Как найти площадь боковой поверхности наклонной призмы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

ВИДЕОУРОК

Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не
перпендикулярны к плоскости основания.

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые
углы со сторонами основания, которые выходят из его одного конца, то проекция
ребра на плоскость основания будет биссектрисою соответственного угла основания.

Если в наклонной призме две смежные боковые грани образуют
одинаковые двугранные углы с основанием, то проекция на основание бокового
ребра, которое принадлежит линии пересечения двух граней указанных двугранных углов,
будет биссектрисою угла основания.

Поверхность наклонной призмы.

Боковою поверхностью наклонной призмы называется сумма
площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью наклонной призмы называется сумма её боковой
поверхности и площадей оснований.

S_п = S_б + 2S_осн.

Боковая поверхность наклонной призмы равна произведению
периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

S_б = P_пер × AA₁,

где P_пер – периметр сечения, перпендикулярного к боковому
ребру.

ЗАДАЧА:

В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра. Найдите площадь
боковой поверхности призмы, если периметр сечения равен р,
а боковое ребра равно l.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в наклонной призме
проведено сечение, перпендикулярное боковым рёбрам, и пересекающее все боковые
рёбра (сечение KLM). Плоскость
проведенного сечения разбивает призму на две части.

Применим к одной из них параллельное
перемещение, которое совмещает основания призмы. При этом получим прямую
призму, основанием которой будет сечение данной призмы, а боковые ребра равны l. Эта
призма имеет туже самую боковую поверхность, что и данная. Таким образом, площадь
боковой поверхности данной призмы равна рl.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме боковые
рёбра равны 8
см; стороны перпендикулярного сечения относятся как

9 : 10 : 17,

а его площадь равна 144
см². Найдите
боковую поверхность этой призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть дана призма АС₁;

АА₁ = ВВ₁ =
СС₁ =
8 см,

А₂В₂С₂ – перпендикулярное сечение призмы, притом

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂ А₂ = 9 : 10 : 17 і

Необходимо определить боковую
поверхность призмы:

S_бок = (А₂В₂ + В₂С₂ + С₂ А₂) × АА₁.

По условию задачи

АА₁ =
8 см, а

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂ А₂ = 9 : 10 : 17.

Обозначим:

А₂В₂ = 9х, В₂С₂ = 10х, С₂А₂ = 17х.

Тогда по формуле Герона площадь
перпендикулярного сечения будет равно:

а по условию она равна 144
см²,
то есть

36х² =
144, откуда х = 2 см.

В таком случае

А₂В₂ + В₂С₂ + С₂ А₂

= 36х = 72 см,

то есть

S_бок = 72 × 8 см² = 576 см².

ОТВЕТ: 576 см²

Задания к уроку 3

Задание 1
Задание 2
Задание 3

Другие уроки:

Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
Урок 2. Прямая призма
Урок 4. Правильная призма
Урок 5. Параллелепипед
Урок 6. Прямругольный параллелепипед
Урок 7. Куб
Урок 8. Пирамида
Урок 9. Правильная пирамида
Урок 10. Усечённая пирамида
Урок 11. Цилиндр
Урок 12. Вписанная и описанная призмы
Урок 13. Конус
Урок 14. Усечённый конус
Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
Урок 16. Сфера и шар
Урок 17. Комбинация тел

Источник

Многогранник, две грани которого равные -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные граней – параллелограммы, называют -угольной призмой.

Два -угольника называют основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями. Стороны граней называют ребрами призмы, а концы ребер – вершинами призмы.

На рисунке 9.41 изображена пятиугольная призма, на рисунке 9.42 – треугольная, а на рисунке 9.43 – четырехугольная.

На рисунке 9.42 треугольники и – основания призмы , параллелограммы , , – боковые грани, отрезки , , – боковые ребра, отрезки , , , , , – ребра оснований, точки , , , , , – вершины призмы.

Если грани призмы не имеют общего ребра, то их называют противоположными, если грани имеют общее ребро, то – смежными. На рисунке 9.43 грани и , и , а также и являются противоположными, а, например, грани и – смежными.

Две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называют противоположными. Например, на рисунке 9.43 вершины и – противоположные.

Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины (например, диагональ на рисунке 9.41).

Треугольная призма не имеет противоположных граней, не имеет противоположных вершин и не имеет диагоналей.

Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям ее оснований (рис. 9.42). Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Наклонной призмой называют призму, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям ее оснований (рис. 9.41 и 9.43). Боковые грани наклонной призмы – параллелограммы (некоторые боковые грани могут быть и прямоугольниками).

