В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
-
Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
- Примеры задач
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Sбок. = Pосн. ⋅ h
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 3ah |
| полная |  |
microexcel.ru
3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 4ah |
| полная | Sполн. = 2a2 + 4ah |
microexcel.ru
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a2. А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a2.
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 6ah |
| полная |  |
microexcel.ru
Примеры задач
Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см2. Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.
Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы
Боковая поверхность шестиугольной призмы:
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы
Как мы видим — призма имеет шесть боковых сторон, которые представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы равна сумме шести площадей боковых граней.
[ S_{призмы} = 6S_{бок} ]
Подставим сюда формулу площади прямоугольника, получим:
[ S_{призмы} = 6ah ]
Вычислить, найти площадь боковой поверхности шестиугольной призмы
площадь боковой поверхности шестиугольной призмы |
стр. 339 |
|---|
A hexagonal prism is a three-dimensional geometric structure with two hexagonal bases connected by six rectangular faces. It is a polyhedron with eight faces, twelve vertices, and eighteen edges. It is also known as an octahedron as it has eight faces; two of the eight faces are hexagons, which are the bases of the prism, and the other six faces are rectangles, which are the lateral (or) side faces of the prism. The top and bottom faces of the hexagonal prism are in the shape of a hexagon and are congruent with each other.
There are two kinds of hexagonal prisms, namely, a regular hexagonal prism and an irregular hexagonal prism.
- A regular hexagonal prism is a prism that has two hexagonal bases whose all sides are of the same length. In a regular hexagonal prism, the angles also measure the same.
- An irregular hexagonal prism is a prism that has two irregular hexagonal bases. All the sides of the base do not have the same length, and the measures of each angle are different.
Surface Area of a Hexagonal Prism
The total area that is covered by the surfaces of a hexagonal prism is referred to as its surface area. The surface area of a prism is measured in terms of square units such as sq. m, sq. cm, sq. in, etc. A hexagonal prism has two types of areas just like other three-dimensional shapes: lateral surface area (LSA) and total surface area (TSA).
Let us consider a hexagonal prism that has an apothem length “a”, a base length “s”, and a height “h”. We know that the general formula to calculate the lateral surface area of a prism is the product of its base and height. So, the lateral surface area of the prism of a hexagonal prism is determined by calculating the product of the perimeter of the base of the hexagonal prism and its height.
The formula to determine the lateral surface area of the hexagonal prism is equal to the sum of the areas of its six rectangular faces. Thus,
Lateral surface area of hexagonal prism (LSA) = 6sh sq. units.
Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.
The formula to determine the surface area of a hexagonal prism is given as follows:
Total Surface Area, TSA = 2×(Area of hexagonal base) + 6×(Area of rectangular faces) = 6s(a + h).
Total surface area of the hexagonal prism (TSA) = 6s(a + h) sq. units.
Where “a” is the apothem length,
“s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.
The formula to determine the surface area of a hexagonal prism in the case of a regular hexagonal prism, TSA = 6sh + 3√3s2.
Total surface area of the hexagonal prism (TSA) = 6sh + 3√3s2 sq. units.
Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.
Volume of a Hexagonal Prism
The volume of a hexagonal prism is the amount of space enclosed by it in three-dimensional space. It is also referred to as the amount of substance that it can hold, which is the capacity of a hexagonal prism. The formula for the volume of a hexagonal prism is equivalent to the product of its base area and height, which is measured in terms of cubic units such as cm3, m3, in3, etc.
The formula for finding the volume of a hexagonal prism is given as follows,
Volume of the Hexagonal Prism (V) = Base area × height
The formula for calculating the volume of a hexagonal prism when the length of the edge of the base and height of the prism is known is given as follows.
Volume of the Hexagonal Prism (V) = [(3√3)/2]s2h
Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.
The formula for calculating the volume of a hexagonal prism when the apothem length, length of the edge of the base, and height of the prism are known is given as follows.
Volume of the Hexagonal Prism (V) = 3ash
Where “a” is the apothem length,
“s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.
Solved Example on Volume of a Hexagonal Prism
Example 1: Calculate the volume of a hexagonal prism with a base edge length of 15 cm and a height of 12 cm.
Solution:
Given data,
Length of the base edge (s) = 15 cm
The height of the prism (h) = 12 cm
We know that,
The volume of a hexagonal prism = [(3√3)/2]s2h
= (3/2) × (1.732) × (15)2 × 12
= 7,014.805 cu. cm
Hence, the volume of the hexagonal prism is 7,014.805 cu. cm.
Example 2: Determine the volume of the hexagonal prism if its height is 10 inches and its base area is given as 60 sq. in.
