Как найти площадь боковой поверхности произвольной пирамиды - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формула площади боковой поверхности пирамиды произвольного типа и правильной: пример задачи

Каждый человек слышал о великих египетских каменных сооружениях, главным из которых является пирамида Хеопса. В курсе стереометрии рассматривают характеристики различных пирамид. Одним из важных параметров фигуры является площадь боковой поверхности. По какой формуле боковой поверхности площадь пирамиды следует рассчитывать, расскажет данная статья.

Что собой представляет пирамида в геометрии?

Прежде чем говорить о пирамиде и формуле площади боковой поверхности, дадим определение самой фигуры. Под ней полагают объемный многогранник, состоящий из одного n-угольного основания и n треугольников. Все треугольники имеют одну общую с основанием сторону, а также пересекаются в точке, которая называется вершиной. Ниже показана произвольная четырехугольная пирамида:

Вам будет интересно:Генералы чеченской войны: пофамильный список, краткая биография и фото

Получить пирамиду достаточно просто. Для этого необходимо выбрать плоский многоугольник и соединить все его вершины с единственной точкой пространства. Обязательное условие — эта точка не должна лежать на плоскости.

Любая пирамида состоит из:

граней, которых у нее n+1 штука;
вершин (n+1 штука);
ребер (2*n штук).

Причем все названные элементы бывают двух типов: те, которые относятся к основанию, и те, которые принадлежат боковой поверхности.

Параметры боковой поверхности для фигуры произвольного типа

Как находить площадь (формула представлена ниже) поверхности боковой грани рассматриваемой фигуры? Ответить на этот вопрос несложно, если знать, что боковая поверхность образована n треугольниками. Это означает, что достаточно для каждого из них вычислить площадь, а затем сложить полученные значения и результатом будет искомый показатель. Тем не менее, сделать это не всегда просто для пирамиды произвольного типа. Приведем пример. Ниже рисунок демонстрирует три пирамиды, которые называются четырехугольными наклонными.

С первого взгляда видно, что все боковые треугольники являются разными. Это означает, что для определения их площадей необходимо знать все стороны основания и высоту каждого треугольника. Она называется «апофемой». Если апофему i-го треугольника обозначить символом hi, а длину соответствующей стороны основания назвать ai, тогда получим для общего типа пирамиды формулу боковой поверхности площади:

S = 1/2*∑i=1n(hi*ai).

Таким образом, для вычисления величины S фигуры произвольного типа необходимо знать 2*n ее параметров.

Правильные пирамиды и их боковая поверхность

Приведенная в предыдущем пункте формула площади поверхности пирамиды общего типа принимает конкретный вид для правильных фигур. Правильной называется та пирамида, которая содержит в основании равностороннюю и равноугольную фигуру, а ее высота попадает точно в центр основания. На рисунке ниже показан набор правильных пирамид, изготовленных из бумаги:

Тот факт, что все треугольники боковой поверхности являются равнобедренными и равны между собой для правильной пирамиды, значительно облегчает расчет площади поверхности ее боковины. Длину стороны основания обозначим буквой a, а апофему — h1, тогда для пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

S = 1/2*n*a*h1.

Важно не путать величину h1 в формуле с высотой h пирамиды. Апофема h1 и высота h связаны единым равенством через длину основания для любой правильной пирамиды.

Задача на вычисление боковой поверхности треугольной пирамиды

Известно, что треугольная правильная пирамида имеет высоту 43 см и длину основания 12 см. Чему равна площадь ее боковой поверхности?

Рассмотрев прямоугольный треугольник внутри этой пирамиды, который образован сторонами h1, h и 1/3 высоты основания, получаем:

h1 = √(h2 + a2/12) = √(432+122/12) = 43,14 см.

Теперь осталось применить записанную выше формулу для S, учитывая при этом, что n=3. Получаем:

S = 1/2*n*a*h1 = 1/2*3*12*43,14 = 776,52 см2.

Записанная формула определения апофемы через высоту справедлива только для треугольной правильной пирамиды.

Автор:

25-12-2018 14:50

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях

Источник

Пирамида

В данном разделе приведены формулы нахождения высоты, площади, объема пирамиды (в том числе усеченной). Описаны названия ее элементов (вершина, апофема, ребро, грань, высота, диагональное сечение).
В подразделах можно посмотреть примеры решения задач про пирамиды.

Объем пирамиды

Объем любой пирамиды (в т.ч. треугольной) равен одной трети произведения площади ее основания на высоту

Объем усеченной пирамиды

H – высота усеченной пирамиды; S₁ – площадь нижнего основания; S₂ – площадь верхнего основания.

Свойства правильной пирамиды

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Правильная пирамида имеет следующие свойства:

боковые ребра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно как вписать сферу
около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Как найти площадь пирамиды

Площадь пирамиды (S) равна сумме площади ее основания (S_{основания}) и боковой поверхности S_{БокПоверхности} (Формула 1)
Соответственно, так как площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме поверхностей всех ее граней (S₁,S₂…S_n), то получаем формулу 2.

