Как найти площадь боковой поверхности сферы

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

Surface Area of the Sphere is the area occupied by the curved surface of the sphere. In geometry, a sphere is a three-dimensional solid figure that is perfectly symmetrical in shape, with every point on its surface equidistant from its center. Examples of spheres include the globe, a football, a water droplet, etc. The distance between any point on the surface of a sphere and its center is called the “radius of the sphere” and is generally represented by “r”. The surface area of a sphere is an essential concept with a wide range of applications in physics, engineering, and mathematics.

What is the Surface Area of a Sphere?

The surface area of a sphere is the region covered by the outer surface in the 3-dimensional space. It can be said that a sphere is the 3-dimensional form of a circle. The surface area of a sphere formula is given in terms of pi (π) and radius.

Surface Area of a Sphere Formula

The surface area of a sphere is calculated using the radius of the sphere. If the surface area of the sphere is “S” and the radius is “r”, then the formula for surface area of a sphere is:

Surface Area of Sphere = 4πr²

If the diameter of the sphere is given instead of the radius, the formula will become:

Surface Area of Sphere = πd²

Derivation of Surface Area of a Sphere

The area occupied by the surface of a sphere in space is the surface area of a sphere. We know that a sphere is round in shape, so to calculate its surface area, we can connect it to a curved shape, such as a cylinder. A cylinder is a three-dimensional figure that has a curved surface with two flat surfaces on either side. Let’s consider that the radius of a sphere and the radius of a cylinder is the same. So the sphere can perfectly fit into a cylinder. Therefore, the height of the sphere is equal to the height of a cylinder, i.e., the diameter of a sphere. This fact was proved by the mathematician Archimedes that the surface area of a sphere of radius “r” is equal to the lateral surface area of a cylinder of radius “r”. Therefore,

The Surface area of a sphere = The Lateral surface area of a cylinder

We know that,

The lateral surface area of a cylinder = 2πrh, 

Where r is the radius of the cylinder and h is its height.

We have assumed that the sphere perfectly fits into the cylinder. So, the height of the cylinder is equal to the diameter of the sphere.

Height of the cylinder (h) = Diameter of the sphere (d) = 2r (where r is the radius)

Therefore,

The Surface area of a sphere = The Lateral surface area of a cylinder = 2πrh

Surface area of the sphere = 2πr × (2r) = 4πr²

Hence, 

The surface area of the sphere = 4πr² square units

How to Find the Surface Area of a Sphere

The surface area of a sphere is simply the area occupied by its surface. Let’s consider an example to see how to determine the surface area of a sphere using its formula.

Example: Find the surface area of a sphere of radius 7 cm.

Step 1: Note the radius of the given sphere. Here, the radius of the sphere is 47 cm.

Step 2: We know that the surface area of a sphere = 4πr². So, substitute the value of the given radius in the equation = 4 × (3.14) × (7)² = 616 cm².

Step 3: Hence, the surface area of the sphere is 616 square cm.

Curved Surface Area of a Sphere

The sphere has only one curved surface. Therefore, the curved surface area of the sphere is equal to the total surface area of the sphere, which is equal to the surface area of the sphere in general. Therefore, it is safe to say that,

Curved Surface Area of a Sphere = 4πr²

Total and Curved Surface Area of Sphere

As the complete surface of the sphere is curved thus total Surface Area and Curved Surface Area are the same for the Sphere. Thus

TSA of Sphere = CSA of Sphere

Also, Read

• Surface Area Formulas
• Surface Area of a Cube
• Surface Area of Cone

Solved Examples on Surface Area of Sphere

Example 1: Calculate the total surface area of a sphere with a radius of 15 cm. (Take π = 3.14)

Solution:

Given, the radius of the sphere = 15 cm

We know that the total surface area of a sphere = 4 π r² square units

= 4 × (3.14) × (15)²

= 2826 cm²

Hence, the total surface area of the sphere is 2826 cm².

Example 2: Calculate the diameter of a sphere whose surface area is 616 square inches. (Take π = 22/7)

Solution:

Given, the curved surface area of the sphere = 616 sq. in

We know,

The total surface area of a sphere = 4 π r² square units

⇒ 4 π r² = 616

⇒ 4 × (22/7) × r² = 616

⇒ r² = (616 × 7)/(4 × 22) = 49

⇒ r = √49 = 7 in

We know, diameter = 2 × radius = 2 × 7 = 14 inches

Hence, the diameter of the sphere is 14 inches.

