Как найти площадь части параболы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти площадь параболы ограниченной прямой

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = — ∫ a b f 2 ( x ) d x — — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i — 1 x i ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) — f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = — x 2 + 6 x — 5 и прямыми линиями y = — 1 3 x — 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = — x 2 + 6 x — 5 расположен выше прямой y = — 1 3 x — 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 — x 2 + 6 x — 5 — — 1 3 x — 1 2 d x = = ∫ 1 4 — x 2 + 19 3 x — 9 2 d x = — 1 3 x 3 + 19 6 x 2 — 9 2 x 1 4 = = — 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 — 9 2 · 4 — — 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 — 9 2 · 1 = = — 64 3 + 152 3 — 18 + 1 3 — 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ — 2 x 2 = x + 2 2 x 2 — x — 2 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 — 9 2 = — 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x — x + 2 ) d x = x 2 2 — 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 — 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 — 2 2 2 — 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 — 18 — 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = — x 2 + 4 x — 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и — x 2 + 4 x — 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = — x 2 + 4 x — 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : — 1 3 + 4 · 1 2 — 2 · 1 — 1 = 0 .

Разделив выражение — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 на двучлен x — 1 , получаем: — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 ⇔ — ( x — 1 ) ( x 2 — 3 x — 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 — 3 x — 1 = 0 :

x 2 — 3 x — 1 = 0 D = ( — 3 ) 2 — 4 · 1 · ( — 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 — 13 2 ≈ — 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 — x 2 + 4 x — 2 — 1 x d x = — x 3 3 + 2 x 2 — 2 x — ln x 1 3 + 13 2 = = — 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 — 2 · 3 + 13 2 — ln 3 + 13 2 — — — 1 3 3 + 2 · 1 2 — 2 · 1 — ln 1 = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = — log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = — log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения — log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = — log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = — log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = — log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = — log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = — log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( — log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x — ∫ 1 2 x 3 — ( — log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и — log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = — log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 — y ⇒ x = 2 1 — y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 — y — y 3 ) d y = — 2 1 — y ln 2 — y 4 4 0 1 = = — 2 1 — 1 ln 2 — 1 4 4 — — 2 1 — 0 ln 2 — 0 4 4 = — 1 ln 2 — 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 — 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 — 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x — 3 , y = — 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = — 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x — 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = — 1 2 x + 4 :

x = — 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = — 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 — 4 x + 16 ⇔ x 2 — 20 x + 64 = 0 D = ( — 20 ) 2 — 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 — 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , — 1 2 x 1 + 4 = — 1 2 · 16 + 4 = — 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , — 1 2 x 2 + 4 = — 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = — 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x — 3 :

x = 2 3 x — 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x — 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 — 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 — 45 x + 81 = 0 D = ( — 45 ) 2 — 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 — 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 — 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x — 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 4 — 3 = — 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3 :

— 1 2 x + 4 = 2 3 x — 3 ⇔ — 3 x + 24 = 4 x — 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 — 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 — 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x — — 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x — 2 3 x — 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 — 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 — x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 — 4 · 6 — 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 — 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 — 9 2 3 + 3 · 9 — 2 3 · 6 3 2 — 6 2 3 + 3 · 6 = = — 25 3 + 4 6 + — 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x — 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = — 1 2 x + 4 ⇒ x = — 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 — — 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y — 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = 7 4 y 2 — 7 4 y 1 2 + — y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 — 7 4 · 2 — 7 4 · 1 2 — 7 4 · 1 + + — 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 — — 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

или .

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем

Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α = 0 и β = π/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Найдем точки пересечения линий y = —x 2 + x + 4, y = —x + 1, приравнивая ординаты линий: —x 2 + x + 4 = —x + 1 или x 2 — 2x — 3 = 0. Находим корни x₁ = -1, x₂ = 3 и соответствующие им ординаты y₁ = 2, y₂ = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x₁ = -2 и x₂ = 1.

Полагая y₂ = 3 — x и y₁ = x 2 + 1, на основании формулы получаем

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ₁ = ʅ и φ₂ = ʆ, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .

Запишем уравнение астроиды в виде

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2.

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем

Решим систему уравнений

и получим x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через V_x; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a — абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b, объем тела равен )

Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 — 8p 3 x = 0.

Находим корни уравнений:

Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p.

Ключевые слова: найти площадь фигуры на рисунке, заштрихованной, закрашенной, плоской, сложной фигуры, вычислить площадь фигуры.

Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2,
y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей,
найти координаты вершины,
найти пересечение с осью ординат,
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
с осью ординат пересекается в значении у = 4,
найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
ищем корни:

Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

источники:

http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html

http://tvercult.ru/nauka/parabola-svoystva-i-grafik-kvadratichnoy-funktsii

Источник

In Mathematics, we have learned formulas to calculate the area of various figures such as circles, squares, rectangles, spheres, etc. but apart from these figures we also come across non-linear figures or curves that do not have a direct formula to calculate the area under them. The integration method aids in determining the area of such figures. The antiderivative techniques are highly useful for locating the regions of irregular plane surfaces. In this article, we shall learn how to find the area under a curve.

