Учебник
Геометрия, 9 класс
Формулы площадей через синус угла
Основные свойства площадей фигур:
- Равные фигуры имеют равные площади. Две фигуры состоящие из одинаковых кусков — равновеликие.
- Аддитивность: Площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей ;
- Площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину … произведение сторон.
Задача 1: В параллелограмме известны стороны $7$, $10$ и синус угла между ними $frac{1}{2}$. Найти площадь параллелограмма.
- Решение: Опустим высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$ . Они помогут «увидеть» площадь.
- Что есть синус $angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $bigtriangleup ABH$? Отношение катета $BH$ к гипотенузе $AB$.
- Формула синуса позволит выразить высоту $BH$ через сторону $AB$ и синус $frac{1}{2}$. Высота $CK$ такая же.
- Параллелограмм $ABCD$ состоит из кусков: $bigtriangleup ABH$ и $4$-угольник $HBCD$. Площадь — сумма площадей кусков.
- Прямоугольник $HBCK$ состоит из кусков $HBCD$ и $bigtriangleup DCK$. Площадь также «сумма кусков».
- Треугольники $bigtriangleup ABH$ и $bigtriangleup DCK$ одинаковые. Значит, параллелограмм и прямоугольник равновеликие.
- Площадь Параллелограмма $ABCD$ так же, как прямоугольника $HBCD$ равна высота на основание.
- $S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCD}=S_{HBCD}+S_{DCK}=S_{HBCK}=BHcdot HK=ABcdotsin angle BADcdot AD=7cdotfrac{1}{2}cdot10$
Теорема «о площади параллелограмма и треугольника через синус угла»:
- Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла параллелограмма:
- Формулы $S=acdot bcdotsin angle BAD$ $S_{ABCD}=ABcdot BCcdotsin D$
- Площадь треугольника равна половине произведения сторон треугольника на синус угла между ними.
- Формулы $S=frac{1}{2}cdot acdot bcdotsin angle C$ $S_{bigtriangleup ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin angle CBA$
Площадь треугольника также легко получить через площадь параллелограмма, равновеликого с двумя треугольниками, приставленными друг к другу по диагонали. Тогда площадь одного треугольника будет равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и с той же высотой.
Задача 2: Диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения на отрезки $3$, $5$ и $6$, $7$ . Синус угла между диагоналями $0,2$. Найти площади треугольников и всего четырехугольника.
- Дано: $BO=3$ $OD=5$ $CO=6$ $AO=7$ … угол между $sinangle AOB=0,2$. Найти: $S_{ABCD}=?$.
- Решение: Диагонали делят четырехугольник на 4 треугольника. Площадь = сумме 4-х площадей.
- Аддитивность: $S_{ABCD}=S_{bigtriangleup AOB}+S_{bigtriangleup BOC}+S_{bigtriangleup COD}+S_{bigtriangleup AOD}$.
- Площадь одного из них по формуле: $S_{bigtriangleup AOB}=frac{1}{2}cdot AOcdot OBcdot sin angle AOB=frac{1}{2}cdot 7 cdot 3cdot 0,2=2,1$
- Каковы синусы остальных углов? Свойство: Синусы смежных углов равны: $sinangle BOC=sinangle COD=sinangle AOD=0,2$
- Тогда, площади других треугольников $frac{1}{2}cdot 3 cdot 6cdot 0,2=1,8$ $frac{1}{2}cdot 6 cdot 5cdot 0,2=3$ $frac{1}{2}cdot 5 cdot 7cdot 0,2=3,5$
- Площадь четырехугольника равна сумме этих площадей Ответ: $S_{ABCD}=2,1+1,8+3+3,5=10,4$
Теоретически, по-другому: Распишем получение площади $S_{ABCD}$ в буквах, без числовых значений:
- $frac{1}{2}cdot OAcdot OBcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OBcdot OCcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OCcdot ODcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot ODcdot OAcdot sin angle AOB$
- Вынос за скобки множителей $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OAcdot OB+OBcdot OC+OCcdot OD+ODcdot OAright)$
- $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OBcdotleft(OA+OCright)+ODcdotleft(OA+OCright)right)=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot AC cdot (OB+OD)$
- Получаем $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$ $Rightarrow$ $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot (7+6) cdot (3+5)cdot 0,2=13cdot 0,8=10,4$
Задача 3: В треугольнике известны стороны $AB=10$ , $BC=12$ и угол $angle ABC=30$ . Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 3 : 5, а точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении 2 : 3. Найти площади и отношение площадей треугольников $ABK$ и $MBC$.