Высотой призмы называют перпендикуляр, заключенный между основаниями призмы. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра (рис. 9.42), высота наклонной призмы – не равна (рис. 9.41 и 9.43).

Диагональным сечением призмы называют сечение, содержащее диагональ призмы. На рисунке 9.44 построены диагональные сечения и четырехугольной призмы .

Параллелепипедом называют призму, основание которой – параллелограмм (рис. 9.44).

Прямым параллелепипедом называют параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям его оснований (рис. 9.45).

Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. На рисунке 9.46 изображен прямоугольный параллелепипед.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

, (9.1)

где , , – длины ребер, выходящих из одной вершины, – диагональ параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле:

. (9.2)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба – квадраты (рис. 9.47).

Объем куба с ребром находят по формуле:

. (9.3)

Площадь поверхности куба с ребром находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=6a^2$ . (9.4)

Диагональ куба с ребром а находят по формуле:

. (9.5)

Объем прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.7)

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=P_{o.} cdot h$ . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.9)

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ , (9.10)

а также по формулам:

$LaTeX formula: V=S_{c.} cdot l$ , (9.9.1)

$LaTeX formula: S_{delta.}=P_{c.} cdot l$ , (9.10.1)

где сечение, перпендикулярное ребру (рис. 9.48).

Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.

Пример 1. Найдите объем и площадь поверхности куба, зная, что его диагональ см.

Решение. Согласно формуле 9.5 и см. По формуле 9.3 $LaTeX formula: V=(2sqrt{3})^2=24sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ), а по формуле 9.4 $LaTeX formula: S_{n.}=6 cdot (2sqrt{3})^2=72$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ; $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

Пример 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна , а его измерения относятся как .

Решение. Согласно условию задачи запишем измерения параллелепипеда: , , .

Согласно свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда 9.1, получим: , , откуда . Тогда , , .

Зная три измерения параллелепипеда, по формуле 9.2 найдем его объем: .

Ответ: .

Пример 3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами см и см. Высота призмы равна см. Найдите площадь поверхности и объем призмы.

Решение. 1. Площадь треугольника с катетами и найдем по формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}ab$ . Получим: $LaTeX formula: S=frac{1}{2} cdot 10 cdot 8=40$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

2. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: (см).

3. Площадь боковой поверхности призмы найдем по формуле 9.8 : $LaTeX formula: S_{delta .}=(10+8+2sqrt{41}) cdot 8=16(9+sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

4. Согласно формуле 9.7 , найдем площадь полной поверхности призмы:

$LaTeX formula: S_{n.}=2 cdot 40+16(9+sqrt{41})=16(14+sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

5. Объем призмы найдем по формуле 9.6 :

( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ; $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 4. Объем наклонной треугольной призмы равен , а боковое ребро . Правильный треугольник – сечение, перпендикулярное боковому ребру (рис. 9.49). Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение. 1. Согласно формуле 9.9.1 запишем: $LaTeX formula: 270=S_{c.} cdot 10$ , откуда $LaTeX formula: S_{c.}=27$ .

2. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ . Тогда $LaTeX formula: 27=frac{sqrt{3}a^2}{4}$ , $LaTeX formula: a^2=9cdot 4cdot sqrt{3}$ , .

3. Найдем периметр треугольника : .

4. Согласно формуле 9.10.1 , найдем площадь боковой поверхности призмы: $LaTeX formula: S_{delta.}=18sqrt[4]{3} cdot 10=180sqrt[4]{3}$ .

Ответ: .

Пример 5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна см, а диагонали его боковых граней равны см и см. Определите объем параллелепипеда.

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед (рис. 9.50), где , и его измерения; см – диагональ.

Согласно свойству 9.1 . Рассмотрим треугольник . Так как см, то . Рассмотрим треугольник . Так как см, то .

Запишем и решим систему уравнений $LaTeX formula: begin{cases} a^2+b^2+c^2=36, \ b^2+c^2=16, \ a^2+c^2=25 . end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим и получим: . Из третьего уравнения выразим и получим: .

Подставим полученные значения и в первое уравнение системы и найдем значение :

, , см.

Зная , определим значения и :

, см; , см.

Согласно формуле 9.2 найдем объем параллелепипеда: ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 6. Определите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ , а сторона основания равна .

Решение. Согласно условию задачи основанием призмы является квадрат со стороной (рис. 9.51).