Area under the Curve

The area under a curve can be calculated with respect to different axes such as the Y- axis and X- axis. By performing a definite integral between the two locations, one may determine the area under a curve between two points. Integrate y = f(x) between the limits of a and b to determine the area under the curve y = f(x) between x = a & x = b. With the specified restrictions, integration may be used to compute this area.

Area with Respect to X-Axis

The curve shown in the image below is represented using y = f(x). We need to calculate the area under the curve with respect to X-axis. The boundary values for the curve on the X-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to X-axis is calculated between the points x = a and x = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}y.dx$

or

$A = int_{a}^{b}f(x)dx$

where,

A is the area under the curve

y or f(x) is the equation of the curve

a, b are the x-intercepts

Area with Respect to Y-Axis

The curve shown in the image above is represented using x = f(y). We need to calculate the area under the curve with respect to Y-axis. The boundary values for the curve on the Y-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to Y-axis between the points y = a and y = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}x.dy$

or

$A = int_{a}^{b}f(y)dy$

where,

A is the area under the curve

x or f(y) is the equation of the curve

a, b are the y-intercepts

Solved Examples on Area Under The Curve

Example 1: Find the area under the curve y² = 12x and the X-axis.

Solution:

The given curve equation is y² = 12x.

This is an equation of parabola with a = 3 so, y² = 4(3)(x)

The graph for the required area is shown below:

The X-axis divides the above parabola into 2 equal parts. So, we can find the area in the first quadrant and then multiply it by 2 to get the required area.

So, we can find the required area as:

$A = 2int_{a}^{b}ydx$

$A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx$

$A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}$

A = 24 sq. units

Example 2: Calculate the area under the curve x = y³ – 9 between the points y = 3 and y = 4.

Solution:

Given, the equation of curve is x = y³ – 9.

The boundary points are (0, 3) and (0, 4) .

As the equation of curve is of the form x = f(y) and the points are also on the Y-axis, we will use the formula,

$A = int_{a}^{b}x.dy$

$A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy$

$A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3$

$A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)$

$A = 28+frac{27}{4}$

A = 139/4 sq. units

Example 3: Calculate the area under the curve y = x² – 7 between the points x = 5 and x = 10.

Solution:

Given, the curve is y = x²−7 and the boundary points are and

Thus, the area under the curve is given by:

$A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx$

$A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}$

$A = (frac{1000}{3}-70)-(frac{125}{3}-35)$

$A= frac{790}{3}-frac{20}{3}$

A = 770/3 sq. units

Example 4: Find the area enclosed by the parabola y² = 4ax and the line x = a in the first quadrant.

Solution:

The curve and the line given can be drawn as follows:

Now, the equation of curve is y² = 4ax.

The boundary points come out to be (0,0) and (a,0).

So the area with respect to X-axis can be calculated as:

$A=int_{0}^{a}ydx$

$A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx$

$A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}$

$A=frac{4a^2}{3} sq. units$

Example 5: Find the area covered by the circle x² + y² = 25 in the first quadrant.

Solution:

Given, x² + y² = 25.

The curve can be drawn as:

The required area has been shaded in the above figure. From the equation we can see that radius of the circle is 5 units.

As, x²+ y²= 25

$y = sqrt{25-x^2}$

To find the area, we shall use:

$A = int_{a}^{b}ydx$

$A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx$

$A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5$

$A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]$

$A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}$

A = 25 π/4 sq. units

FAQs on Area Under The Curve

Question 1: Explain the meaning of the area under the curve.

Solution:

The region enclosed by the curve, the axis, and the boundary points is referred to as the area under the curve. Using the coordinate axes and the integration formula, the area under the curve has been determined as a two-dimensional area.

Question 2: Explain the three methods to find the area under the curve.

Solution:

Three methods to find the area under the curve are:

The first method is to break up the space into multiple tiny rectangles of the area under the curve. The areas are then summed to get the overall area.

The second technique involves cutting the space into a few rectangles, which are then joined together to create the desired area.

Utilizing integration to locate the region is the third approach.

Question 3: Can the area under the curve be negative? If yes, explain.

Solution:

If the curve is below the axis or lies in the coordinate axis’s negative quadrants, the area under the curve is negative. In this case as well, the area under the curve is computed using the conventional approach, and the solution is then modulated. Even in cases when the answer is negative, just the area’s value is taken into account, not the answer’s negative sign.

Question 4: How is the area under the curve approximated?

Solution:

By segmenting the region into tiny rectangles, the area under the curve may be roughly estimated. And by adding the areas of these rectangles, one may get the area under the curve. A collection of a few large rectangles may be drawn, and their areas can then be added to determine the approximate area under the curve. Additionally, with the use of definite integrals, we can easily determine the precise area under the curve.

Related Resources

Area of Triangle

Area of Square

Area of Sphere

Last Updated :
02 Jan, 2023

Like Article

Save Article

Источник

Площадь сегмента параболы — это число, характеризующее сегмент параболы в единицах измерения площади.