- Дано: $AB=10$, $BC=12$, $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$, $angle ABC=30$. Найти: $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=?$
- Точка делит отрезок в известном соотношении. Находим части как систему уравнений $frac{x}{y}=?$ $x+y=?$
- $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, аддитивность $AM+MB=AB=10$ $Rightarrow$ $frac{AM}{AB}=frac{3}{3+5}$ $Rightarrow$ $AM=frac{15}{4}$, $MB=frac{25}{4}$
- $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$, $BK+KC=12$ из свойств пропорций $BK=frac{24}{5}$, $KC=frac{36}{5}$
- Найдем площадь через синус $S_{bigtriangleup ABK}=frac{1}{2}cdot AB cdot BK cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot 10 cdot frac{24}{5} cdot sin 30= 24 cdot 0,5=12$
- В треугольнике $MBC$ тот же угол, $S_{bigtriangleup MBC}=frac{1}{2}cdot MB cdot BC cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot frac{25}{4} cdot 12 cdot 0,5=frac{75}{4}$
- отношение площадей треугольников $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=frac{12}{frac{75}{4}}=frac{16}{25}$ Ответ: $frac{16}{25}$
Замечание, продолжение: Можно ли найти отношение площадей при неизвестных значениях сторон и угла?
- Зная лишь как делят точки $M$ и $K$ стороны треугольника, на какие пропорции ?!
- Дано только $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$. Выразим отрезки через стороны $AB$ и $BC$.
- Выразим площади $S_{bigtriangleup ABK}$ , $S_{bigtriangleup MBC}$ также через стороны $AB$ и $BC$ и угол $angle ABC$.
- Составим отношение площадей, выразим через стороны и угол. Что получится? Что можно сделать, ?
Теорема «о площади четырехугольника через диагонали и синус угла»:
- Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
- Формулы $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdotsin angle alpha$ $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$
- Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. … диагонали перпендикулярны!
- Формулы $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2=frac{1}{2}cdot AC cdot BD$ $angle AOB=90$ $sin angle AOB=1$
Формулы площади треугольника:
$S=frac{acdot h_a}{2}=frac{acdot bcdotsin C}{2}$ $S=frac{bcdot h_b}{2}=frac{bcdot ccdotsin A}{2}$ $S=frac{ccdot h_c}{2}=frac{ccdot acdotsin B}{2}$.
$sin A=frac{h_b}{c}=frac{h_c}{b}$ $sin B=frac{h_a}{c}=frac{h_c}{a}$ $sin C=frac{h_b}{a}=frac{h_a}{b}$.
$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot BCcdotsin C$ $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin B$ $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot ABcdotsin A$ .
Задача 4: В прямоугольнике диагонали $10$ и угол между ними $30$. Найти площадь.
- Дано: $ABCD$ — прямоугольник , $AC=10$ , $angle AOB=30$ Найти: $S_{ABCD}$ .
- Решение: В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются по середине $AO=OB=5$
- $bigtriangleup AOB$ и $bigtriangleup COD$ равные $Rightarrow$ $S_1=S_3$ ;
- $bigtriangleup BOC$ и $bigtriangleup AOD$ равные $Rightarrow$ $S_2=S_4$ .