Так как отрезок является проекцией диагонали призмы на грань , то угол является углом наклона диагонали призмы к плоскости боковой грани и $LaTeX formula: angle AB_1D=30^{circ}$ .

Рассмотрим треугольник . По свойству катета лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ запишем .

Так как согласно свойству 9.1 диагонали прямоугольного параллелепипеда , то , , .

Найдем объем призмы по формуле 9.9 :

Ответ: .

Пример 7. Найдите объем правильной шестиугольной призмы (рис. 9.52), зная, что большая диагональ призмы равна и образует с плоскостью основания призмы угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ .

Решение. Рассмотрим большее диагональное сечение призмы и прямоугольный треугольник . Поскольку диагональ призмы и образует с плоскостью основания угол $LaTeX formula: 30^{circ}$ , то катет , лежащий против угла $LaTeX formula: 30^{circ}$ , равен половине гипотенузы, следовательно, высота призмы .

Из теоремы Пифагора: , , .

Так как в основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной , то и $LaTeX formula: a=frac{sqrt{3}}{2}$ .

По формуле $LaTeX formula: S=frac{3sqrt{3}a^2}{2}$ найдем площадь основания призмы: $LaTeX formula: S_{o.}=frac{9sqrt{3}}{8}$ .

По формуле 9.9 найдем объем призмы: $LaTeX formula: V=frac{9sqrt{3}}{8}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{9sqrt{3}}{8}$ .

1. Треугольная призма не имеет диагоналей.

2. Различайте прямую и наклонную призму: у наклонной призмы – боковые грани параллелограммы, у прямой призмы – боковые грани прямоугольники.

3. Если основание призмы – параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат), то такую призму называют параллелепипедом. Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

Источник

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Тема: Многогранники

Урок: Многогранники. Призма. Задачи на призму

Тема и цели урока

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Повторение, призма

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁, ее основания ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁. Пятиугольники ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁ равны и лежат в параллельных плоскостях.

Рис. 1

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁:

ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁ – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, CC₁D₁D, DD₁F₁F, FF₁A₁A. А боковыми ребрами – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, FF₁.

Прямая призма

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁ (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.

Рис. 2

Параллелепипед

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁.

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁(рис. 4). Если ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD, то параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение: ABCDA₁B₁C₁D₁или кратко AC₁.

Правильная призма

Определение. Правильной n-угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n-угольник.

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA₁B₁C₁ (рис. 5). Призма ABCA₁B₁C₁ – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок= Р_осн∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, боковые грани АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ АА₁ + ВС∙ ВВ₁ + СА∙ СС₁ = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок= Р_осн∙ h, что и требовалось доказать.

Задача 1

В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – призма,

АА₁ ⊥ АВС,

h = АА₁ = 15см,

АВ = BC = CA = a = 10 см.

Найти: S_бок, S_полн.

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

S_бок = P_осн ∙ h = P_АВС ∙ АА₁ = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (см²).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его площадь.

(см²)

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

(см²).

Ответ: (см²).

Задача 2

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано: призма ABCDA₁B₁C₁D₁(рис. 7),

АА₁ = 12 см,

перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: S_бок

Рис. 7

Решение:

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

(см²).

Ответ: 240 см².

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма,

AA₁ ⊥ ABC,

AB ∥ CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

h_трап= 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC₁(рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC₁. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС₁. Так как ребро СC₁ перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC₁ перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC₁.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА₁ – это угол ВAD, при ребре DD₁ – ∠ADC, при ребре BB₁ – ∠ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм. Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, ∠HAD = ∠HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠DCB = ∠СDA = 45°, ∠DAB = ∠ABC = 180° — 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

Список литературы

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Физ/мат класс (Источник).
5klass.net (Источник).
Ppt4web.ru (Источник).
Якласс (Источник).
Rutube.ru (Источник).

Домашнее задание

У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см², 2 см², 3 см². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
Найдите площадь поверхности правильной n-угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.

Источник

При изучении стереометрии в старших классах школ рассматривают свойства фигур в пространстве. Одним из основных свойств является объем, однако иногда возникают геометрические проблемы, которые требуют вычисления площадей поверхностей фигур. В данной статье рассмотрим конкретный вопрос: по какой формуле площадь боковой поверхности треугольной призмы можно найти?

