Как найти площадь боковых сторон тетраэдра

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Определение

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.

Треугольник

 

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

((1);S=S_{осн}+3times S_{бок})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

(S=frac12ah)

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

((2);S_{осн}=frac{sqrt3}4a^2)

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

(S=frac12ah)

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

((3);S_{бок}=frac{asqrt{b^2-frac{a^2}4}}2)

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

(S=frac{sqrt3}4a^2+frac32times asqrt{b^2-frac{a^2}4})

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Задача

 

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

(h=frac{sqrt3}2a)

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

(a=frac h{frac{sqrt3}2})

Теперь найдем a:

(a=frac3{frac{sqrt3}2}=frac{3times2}{sqrt3}=frac6{sqrt3})

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

(S_{осн}=frac{sqrt3}4timesleft(frac6{sqrt3}right)^2=frac{sqrt3}4timesfrac{6^2}{sqrt3^2}=frac{36sqrt3}{4times3}=3sqrt3)

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

(frac{OK}{MK}=cosleft(45^circright)=frac{sqrt2}2)

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

(OK=r=frac{sqrt3}6a=frac{sqrt3}6timesfrac6{sqrt3}=frac{6sqrt3}{6sqrt3}=1)

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

(frac{OK}{MK}=frac{sqrt2}2)

(frac1{MK}=frac{sqrt2}2)

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

(MK=frac2{sqrt2})

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

(S_{бок}=frac12ah=frac12timesfrac6{sqrt3}timesfrac2{sqrt2}=frac{1times6times2}{2timessqrt3timessqrt2}=frac{12}{2sqrt6}=frac6{sqrt6})

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

(S_{MABC}=3sqrt3+3times6sqrt6=3sqrt3+18sqrt6)

Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: (3sqrt3+18sqrt6;(см^2))

Источник

Онлайн калькулятор площади тетраэдра может вычислить площадь боковой поверхности тетраэдра. Расчет возможен для правильного (равностороннего) тетраэдра и для прямоугольного тетраэдра.
Сделайте расчет на этом калькуляторе площади тетраэдра и получите ответ в развернутом виде а также детального пошаговое решение с выводом формул.

  • Калькулятор
  • Инструкция
  • Теория
  • История
  • Сообщить о проблеме

Распечатать

Выберите тип тетраэдра:

Решение:

Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.
Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Похожие калькуляторы

  • Площадь поверхности призмы онлайн калькулятор

  • Площадь поверхности параллелепипеда онлайн калькулятор

  • Площадь боковой поверхности цилиндра онлайн калькулятор (2 способа)

  • Площадь поверхности цилиндра онлайн калькулятор (2 способа)

  • Площадь поверхности конуса онлайн калькулятор

Калькуляторы других категорий

  • Деление в столбик онлайн. Калькулятор наглядного деления.

  • Сторона треугольника 14 формул расчет онлайн

  • Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

  • Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления

  • Умножение в столбик онлайн. Калькулятор наглядного умножения.

Ваша оценка?
Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

  • Формула площади правильной пирамиды

    • 1. Общая формула

    • 2. Площадь правильной треугольной пирамиды

    • 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

    • 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

Формула площади поверхности правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Sполн. = Sбок. + Sосн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

Формула площади треугольника

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади равнобедренного треугольника

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.
Площадь Формула
основание Sосн. = a2
боковая поверхность Sбок. = 2aL
Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
полная Sполн. = a2 + 2aL
Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Источник

Площадь пирамиды

Автор статьи

Гагик Оганесян

Эксперт по предмету «Калькуляторы»

Задать вопрос автору статьи

На этой странице вы сможете познакомиться с формулами для вычисления площади полной и боковой поверхности пирамиды. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы и примеры вычисления площадей пирамид.

Определение 1

Пирамида представляет собой объёмную фигуру, в основании которой лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками. У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а боковые грани равны.