- Смежные, $angle BOC=180-angle AOB=150$. Найдем отношение $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}AOcdot OBcdotsin30}{frac{1}{2}BOcdot OCcdotsin150}$
- $sin30=sinleft(180-30right)=sin150$. тогда $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}=1$ Значит, $S_1=S_2$
- Аналогично: $frac{S_3}{S_4}=frac{frac{1}{2}DOcdot OCcdotsin30}{frac{1}{2}AOcdot ODcdotsin150} =1$ $Rightarrow$ $S_3=S_4$, площади равные.
- Диагонали рассекают прямоугольник на четыре равновеликих: треугольника $S_1=S_2=S_3=S_4$ .
- … тогда, по свойству аддитивности площадей $S_1=S_2=S_3=S_4=frac{1}{4}S_{ABCD}$ .
- $S_{AOB}=S_1=frac{1}{2}AOcdot OBcdot sin 30=frac{1}{2}cdot 5cdot 5cdot frac{1}{2}=frac{25}{4}$ $Rightarrow$ $S_{ABCD}=4cdotfrac{25}{4}$
- Найдя площадь АОВ, нашли площадь прямоугольника умножением на 4. Ответ: $S_{ABCD}=25$
Задача 5: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.
- Дано: ромб $ABCD$ , $BD=13$, высота $EB=12$ , Найти: $S_{ABCD}$ .
- Решение: прямоугольный $bigtriangleup BED$, подобен тем, на которые ромб делится диагоналями:
- $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Одинаковый «состав» углов. Все прямоугольные,
- Прямоугольный $bigtriangleup BED$, по Пифагору выразим катет $DE=sqrt{BD^2-BE^2}=5$
- Диагонали в ромбе делятся пополам: $BO=OD=frac{BD}{2}=6,5$ $AO=frac{AC}{2}$ $AC=2cdot AO$
- Для нахождения площади ромба нам нужно найти вторую диагональ.
- $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD$ $Rightarrow$ $frac{AO}{BE}=frac{OD}{ED}$ $Rightarrow$ $AO=frac{ODcdot BE}{ED}=frac{6,5cdot 12}{5}=15,6$ $AC=2cdot AO=31,2$
- Ответ: Площадь ромба через диагонали: $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot ACcdot BD=0,5cdot 31,2cdot13=202,8$
Задача 6. Площадь равнобедренного треугольника равна $100$ , а угол при вершине $30^o$ 1) Найти его боковые стороны . 2) Найти тригонометрию $15^o$
- Решение: 1) Известны площадь и угол, значит используем формулу площади через синус $30^o$ .
- Пусть боковая сторона $a$ , $S=frac{1}{2}acdot acdotsin30$ , тогда $100=frac{1}{2}a^2cdotsin30$ $Leftrightarrow$ $100=frac{1}{2}a^2cdotfrac{1}{2}$ $Rightarrow$
- $a=sqrt{400}=20$ Ответ: $a=20$
- 2) По теореме косинусов найдем основание $c=sqrt{a^2+a^2-2cdot acdot acdotfrac{sqrt{3}}{2}}=asqrt{2-sqrt{3}}$
- Из вершины равнобедренного угла проведем биссектрису к основанию. По свойству равнобедренности
- она будет и высотой $h$ (треугольник поделится на 2 прямоугольных с углами 15 градусов) и медианой,
- а значит основание поделится пополам , как и угол 30 у вершины поделится по 15 градусов.
- По прямоугольнему треугольнику (половинка): $sin15=frac{0,5cdot c}{a}=frac{0,5cdot acdotsqrt{2-sqrt{3}}}{a}=frac{sqrt{2-sqrt{3}}}{2}$
- Площадь через основание $S=frac{1}{2}cdot ccdot h$, найдем высоту $h=frac{2cdot S}{c}=frac{2cdot0,5cdot a^2cdotsin30}{acdotsqrt{2-sqrt{3}}}=frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$
- В прямоугольном треугольнике стороны $h$, $frac{c}{2}$, $a$. Тогда $cos15=frac{h}{a}=frac{frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}}{a}=frac{1}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$
Интерактивные Упражнения
Содержание
- Определение
- Введение
- Теорема
- Формула
- Пример
- Доказательство
- Заключение
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac{1}2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac{1}2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac{1}2*a*b*sin α )( implies )( S = frac{1}2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними
Площадь в таком случае будет равна половине произведения сторон на синус угла между ними.
