Как найти площадь боковой поверхности цилиндра развертка - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Учебники
6 класс
Математика 👍
Мерзляк
№770

авторы: Мерзляк, Полонский, Якир.

издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Математика 6 класс Мерзляк. Номер №770

Предыдущее
Следующее

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, развертка которого изображена на рисунке 66 (длины отрезков даны в сантиметрах).

reshalka.com

Математика 6 класс Мерзляк. Номер №770

Решение

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

=
2

r
l
=
2

∗
5
∗
7
=
70

≈ 219,8

Предыдущее
Следующее

Нашли ошибку?

Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом

Источник

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр — круговой если в основании его лежит круг.

Площадь боковой поверхности цилиндра оказывается очень простой на практике, если взглянуть на его развертку.

Боковая поверхность цилиндра, как ясно видно из рисунка, представляет собой прямоугольник, измерениями которого являются длина окружности по основанию и высота цилиндра. Sб.п.=Lh=2πrh

Для того чтобы найти площадь полной поверхности необходимо будет прибавить к площади боковой два основания, которые у цилиндра имеют форму круга:
Sп.п.=Sб.п.+Sосн.=2πrh+2πr2=2πr(h+r)

Анимационная развертка цилиндра на составляющие.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Многогранники
Цилиндр

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.

Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.

Прямая АD — ось цилиндра.

Отрезок АD — высота цилиндра.

Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника).

Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра.

Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС и состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра (АD).

Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).

Определение

Цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство:

Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.

Любая секущая плоскость, параллельная плоскости, на которой стоят цилиндр и призма, дает в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объем цилиндра равен объему призмы. Но объем призмы равен Sh. Поэтому и объем цилиндра равен Sh, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА₁D₁, стороны АD и А₁D₁ которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Сторона АА₁ прямоугольника АDА₁D₁ равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА₁ = 2r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА₁D₁ равна 2rh.

Площадь S_бок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. S_бок = 2rh.

Советуем посмотреть:

Предмет стереометрии

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Многогранник

Призма

Параллелепипед

Объём тела

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Пирамида

Конус

Сфера и шар

Многогранники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1215,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1217,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1224,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1244,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1246,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1247,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1310,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Этот онлайн калькулятор площади боковой поверхности цилиндра поможет быстро и точно найти площадь только боковой поверхности цилиндра. При этом площадь оснований цилиндра не учитывается.
Калькулятор площади боковой поверхности цилиндра позволяет сделать расчет двумя различными способами. Выбор которго зависит от предоставленных данных о цилиндре.
Сделав расчет площади боковой поверхности цилиндра на этом калькуляторе Вы получите детальное пошаговое решение с выводом формул и промежуточных результатов, и также полный ответ.

Калькулятор
Инструкция
Теория
История
Сообщить о проблеме

Распечатать

Способ расчета площади боковой поверхности цилиндра:

Диаметр d:
Высота h:

Площадь боковой поверхности цилидра в развретке предстваляет из себя прямоугольник.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
где d — диаметр основания, h — высота цилиндра.

Решение:

S = π·d·h

= π·10.01·30.01

= π·300.4001

= 300.4·π

943.707

Ответ: Площадь боковой поверхности цилидра с диаметром основания 10.01 и высостой 30.01 равна 943.707

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра. Две параллельные поверхности называются основаниями цилиндра.

Площадью боковой поверхности цилидра является прямоугольник, который получается путем развертки боковой поверхности в плоскость.

Скачать все формулы нахождения площади поверхности цилиндра в формате Word/PDF

Похожие калькуляторы

Площадь поверхности цилиндра онлайн калькулятор (2 способа)
Объём цилиндра онлайн калькулятор (3 способа)
Площадь поверхности призмы онлайн калькулятор
Площадь поверхности параллелепипеда онлайн калькулятор
Площадь поверхности цилиндра онлайн калькулятор (2 способа)

Калькуляторы других категорий

Деление в столбик онлайн. Калькулятор наглядного деления.
Сторона треугольника 14 формул расчет онлайн
Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн
Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления
Умножение в столбик онлайн. Калькулятор наглядного умножения.

Ваша оценка?

Источник

На этой странице вы узнаете

Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?
Как лист бумаги превратить в цилиндр?

Что общего у джентльмена 19 века, Вилли Вонка из «Чарли и шоколадная фабрика», Шерлока Холмса в экранизации «Безобразная невеста» и некоторых сценических костюмов? Цилиндр! О нем, вернее о фигуре цилиндра и поговорим в статье.

Понятие цилиндра

Сейчас мы говорим про мужской головной убор, который был популярен в 19 веке и стал достаточно узнаваем в массовой культуре. Оказывается, в математике также существует цилиндр. И они похожи по форме.

Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Возможно, для уточнения некоторых терминов вам захочется заглянуть в статью «Тела вращения».

Если посмотреть на форму шляпы, то она действительно будет похожа на геометрическую фигуру. Встретить цилиндр можно и в наше время. Обычная кружка является цилиндром.

Прямая, вокруг которой мы крутили прямоугольник, чтобы получить цилиндр, — это ось цилиндра.

Также, как у Земли есть ось вращения, она есть и у цилиндра.

Наша кружка стоит на круглом дне. Это дно, как и самый верх кружки, будут называться основаниями цилиндра.

Снова посмотрим на стенки кружки. В цилиндре эта поверхность будет называться цилиндрической поверхностью. Ее также могут называть боковой поверхностью цилиндра.

Представим, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями. Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований.

Все образующие, — а в цилиндре их очень-очень много, —лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность и состоит из множества образующих.