Треугольная призма

Для начала разберемся, какая фигура будет рассмотрена в статье. Призма — это такой геометрический объект, который состоит из двух одинаковых и параллельных многоугольных граней и нескольких произвольных параллелограммов, которые указанные грани соединяют между собой. Построить призму несложно. Для этого достаточно взять n-угольник плоский и параллельно самому себе перенести его в другую плоскость. В процессе переноса стороны n-угольника опишут все параллелограммы фигуры, совокупность которых образует боковую поверхность призмы. Сами же n-угольники называются ее основаниями.

Здесь мы не будем рассматривать все возможные виды призм, а сосредоточим свое внимание на треугольной фигуре. Несложно догадаться, что под ней понимают такую призму, n-угольные основания которой являются треугольниками. Причем треугольники могут быть самой разной формы, включая равнобедренные и равносторонние.

Таким образом, треугольная призма образована пятью гранями (2 треугольника и 3 параллелограмма). Фигура имеет 6 равноправных вершин и 9 ребер двух видов: ребра основания и ребра боковой поверхности. Выше показан пример такой призмы.

Виды призм треугольных

Рассматриваемая фигура является самой простой среди призм, поскольку треугольник — это основание с наименьшим возможным количеством сторон. Любая треугольная призма является выпуклой. В общем случае можно выделить три вида этой геометрической фигуры:

наклонная;
прямая;
правильная.

Чтобы понимать разницу между указанными видами, следует обратить внимание на тип основания и боковых сторон. Так, если боковые стороны являются параллелограммами общей формы или ромбами, то призма однозначно будет наклонной. Если же боковые все грани образованы прямоугольниками или квадратами, то перед нами прямая призма. Последняя может быть также правильной, если все три прямоугольника являются одинаковыми. Другой критерий правильности прямой фигуры состоит в том, что у нее правильным является основание, то есть оно образовано треугольником с равными сторонами.

Далее рассмотрим формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной.

Наклонная призма

Речь идет о треугольной фигуре произвольного вида. Вычислить площадь боковой поверхности для нее сложнее всего, поскольку высота h фигуры (дистанция между основаниями) не совпадает с длиной бокового ребра b.

Если возникает задача определения площади поверхности (боковой) такой призмы, то поступают следующим образом: сначала делают воображаемый срез фигуры, который должен быть перпендикулярен всем боковым ребрам и граням. Затем рассчитывают периметр этого среза. В данном случае речь идет о периметре треугольника. Предположим, что он равен P_sr. Площадь боковой поверхности определяется путем умножения величины P_sr на сторону b, то есть имеет место следующая формула:

S_b = P_sr× b

Прямая призма

Как выше было сказано, поверхность боковая этой призмы образована тремя прямоугольниками. Две стороны этих прямоугольников являются одинаковыми, они равны длине бокового ребра b, которое также является высотой h фигуры. Что касается оставшихся двух сторон, то они могут отличаться. Эти стороны являются сторонами оснований. Обозначим их символом a_i, где i = 1, 2, 3. Тогда формула площади поверхности боковой прямой треугольной призмы запишется так:

S_b = b × ∑_i=1³a_i

Многие могли заметить, что данное выражение не отличается от аналогичного для призмы наклонной, ведь сумма трех сторон a_i является периметром основания. Это связано с тем, что для прямой фигуры основание является перпендикулярным боковым граням срезом.

Правильная фигура

Формула площади поверхности боковой призмы треугольной правильной является самой простой по сравнению с выражениями выше. У правильной фигуры все боковые грани являются не просто прямоугольниками (квадратами в некоторых случаях), но еще они равны между собой. Эти геометрические факты позволяют записать формулу площади поверхности боковой призмы треугольной правильной в таком виде:

S_b = 3 × a × b

Здесь a — сторона основания (треугольника). Цифра 3 появляется потому, что боковая поверхность представлена тремя равными гранями. Напомним, что в данном выражении сторона b может быть заменена высотой h.

Очевидно, если боковые стороны представляют собой квадраты, то формула для S_b запишется так:

S_b = 3 × a²

Отсеченная фигура

Такая призма образуется, если с помощью плоскости отсечь ее часть. Если секущая плоскость параллельна основаниям, то формула площади боковой поверхности треугольной призмы отсеченной примет один из записанных в предыдущих пунктах вид. Действительно, при параллельном сечении мы получим аналогичную по форме исходной призме фигуру.

Если же секущая плоскость не будет параллельна основаниям, тогда для определения площади отсеченной призмы необходимо будет проводить специальный геометрический анализ, поскольку ее боковая поверхность будет представлена неправильными четырехугольниками.

Источник