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} a*b*sin beta)
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} a*c*sin alpha)
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} c*b*sin gamma)
Формула площади треугольника через сторону и два прилежащих угла
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} a^2 frac{sin alpha sin beta}{sin gamma})
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} b^2 frac{sin gamma sin beta}{sin alpha})
(S_bigtriangleup = frac{1}{2} c^2 frac{sin alpha sin gamma}{sin beta})
Примеры
В треугольнике известны две стороны и угол между ними. a=15, b=5; угол β = 30 градусов. Найдите площадь такого треугольника.
Решение:
Воспользуемся формулой (S_bigtriangleup = frac{1}{2} a*b*sin beta = frac{1}{2}*15*5*sin30 = 18,75)
Ответ: 18,75
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 20, а прилежащие углы 30 и 70.
Решение:
Воспользуемся формулой (S_bigtriangleup = frac{1}{2} a^2 frac{sin alpha sin beta}{sin gamma} = frac{1}{2} *20^2 frac{sin 30 sin 70}{sin gamma} = 200frac{sin 30 sin 70}{sin 80} = 95,42)
Чтобы найти угол гамма (γ), нужно γ= 180-α-β = 180-30-70=80°
Ответ: 95,42
Содержание:
- Формулы
- Примеры вычисления площади треугольника
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1).
То есть если известны длины двух сторон треугольника
$ABC$, которые равны
$a$ и
$b$, а также угол
$alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$
Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2),
и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника
$ABC$ равна
$a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне
— $h_{a}$, то имеет место формула:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины всех его трех сторон
$a$,
$b$ и
$c$, нужно воспользоваться формулой Герона:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p=frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника
$ABC$, нужно радиус
$r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр
$p$ треугольника:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=r p$$
Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами
$a$,
$b$ и
$c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса
$R$, описанной около треугольника окружности:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{a b c}{4 R}$$
Примеры вычисления площади треугольника
Пример
Задание. Найти площадь треугольника
$ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см
соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен
$30^{circ}$.
Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть
$begin{aligned} mathrm{S}_{Delta A B C}=& frac{1}{2} a b sin alpha=frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 cdot sin 30^{circ}=\ &=frac{15}{2} cdot frac{1}{2}=frac{15}{4}left(mathrm{cm}^{2}right) end{aligned}$
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{15}{4}$ (см2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Чему равна высота треугольника
$ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь
этого треугольника равна 6 см2 ?
Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a h_{a}$$
то отсюда получаем, что искомая высота
$h_{a}=frac{2 mathrm{S}_{Delta A B C}}{a}=frac{2 cdot 6}{2}=6$ (см)
Ответ. $h_{a}=6$ (см)
Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как найти площадь треугольника с прямыми углами при условии, что длина его
катета составляет 5 сантиметров, а гипотенузы – 13 сантиметров?
Длина катета (а) = 5 см.
Длина гипотенузы (с) = 13 см.
Используя теорему Пифагора, определим длину второго катета:
в² = с² -а² = 169 — 25 = 144
в = 12
Рассчитать площадь прямоугольного треугольника можно по формуле:
S = 0,5ав = 0,5*5*12 = 30
Ответ: S прямоугольного треугольника равна 30 кв.см.
Как найти площадь треугольника?
Для того чтобы вычислить площадь (S) треугольника, следует произвести
умножение длины его основания (а) на длину высоты к основанию (h), а затем
разделить полученное число пополам:
S=1/2 (а*h)
Как найти площадь треугольника при условии, что длина каждой его стороны
является известной величиной?
Если длина каждой стороны треугольника известна, то вычислить его площадь
(S) можно, используя формулу Герона:
S= √ (p * (p — a)*(p — b)*(p — c))
a,b,c – длина каждой из трех сторон;
р – полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон,
разделенной на 2.
Как найти площадь треугольника, зная 3 точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6)?