Solution:
Given data,
Base area = 60 sq. in
The height of the prism (h) = 10 inches
We know that
The volume of the hexagonal prism (V) = Base area × height
= 60 × 10 = 600 cu. in
Hence, the volume of the hexagonal prism is 600 cu. in.
Example 3: Calculate the volume of a hexagonal prism if its height is 13 cm, the length of each side of the base is 10 cm, and the apothem length is 8 cm.
Solution:
Given data,
Length of the base edge length (s) = 10 cm
Apothem length (a) = 8 cm
The height of the prism (h) = 13 cm
We know that
The volume of the hexagonal prism (V) = 3ash cubic units
= 3 × 8 × 10 × 13 = 3,120 cu. cm
Hence, the volume of the hexagonal prism is 3,120 cu. cm.
Example 4: Find the total surface area of a hexagonal prism if the length of each side of the base is 8 cm and the height is 10 cm.
Solution:
Given data,
Length of the base edge (s) = 8 cm
The height of the prism (h) = 10 cm
We know that,
The total surface area of the hexagonal prism = 6sh + 3√3s2
= 6 × 8 × 10 + 3√3 × (8)2
= 480 + 3√3 × 64
= 480 + 332.554 = 812.554 sq. cm
Thus, the total surface area of the hexagonal prism is 812.554 sq. cm.
Example 5: Determine the lateral surface area of a hexagonal prism with a base edge length of 12 cm and a height of 9 cm.
Solution:
Given data,
Length of the base edge length (s) = 12 cm
The height of the prism (h) = 9 cm
We know that,
The lateral surface area of a hexagonal prism = 6sh sq. units
LSA = 6 × 12 × 9
LSA = 648 sq. cm
Hence, the volume of the hexagonal prism is 648 sq. cm.
FAQs on Hexagonal Prism
Question 1: What is the Volume of a Hexagonal Prism?
Answer:
The volume of a hexagonal prism is the amount of space enclosed by it in three-dimensional space. It is also referred to as the amount of substance that it can hold, which is the capacity of a hexagonal prism. The formula for the volume of a hexagonal prism is equivalent to the product of its base area and height, which is measured in terms of cubic units such as cm3, m3, in3, etc.
The formula for finding the volume of a rectangular prism is given as follows,
The volume of the hexagonal prism (V) = Base area × height
Question 2: How to determine the Volume of a Hexagonal Prism?
Answer:
Follow the steps given below to determine the volume of a hexagonal prism:
Step 1: Calculate the base area of the prism using the appropriate formula.
Step 2: Note down the value of the height of the given hexagonal prism.
Step 3: Substitute the values of the given dimensions in the formula, V = [(3√3)/2]s2h
Step 4: Finally, write the final value in appropriate cubic units.
Question 3: How can we determine the Volume of a Hexagonal Prism when its Base Area and Height are given?
Answer:
We know that the general formula for calculating the volume of any prism is the product of its base area and its height. A hexagonal prism is a prism that has a hexagon as its base. So, we can also use the same formula for determining the volume of a hexagonal prism. As both the base area and the height of the hexagonal prism are given, the formula to determine the volume of a hexagonal prism is given as follows:
Volume of a hexagonal prism = Base Area × height.
Question 4: What will happen to the Volume of the Hexagonal Prism if its Height is reduced to Half?
Answer:
We know that the formula for calculating the volume of the hexagonal prism is V = 3abh. Where “a” is the apothem length, “s” is the length of the base edge, and “h” is the height of the prism. So, the volume of the prism is directly proportional to its height. So, if the height is reduced to half, the new height will become (h/2). So, the volume of the new hexagonal prism will be 3ab (h/2) = (1/2) (3abh) = V/2. Therefore, we can conclude the volume will also be reduced by half.
Question 5: What is meant by the Surface Area of a Hexagonal Prism?
Answer:
The total area that is covered by the surfaces of a hexagonal prism is referred to as its surface area. The surface area of a prism is measured in terms of square units such as sq. m, sq. cm, sq. in, etc. The formula to determine the surface area of a hexagonal prism is given as follows:
Total Surface Area, TSA = 2(Area of hexagon base) + 6(Area of rectangle faces) = 6s(a + h), where the “a” is apothem length of the prism, “s” is the length of the base edge, and “h” is the height of the prism.
The formula to determine the surface area of a hexagonal prism in the case of a regular hexagonal prism, TSA = 6sh + 3√3s2.
Question 6: How to determine the Lateral Surface Area of a Hexagonal Prism?
Answer:
Follow the steps mentioned below to determine the lateral surface area of the hexagonal prism:
- Step 1: Note down the values of the apothem length, base length, and height of the given hexagonal prism.
- Step 2: Substitute the given values in the formula of the lateral surface area of a hexagonal prism, LSA = 6sh.
- Step 3: Write the resulting value in square units.