Example 3: Find the cost required to paint a ball that is in the shape of a sphere with a radius of 10 cm. The painting cost of the ball is ₨ 4 per square cm. (Take π = 3.14)

Solution:

Given, the radius of the ball = 10 cm

We know that,

The surface area of a sphere = 4 π r² square units

= 4 × (3.14) × (10)²

= 1256 square cm

Hence, the total cost to paint the ball = 4 × 1256 = ₨ 5024/-

Example 4: Find the surface area of a sphere whose diameter is 21 cm. (Take π = 22/7)

Solution: 

Given, the diameter of a sphere is 21 cm

We know,

diameter =  2 × radius

⇒ 21 = 2 × r ⇒ r = 10.5 cm

Now, the surface area of a sphere = 4 π r² square units

= 4 × (22/7) × (10.5) 

= 1386 sq. cm

Hence, the total surface area of the sphere = 1386 sq. cm

Example 5: Find the ratio between the surface areas of two spheres whose radii are in the ratio of 4:3. (Take π = 22/7)

Solution:

Given, the ratio between the radii of two spheres = 4:3

We know that,

The surface area of a sphere = 4 π r²

From the equation, we can say that the surface area of a sphere is directly proportional to the square of its radius.

Area ∝ (radius)²

⇒ A₁/A₂ = (r₁)²/(r₂)²

⇒ A₁/A₂ = (4)²/(3)² = 16/9

Therefore, the ratio between the total surface areas of the given two spheres is 16:9.

Example 6: Find the ratio between the radii of two spheres when their surface areas are in the ratio of 25:121. (Take π = 22/7)

Solution:

Given, the ratio between the total surface areas of two spheres = 25:121

We know that,

The total surface area of a sphere = 4 π r²

From the equation, we can say that the surface area of a sphere is directly proportional to the square of its radius.

Area ∝ (radius)² ⇒ radius ∝ √Area

⇒ r₁/r₂ = √A₁/√A₂

⇒ r₁/r₂ = √25/√121 = 5/11

Therefore, the ratio between the radii of the given two spheres is 5:11.

FAQs on Surface Area of Sphere

Q1: How to find the surface area of a sphere?

Answer:

The surface area of a sphere is given by the formula, 

Surface area = 4πr²

Where r is the radius of the sphere.

Q2: What is the surface area of a hemisphere?

Answer:

The surface area of a hemisphere is given by the sum of half of the sphere’s surface area and the base area (which is circular), that is,

S.A. = 2πr² + πr²= 3πr²

Thus, the surface area of a hemisphere = 3πr²

Q3: What is the lateral surface area of a sphere?

Answer:

The lateral surface area is equal to the surface area of the sphere, which is equal to the curved surface area of the sphere.

Сфера, полусфера

Сфера

Сфера (от греч. «сфайра» — «шар», «мяч») — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки в центре сферы.

Шар — это тело, ограниченное сферой.

Радиус сферы — отрезок, соединяющий центр и любую точку сферы.

Получить сферу можно вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Секущая плоскость делит сферу на два шаровых сегмента.

Любое сечение шара или сферы плоскостью есть круг или окружность.

R – радиус сферы или шара;

Формула объёма сферы:

Формула площади сферы (поверхности шара):

S=4 π R 2

Полусфера

Формула объёма полусферы:

Формула площади полусферы:

S= 2 π Rh = π (r 2 +h 2 )

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.8 / 5. Количество оценок: 5

Сегмент шара

Вычисление площади поверхности и объема шарового сегмента или шарового слоя.

Сегмент шара

Сферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Формулы:
— площадь боковой поверхности
— площадь основания
— формула объема

Формулы площади поверхности геометрических фигур

Применение формулы

Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.

Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.

Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.

Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x – x ₀) 2 + ( y – y ₀) 2 + ( z – z ₀) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .

Трактовка значений

Это следует знать:

• Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
• Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
• Число «пи» – это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
• Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
• Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
• Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
• Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

Введите радиус сферы:

Сфера – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Площадь поверхности сферы формула:
S = 4 π R 2 , где R – радиус сферы, π – число пи

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Терминология и сферическая геометрия

Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).

Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).

Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.