Рассмотрим, как вычислять площадь полной поверхности правильной пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды через высоту и сторону основания

Полная площадь поверхности пирамиды через высоту и сторону основания

Суммарная площадь всех сторон и основания правильной пирамиды определяется по формуле:

${S =frac{n cdot a}{2} cdot (frac{a}{2 cdot mathrm{tg}frac{180}{n}} + sqrt{H^2 + (frac{a}{2 cdot mathrm{tg}(frac{180}{n})})^2})}$

Здесь:

$a$ — длина стороны основания;

$n$ — число сторон основания;

$H$ — высота пирамиды.

Для вычисления полной поверхности правильного тетраэдра можно применять более простую формулу.

Полная площадь тетраэдра

Полная площадь тетраэдра

Для правильного тетраэдра полная площадь поверхности определяется по формуле:

$S =sqrt3 cdot a^2$, где

$a$ — длина стороны тетраэдра.

Рассмотрим пример использования формулы для правильного тетраэдра.

Пример 1

Задача

Боковая грань правильного тетраэдра равна $7$ см. Чему равна площадь полной поверхности?

Решение:

Вспомним, чему равна площадь правильного треугольника:

$S_∆ = sqrt3 cdot frac{a^2}{4} = sqrt3 cdot frac{7^2}{4} ≈ 21.21$ кв. см.

Мы нашли площадь одной грани правильного тетраэдра. Всего у тетраэдра 4 грани, а это значит что вся площадь поверхности равна произведению площади одной грани на количество граней, равное четырём:

$S = 21.21 cdot 4 = 84,87$ кв. см.

Полученный ответ проверим онлайн-калькулятором. Результаты совпадают, а значит ответ — верный.

Боковую поверхность правильной пирамиды чаще всего вычисляют по двум формулам — через периметр и апофему или через сторону основания и высоту.

Определение 2

Апофемой пирамиды называется высота боковой грани.

Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему

Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему

Боковая поверхность правильной пирамиды в данном случае определяется по формуле:

$S_б = frac12 cdot P cdot c$, где

$P$ — периметр основания пирамиды;

$c$ — апофема пирамиды.

При этом периметр правильного многоугольника может быть определён по формуле:

$P = a cdot n$, где

$a$ — длина стороны многоугольника;

$n$ — количество сторон.

Вычислим боковую поверхность через апофему и периметр на примере 4-угольной пирамиды.

Пример 2

Задача

Дана правильная пирамида с квадратом в основании, сторона которого равна $5$ см. Апофема пирамиды равна $9$ см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Решение:

Рассчитаем периметр основания. Для квадрата периметр равен умноженной на 4 стороне:

$P_{осн.} = 4 cdot a^2 = 20$ см

Теперь сосчитаем площадь боковой поверхности:

$S_б = frac12 cdot 20 cdot 9 = 90$ кв. см.

Боковая поверхность пирамиды через высоту и сторону основания

Боковая поверхность пирамиды через высоту и сторону основания

В случае если дана высота и сторона основания правильной пирамиды, площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:

$S_б = frac{n cdot a}{2} cdot sqrt{h^2 + (frac{a} {2 cdot mathrm{tg}(180 / n)})^2}$, здесь

$n$ — количество сторон основания;

$a$ — длина стороны основания;

$h$ — высота пирамиды.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 27.06.2019

Источник

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.
Пирамида
Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

S_bok=1/2 Pa

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Иконка карандаша 24x24Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен: P=5*3=15 cm
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды: S_bok={1/2}*15*5=37,5{cm}^2

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида
Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Иконка карандаша 24x24Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет: S={1/2} ab
Подставляем значения в формулу: S={1/2}*4*2=4{cm}^2
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:
S=3S_gr
S=3*4=12{cm}^2

Площадь усеченной пирамиды

Усеченная пирамида
Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:
S=1/2{(p_1+p_2)}a

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Иконка карандаша 24x24Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен: p_1=4b=4*5=20 cm
В меньшем основании: p_2=4c=4*3=12 cm
Посчитаем площадь: S=1/2 {(20+12)}*4={32/2}*4=64{cm}^2

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти угол сечения в кубе
  • Как найти тактильный привод
  • Как найти бумаги дома
  • Как в полях найти клиента
  • Как найти сбербанк онлайн скачать