Сегмент параболы — это конечная фигура, отсекаемая прямой от параболы.

Содержание

1 Виды сегментов:
2 Обозначения
3 Формулы:
- 3.1 Площадь сегмента, перпендикулярного оси параболы
- 3.2 Площадь сегмента, отсекаемого от одной ветви параболы
- 3.3 Площадь сегмента, отсекаемого от двух ветвей параболы
4 Вывод формул:
- 4.1 Площадь сегмента, перпендикулярного оси параболы
- 4.2 Площадь сегмента, отсекаемого от одной ветви параболы
- 4.3 Площадь сегмента, отсекаемого от двух ветвей параболы
5 Другие фигуры:
6 Ссылки

Виды сегментов:

перпендикулярный оси параболы;
отсекаемый от одной ветви параболы;
отсекаемый от двух ветвей параболы.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой крайней точки сегмента;

y₁ — ордината первой крайней точки сегмента;

x₂ — абсцисса второй крайней точки сегмента;

y₂ — ордината второй крайней точки сегмента;

p — фокальный параметр;

y²=2px — каноническое уравнение параболы;

S_прям — площадь прямоугольника;

S_трап — площадь трапеции;

S_треуг — площадь треугольника;

S_{сегм.пар} — площадь сегмента параболы.

Формулы:

Площадь сегмента, перпендикулярного оси параболы

Площадь сегмента, отсекаемого от одной ветви параболы

Площадь сегмента, отсекаемого от двух ветвей параболы

Вывод формул:

Площадь сегмента, перпендикулярного оси параболы

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

Площадь сегмента, отсекаемого от одной ветви параболы

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

Площадь сегмента, отсекаемого от двух ветвей параболы

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

Другие фигуры:

Ссылки

Участник:Logic-samara

Источник

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Еще из школьного курса известно, что для нахождения площадей фигур на координатной плоскости необходимо знание такого понятия, как интеграл. Для его применения в целях определения площадей криволинейных трапеций — именно так и называются эти фигуры — достаточно знать определенные алгоритмы.

Инструкция

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой, изобразите ее в декартовой системе координат. Для изображения параболы следует знать минимум три точки, одна должна быть вершиной. Чтобы найти координату вершины по оси X, подставьте известные данные в формулу x=-b/2a, по оси Y подставьте полученное значение аргумента в функцию. После этого проанализируйте данные графика, входящие в условие задачи. Если вершина ниже оси Х, то ветви будут направлены вверх, если выше — вниз. Остальные 2 точки — это координаты пересечения с осью ОХ. Заштрихуйте полученную фигуру. Это существенно облегчит решение данной задачи.

После этого определите пределы интегрирования. Обычно они указаны в условии задачи с помощью переменных a и b. Эти значения поместите в верней и нижней частях символа интеграла соответственно. После символа интеграла впишите значение функции в общем виде и помножьте его на dx (например, (x²)dx в случае с параболой). Затем вычислите первообразную значения функции в общем виде, воспользовавшись специальной таблицей по ссылке, приведенной в разделе «Дополнительные источники», после чего подставьте туда пределы интегрирования и найдите разность. Полученная разность и будет площадью.

Также существует возможность вычисления интеграла и программным методом. Для этого перейдите по ссылке, находящейся в разделе «Дополнительные источники», на специальный математический сайт. В открывшееся текстовое поле введите integral of f(x), где f(x) — запись функции, график которой ограничивает площадь фигуры на координатной плоскости. После ввода нажмите на кнопку в виде символа «равно». Открывшаяся страница изобразит полученную фигуру, а также покажет ход вычислений ее площади.

Источники:

Математический сайт
вычислить площадь параболы

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

Находит точки пересечения указанных кривых линий
Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Он делает это, находя точки, где графики пересекаются.
Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

С осями ординат x и y
```
y = x^2 + 1
y = 0
x = -1
x = 2
```
Графики, заданные неявным образом
```
y = 3
xy = 2
y^2 - x^2 = 3
```
Две окружности
```
x^2 + y^2 = 4
x^2 + y^2 = 9
```
В полярных координатах
```
r = 2(1 - cos(p))
r = 2
```
Парабола и прямая линия
```
y = (x + 2)^2
y = 4
```
```
y = (x + 2)^2
y = 1 - x
```
```
y = x^2
x + y = 2
```
Корень квадратный
```
y = x^2
y = sqrt(x)
```
С экспонентой и численным решением
```
y = (2x+3)*e^(-x)
x^2 = y
```
Параметрически-заданная функция
```
x = 2(t - sint)
y = 3(1 - cost)
```

Указанные выше примеры содержат также:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
знак числа:
sign(x)
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x)
Факториал от x:
x! или factorial(x)
Гамма-функция gamma(x)
Функция Ламберта LambertW(x)
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: — умножение
3/x: — деление
x^2: — возведение в квадрат
x^3: — возведение в куб
x^5: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi: — число Пи
e: — основание натурального логарифма
i: — комплексное число
oo: — символ бесконечности

Источник