

Вам будет интересно:Генералы чеченской войны: пофамильный список, краткая биография и фото

Получить пирамиду достаточно просто. Для этого необходимо выбрать плоский многоугольник и соединить все его вершины с единственной точкой пространства. Обязательное условие — эта точка не должна лежать на плоскости.

Любая пирамида состоит из:

граней, которых у нее n+1 штука;
вершин (n+1 штука);
ребер (2*n штук).

Причем все названные элементы бывают двух типов: те, которые относятся к основанию, и те, которые принадлежат боковой поверхности.

Параметры боковой поверхности для фигуры произвольного типа

Как находить площадь (формула представлена ниже) поверхности боковой грани рассматриваемой фигуры? Ответить на этот вопрос несложно, если знать, что боковая поверхность образована n треугольниками. Это означает, что достаточно для каждого из них вычислить площадь, а затем сложить полученные значения и результатом будет искомый показатель. Тем не менее, сделать это не всегда просто для пирамиды произвольного типа. Приведем пример. Ниже рисунок демонстрирует три пирамиды, которые называются четырехугольными наклонными.

С первого взгляда видно, что все боковые треугольники являются разными. Это означает, что для определения их площадей необходимо знать все стороны основания и высоту каждого треугольника. Она называется «апофемой». Если апофему i-го треугольника обозначить символом hi, а длину соответствующей стороны основания назвать ai, тогда получим для общего типа пирамиды формулу боковой поверхности площади:

S = 1/2*∑i=1n(hi*ai).

Таким образом, для вычисления величины S фигуры произвольного типа необходимо знать 2*n ее параметров.

Правильные пирамиды и их боковая поверхность

Приведенная в предыдущем пункте формула площади поверхности пирамиды общего типа принимает конкретный вид для правильных фигур. Правильной называется та пирамида, которая содержит в основании равностороннюю и равноугольную фигуру, а ее высота попадает точно в центр основания. На рисунке ниже показан набор правильных пирамид, изготовленных из бумаги:

Тот факт, что все треугольники боковой поверхности являются равнобедренными и равны между собой для правильной пирамиды, значительно облегчает расчет площади поверхности ее боковины. Длину стороны основания обозначим буквой a, а апофему — h1, тогда для пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

S = 1/2*n*a*h1.

Важно не путать величину h1 в формуле с высотой h пирамиды. Апофема h1 и высота h связаны единым равенством через длину основания для любой правильной пирамиды.

Задача на вычисление боковой поверхности треугольной пирамиды

Известно, что треугольная правильная пирамида имеет высоту 43 см и длину основания 12 см. Чему равна площадь ее боковой поверхности?

Рассмотрев прямоугольный треугольник внутри этой пирамиды, который образован сторонами h1, h и 1/3 высоты основания, получаем:

h1 = √(h2 + a2/12) = √(432+122/12) = 43,14 см.

Теперь осталось применить записанную выше формулу для S, учитывая при этом, что n=3. Получаем:

S = 1/2*n*a*h1 = 1/2*3*12*43,14 = 776,52 см2.

Записанная формула определения апофемы через высоту справедлива только для треугольной правильной пирамиды.

Автор:

25-12-2018 14:50

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях

Источник

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

правильная;
усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два — большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa ( P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*( p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.


Площадь	Формула
основание	S_осн. = a²
боковая поверхность	S_бок. = 2aL

полная	S_полн. = a² + 2aL

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Источник

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды: $S_bok={1/2}*15*5=37,5{cm}^2$

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу: $S={1/2}*4*2=4{cm}^2$
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:
S=3S_gr
$S=3*4=12{cm}^2$

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:
$S=1/2{(p_1+p_2)}a$

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь: $S=1/2 {(20+12)}*4={32/2}*4=64{cm}^2$

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Источник

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Формулы для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды

Через периметр и апофему $S_{text {бок }}=frac{1}{2} P L$, где:

P — периметр основания

L — апофема пирамиды

Через стороны и высоту $S=frac{n cdot a}{2} sqrt{h^{2}+left(frac{a}{2 cdot operatorname{tg}left(frac{180^{mathrm{e}}}{n}right)}right)^{2}}$, где:

a — сторона основания

h — высота пирамиды

n — число сторон

Источник