Онлайн калькулятор площади боковой поверхности призмы быстро и точно вычислит площадь призмы по различным формулам. Расчет возможен для треугольной призмы, четырехугольной призмы и шестиугольной призмы.
Сделав расчет площади призмы на этом калькуляторы Вы не только получите ответ но еще и детальное пошаговое решение с выводом формул в общем виде.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, а боковые грани перпендикулярны основаниям.
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Содержание
- Площадь боковой поверхности правильной призмы треугольной, четырехугольной и шестиугольной
- Что собой представляет призма?
- Какая призма называется правильной?
- Боковая поверхность призмы
- Правильная призма и ее боковая поверхность
- Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, четырехугольной и шестиугольной
- Расчет для косоугольной призмы
- Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
- Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
- Примеры задач
Площадь боковой поверхности правильной призмы треугольной, четырехугольной и шестиугольной
Треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы — это самые распространенные объемные фигуры среди остальных подобных, которые встречаются в быту и природе. Изучением их свойств занимается стереометрия, или пространственная геометрия. В данной статье раскроем вопрос о том, как можно найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, а также четырехугольной и шестиугольной.
Что собой представляет призма?
Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.
Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n — это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.
Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.
Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:
- типом многоугольника, лежащего в основании фигуры;
- углами между параллелограммами и основаниями.
Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.
Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90o, тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.
Как видно, высота h прямой призмы совпадает с длиной ее бокового ребра. В случае косоугольной этот параметр всегда меньше.
Какая призма называется правильной?
Поскольку мы должны ответить на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности правильной призмы (треугольной, четырехугольной и так далее), то нужно дать определение этому типу объемной фигуры. Разберем материал подробнее.
Правильная призма — это прямоугольная фигура, у которой правильный многоугольник образует идентичные основания. Этой фигурой может быть треугольник равносторонний, квадрат и другие. Любой n-угольник, все длины сторон и углы которого одинаковые, будет правильным.
Ряд таких призм показан схематически на рисунке ниже.
Боковая поверхность призмы
Как было сказано в определении призмы, эта фигура состоит из n + 2 плоскостей, которые, пересекаясь, образуют n + 2 грани. Две из них принадлежат основаниям, остальные образованы параллелограммами. Площадь всей поверхности состоит из суммы площадей указанных граней. Если в нее не включать значения двух оснований, тогда мы получаем ответ на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности призмы. Так, можно определить ее значение и оснований отдельно друг от друга.
Ниже приводится развертка треугольной призмы, для которой боковая поверхность образована тремя четырехугольниками.
Рассмотрим процесс вычислений далее. Очевидно, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме n площадей соответствующих параллелограммов. Здесь n — это число сторон многоугольника, образующего основание фигуры. Площадь каждого параллелограмма можно найти, если умножить длину его стороны на опущенную на нее высоту. Это касаемо общего случая.
Если изучаемая призма является прямой, тогда процедура определения площади ее боковой поверхности Sb значительно облегчается, поскольку такая поверхность состоит из прямоугольников. В этом случае можно воспользоваться следующей формулой:
где h — высоты фигуры, Po — периметр ее основания
Правильная призма и ее боковая поверхность
Приведенная в пункте выше формула в случае такой фигуры принимает вполне конкретный вид. Поскольку периметр n-угольника равен произведению числа его сторон на длину одной, то получается следующая формула:
Где a — длина стороны соответствующего n-угольника.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, четырехугольной и шестиугольной
Воспользуемся формулой выше, чтобы определить необходимые значения для отмеченных трех типов фигур. Расчеты будут выглядеть следующим образом.
Для треугольной формула примет вид:
Например, сторона треугольника равна 10 см, а высота фигуры — 7 см, тогда:
В случае четырехугольной призмы искомое выражение принимает форму:
Если взять те же значения длин, что и в предыдущем примере, тогда получаем:
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы рассчитывается по формуле:
Подставляя те же числа, что и в предыдущих случаях, имеем:
Заметим, что в случае правильной призмы любого типа ее боковая поверхность образована одинаковыми прямоугольниками. В примерах выше площадь каждого из них составляла a*h = 70 см2.
Расчет для косоугольной призмы
Определение значения площади боковой поверхности для данной фигуры выполнить несколько сложнее, чем для прямоугольной. Тем не менее приведенная выше формула остается той же самой, только вместо периметра основания следует взять периметр перпендикулярного среза, а вместо высоты — длину бокового ребра.
Рисунок выше демонстрирует четырехугольную косоугольную призму. Заштрихованный параллелограмм — это и есть тот перпендикулярный срез, периметр которого Psr необходимо рассчитать. Длина бокового ребра на рисунке обозначена буквой C. Тогда получаем формулу:
Периметр среза можно найти, если известны углы параллелограммов, образующих боковую поверхность.
Источник
Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>