Если пирамида правильная, то площади всех ее боковых граней равны между собой. Тогда достаточно найти площадь основания пирамиды и прибавить к нему площадь боковой грани (S_Грани), умноженной на их количество (n) (см. Формулу 3).

Поскольку мы знаем, что в правильной пирамиде все грани представляют собой равнобедренный треугольник, то, использовав формулу площади равнобедренного треугольника, получим Формулу 4 — где площадь боковой поверхности пирамиды будет равна произведению половины периметра основания (P) на апофему (a).

Для нахождения площади правильной треугольной пирамиды используем формулу площади равностороннего треугольника со стороной b, к которой прибавим площадь трех граней, представляющих собой равнобедренный треугольник с основанием b и высотой a (она же апофема правильной треугольной пирамиды). В итоге получаем Формулу 5.

Если же пирамида представляет собой тетраэдр, то все его грани равны между собой и площадь поверхности такой пирамиды равна квадрату стороны (b), умноженному на корень из трех (Формула 6).

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды находится по общему правилу — поскольку в основании лежит квадрат, то его площадь равна квадрату стороны основания (b), к которому прибавляется площадь четырех граней боковых сторон (Формула 7).

Ромб в основании призмы |

Описание курса

| С треугольником в основании

Источник

Определение пирамиды

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p

ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды:

S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}

SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.

Пример решения задачи.

Пример

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

l=8l=8
a=3a=3

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):

p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9

Тогда боковая площадь пирамиды:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}

aa — сторона треугольника.

Получаем:

Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Еще один пример, немного сложнее.

Пример

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24

Найдем длину апофемы:

l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18

В нашем случае:

Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)

Ответ: 252 см. кв.

Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!

Источник

Download Article

The surface area of any pyramid can be found by adding the surface area of the base to the surface area of the lateral faces. When working with regular pyramids, you can find the surface area using a formula, as long as you know how to find the area of the base of the pyramid. Since the base can be any polygon, it is helpful to know how to find the area of shapes such as pentagons and hexagons. When working with the common, regular square pyramid, however, calculating the total surface area is a simple calculation, provided you know the slant height of the pyramid and the side length of the square base.

1
2

Plug the perimeter of the base into the formula. If you aren’t given the perimeter but know the length of one edge of the base, you can calculate the perimeter by multiplying the length of one edge by the number of edges.

Advertisement
3
Plug the value of the slant height into the formula. Make sure you are using the slant height, not the perpendicular height. The problem should provide the slant height. If you don’t know the slant height, you cannot use this method.
- For example, if the slant height of a hexagonal pyramid is 12 cm, your formula will look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+B$ .
4

Calculate the area of the base. How you do this will depend on the shape of the base. To learn more about finding the area of a polygon, read Find the Area of Regular Polygons.

EXPERT TIP

Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco

Our Expert Agrees: The surface area of a pyramid is equal to the sum of the areas of all of the faces. First, you have to get the area of the base, then add the area of the lateral sides, which is one face times the number of sides.
5
Plug the area of the base into the formula. Make sure you substitute for the variable .
- For example, if the area of the hexagonal base is 41.57 sq. cm., your formula for surface area will now look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+41.57$ .
6

Multiply the perimeter of the base and the slant height of the pyramid. Then, divide by two. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
7

Add the two values together. The sum will be the lateral surface area, plus the base surface area, providing you with the total surface area for the pyramid, in square units.

1
2
3

Square the side length of the base. This will give you the surface area of the base.
4

Multiply the side length of the base by the slant height and divide by two. Then, multiply by 4. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
5

Add the base surface area and the lateral surface area. This will give you the total surface area of the pyramid, in square units.

Add New Question

Question

How do you find the lateral area of hexagonal pyramid, given the height and length of each side?

Use the base times height for the rectangles, and the altitude times base of the hexagonal face times three.
Question

How would you calculate the surface area of pyramid that does not have a square base?

Use the formula (p x h/2) + (B), where p is the perimeter of the base, h is the slant height of the pyramid, and B is the area of the base. Below are some articles on finding the area of a pentagon and hexagon, two common pyramid bases:

http://www.wikihow.com/Find-the-Area-of-a-Pentagon
http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Hexagon
Question

How do I double the lateral surface area of a square pyramid?

One way would be to double either the length of the sides of the base or the slant height (but not both).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Writing utensil
Paper
Calculator (optional)
Ruler (optional)

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a pyramid, start by multiplying the perimeter of the pyramid by its slant height. Then, divide that number by 2. Finally, add the number you get to the area of the pyramid’s base to find the surface area. To learn how to find the surface area of a square pyramid, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 388,371 times.

Did this article help you?

Источник

{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}

На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.

калькулятор площади поверхности пирамиды
формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
примеры задач

Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площадей боковых граней и площади основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему

{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}

P — периметр основания пирамиды

L — апофема пирамиды

S — площадь основания пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}

P — периметр основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = 3aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды

Задача 1

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение

Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.

S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 — 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²

Ответ: 12240 см²

Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.

Решение

Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.

S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²

Ответ: 90 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.

Решение

Подставим значения в формулу и произведем расчет.

S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²

Ответ: 60 см²

Проверка .

Источник