Узнаем ширину кружки. Для этого нужно измерить радиус дна. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра.

Теперь найдем высоту кружки. Для этого нужно измерить расстояние от дна до самого верха кружки.

В математике это будет расстоянием между плоскостями, а ищется оно как длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Подробнее про это можно прочесть в статье «Расстояния между фигурами».

Высота цилиндра — перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость второго основания.

Свойства цилиндра

Рассмотрим, какими свойствами обладает цилиндр.

Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны.

Это всегда два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.

Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны.

Поскольку все образующие перпендикулярны основаниям, то они параллельны между собой по свойству прямой и перпендикулярной ей плоскости. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Углы в пространстве».

А равны они потому, что являются перпендикуляром к основаниям, то есть равны высоте цилиндра.

Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, является прямоугольником. Такое сечение в цилиндре будет называться осевым сечением цилиндра.

Например, если разрезать тортик по диаметру, то место среза как раз будет прямоугольником.

Подробности про сечения фигур можно найти в статье «Сечения».

Свойство 4. Сечение цилиндра, проходящее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно его основаниям, будет являться прямоугольником.

Свойство 5. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, является кругом с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра.

Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?

Если налить в кружку воду, то ее поверхность примет круглую форму. При этом совершенно без разницы, сколько воды наливать: поверхность останется кругом.

Поскольку поверхность воды параллельна дну кружки, то есть основаниям цилиндра, то она является перпендикулярным сечением цилиндра.

Этим опытом можно подтвердить свойство 5.

Заметим, что все вышеописанные свойства относятся к прямому цилиндру.

Цилиндр также может быть наклонным. В этом случае ось цилиндра и его образующие не будут перпендикулярны основаниям.

Если мы разрежем поверхность цилиндра по одной из его образующих и как бы “развернем” ее, у нас получится прямоугольник.

Это также легко увидеть, если вспомнить художников с тубусами. Тубус имеет форму цилиндра, и свернутый прямоугольный лист принимает такую же форму.

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а вторая — длине окружности его основания.

Как лист бумаги превратить в цилиндр?

Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, то любой лист бумаги можно превратить в цилиндр. Для этого достаточно скрутить его в трубочку. При этом чем тоньше будет трубочка, тем меньше будет радиус цилиндра.

Формулы цилиндра

А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти его площадь. Нам нужно умножить его длину на высоту. Так мы получаем площадь боковой поверхности цилиндра.

(S_{бок.} = 2 pi RH)

В этой формуле 2R — длина окружности основания, где R — его радиус, а Н — образующая (или высота) цилиндра. Подробнее про площадь прямоугольника и длину окружности (а также про площадь круга) можно прочесть в статьях «Параллелограмм» и «Окружность и круг».

Мы нашли площадь боковой поверхности. Как же теперь найти площадь полной поверхности?

Для этого нужно сложить площади боковой поверхности и оснований. Следовательно, мы получаем следующую формулу.

(S = S_{бок.} + 2S_{осн.} = 2 pi RH+2 pi R^2 = 2 pi R(H + R))

Допустим, мы решили сделать чашку очень вкусного чая, но чтобы правильно его заварить нам нужно знать точный объем воды. Для этого вычислим объем цилиндра. Воспользуемся следующей формулой:

(V = S_{осн.}H = pi R^2H)

В этой формуле R — радиус цилиндра, Н — высота.

Часто формулу объема можно применить для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду.

Пример 1. В цилиндрическом сосуде налито 1650 см³ жидкости. В этот сосуд опустили деталь. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.

Решение.

Шаг 1. Выразим высоту жидкости в первый и второй раз. Пусть вначале уровень жидкости был равен х, значит после того, как в нее опустили деталь, он стал равен 1,2х.

Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после того, как в него опустили деталь, будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = V_ж + V_д.

Шаг 3. С помощью объема жидкости выразим площадь основания сосуда:

V_ж = S_осн.H
1650 = S_осн.x
(S_{осн} = frac{1650}{x})

Шаг 4. Подставим площадь основания в формулу объема жидкости после того, как в нее опустили деталь:

(V = S_{осн.}H = frac{1650}{x} * 1,2x = 1980)

Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:

V_д = V — V_ж
V_д = 1980 — 1650 =330

Ответ: 330 см³

Фактчек

Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр может быть прямым и наклонным. В наклонном цилиндре ось не перпендикулярна основаниям цилиндра.
Цилиндр состоит из двух оснований и цилиндрической поверхности (боковой поверхности цилиндра). Основания имеют форму кругов, равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Развертка боковой поверхности имеет форму прямоугольника.
Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований. В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра.
Осевое сечение цилиндра проходит через его ось и является прямоугольником. Любое сечение, параллельное осевому, также будет являться прямоугольником. Перпендикулярное сечение проходит перпендикулярно оси цилиндра и параллельно его основаниям. Перпендикулярное сечение имеет форму круга.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое образующая цилиндра?

Ось вращения, с помощью которой получен цилиндр.
Диаметр оснований цилиндра.
Любой перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
Отрезок, соединяющий точки окружности основания.

Задание 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется 44. Его радиус равен 8. Найдите высоту цилиндра.

2,75
5,5
(2,75 pi)
2

Задание 3.
Площадь основания цилиндра равна 16. Его высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

64
(64 pi)
32
(32 pi)

Задание 4.
Объем цилиндра равен 28, а его высота равняется 7. Найдите диаметр основания.

Ответы: 1. – 4 2. – 1 3. – 2 4. – 1

Источник