Как найти площадь боковой поверхности призмы четырехугольной

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см². Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы

Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы состоит из четырех прямоугольников.

Четыре боковых стороны представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна сумме четырех площадей боковых граней.

[ S_{призмы} = 4S_{бок} ]

Подставим сюда формулу площади прямоугольника, получим:

[ S_{призмы} = 4ah ]

Вычислить, найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы

площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы	стр. 337

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

V = a³

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
• площадь основания: Sосн = V / h,
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Решение.

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

10 = 4h

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Решение.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Решение.

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

Проститутки Ростов на Дону rostovchanotki.ru

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, а боковые грани перпендикулярны основаниям.

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Напомним,
что призмой называется многогранник, у которого две грани – равные -угольники,
лежащие в параллельных плоскостях (эти грани называются основаниями
призмы), а остальные  граней
– параллелограммы.

Эти
параллелограммы называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие на
основаниях призмы, называются боковыми рёбрами призмы.

Боковые
рёбра призмы параллельны и равны.

Высотой
призмы называется расстояние между основаниями.

Площадью
боковой поверхности призмы называется сумма площадей её
боковых граней.

Площадью
полной поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней
и двух площадей оснований.

Объём
призмы равен произведению площади основания на высоту.

Призма,
в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё
название.

Рассмотрим
наклонную призму. Здесь основания – равные многоугольники,
лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани – параллелограммы. Высота
призмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на
плоскость нижнего. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Диагональ
призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональное сечение
проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, и является
параллелограммом. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме
площадей боковых граней. Площадь полной поверхности равна сумме площади
боковой поверхности и двух площадей оснований.

Рассмотрим
прямую призму. Здесь боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Боковые
грани – прямоугольники. Высота равна боковому ребру. Площадь
боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на
высоту (на боковое ребро).

И
рассмотрим ещё правильную призму. Здесь в основании лежит
правильный многоугольник. Боковые рёбра перпендикулярны основанию. Боковые
грани – равные прямоугольники.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. В основании прямой четырёхугольной призмы лежит
четырёхугольник со сторонами  см,
 см,
 см
и  см.
Высота призмы равна  см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Задача
вторая. Дана шестиугольная наклонная призма с боковым ребром
 см.
Периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, равен  см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Задача
третья. Дана прямая пятиугольная призма, в основание которой
вписана окружность с радиусом  см.
Площадь основания призмы равна  см²,
боковое ребро призмы равно  см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Задача
четвёртая. Дана прямая четырёхугольная призма  В
основании призмы лежит прямоугольная трапеция с основаниями  см,
 см
и ,
в которую можно вписать окружность. Диагональное сечение   призмы
является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение.

Задача
пятая. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна ,
диагональ боковой грани равна .
Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение.

Задача
шестая. Площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной призмы равна  см².
Диагональ боковой грани равна  см.
Найдите наибольший возможный объём призмы, задаваемой этими условиями.

Решение.