По условию задачи известны 3 точки, являющиеся вершинами треугольника АВС,
площадь (S) которого нужно вычислить. Это точки А(1;8), В(7;8) и С(6;6).
Две из трех известных точек расположены на прямой, которая параллельна оси
Х, ввиду того что координаты Ya и Yb одинаковы. Это точки А и В. Это
означает, что высота треугольника (h), которая опущена на сторону АВ из
вершины С (6;6), является числом, полученным в результате вычитания из
координаты Ya или Yb координаты Yc:
8-6=2.
Для того чтобы определить длину стороны АВ, нужно от координаты Xb вычесть
координату Xa:
7-1=6.
Теперь можно вычислить площадь треугольника (S):
(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.
Ответ: S = 6 ед.кв.
Как найти площадь треугольника через синус при условии, что известны две
стороны а = 3 и b = 4, а также угол γ= 30°?
Формула расчета площади треугольника (S) через синус применима в случае,
когда известны длины 2-х его сторон и угол, образованный между ними. При
этом следует воспользоваться таблицей синусов, согласно которой синус угла
в 30° = 0,5.
S = (1/2)*3*4*0,5=3.
Ответ: S треугольника = 3 см.кв.
Как найти площадь треугольника через синус, если известно, что длина одной
его стороны равна 12, другой – 16, а синус угла между ними – ¼?
Зная длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, можно
рассчитать его площадь. Она будет равна ½ произведений длин его сторон,
умноженной на значение синуса угла между ними:
12*16*0,5*0,25=24.
Ответ: S треугольника = 24 см.кв.
Как найти площадь треугольника АВС, а также вычислить синус его угла А,
зная, что AC=BC=5;AB=6?
Площадь треугольника АВС можно рассчитать, воспользовавшись формулой
Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(8*2*3*3)=√144=12 (ед.²).
Найти синус угла А можно по следующей формуле:
S=12 * АВ * АС * sin∠A
12 * 6 * 5 * sin∠A = 1215 * sin∠A = 12
sin∠A = 1215 = 0,8
Ответ: sin∠A = 0,8.
Как найти площадь треугольника через синус, если длина одной стороны равна 5
см, другой – 12 см, а синус угла, образованного между ними равен 0,2?
Для того чтобы вычислить площадь треугольника (S), зная параметры,
указанные в задаче, следует воспользоваться нижеприведенной формулой:
S= (a b sinα)/2 = (5·12·0,2)/2 =6
Ответ: S треугольника = 6 см.кв.
Как найти синус угла С в треугольнике АВС, если известно, что АВ=ВС=1 и
АС=2?
Для начала нужно убедиться в том, что заданная фигура с параметрами
АВ=ВС=1, АС=2 действительно представляет собой треугольник.
Длины двух сторон треугольника в сумме не могут быть равны или меньше
длине его третьей стороны. В данном случае:
1+1=2, то есть АВ+ВС=АС
Следует помнить, что говорить о фигуре как о треугольнике можно только в
том случае, когда сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей
стороны.
Ответ: при заданных параметрах треугольника нет, и вычислить синус угла в
данном случае невозможно.
Как найти синус наибольшего внутреннего угла треугольника АВС, если
известно, что AB=13, BC=14, AC=15?
Сторона треугольника, которая имеет наибольшую длину, является
противоположной его наибольшему углу. В данном случае сторона АС имеет
наибольшую длину (15 см), это значит, что наибольшим углом является угол
В.
Перейдем к построению треугольника.
Нужно провести к стороне ВС высоту АН. Синусом наибольшего угла В является
отношение АН:АВ. Теперь можно вычислить высоту из площади треугольника,
рассчитанной по формуле Герона и равной 84 см:
S=ah:2
h=2S:a
h=ВН=2*84:14= 12
sin B=12:13=0,923
Ответ: sin B = 0,923.
Чему равна площадь треугольника, если две сходственные стороны подобного ему
треугольника, площадь которого 32 см.кв., равны 5 см и 10 см?
В условии говорится о том, что треугольники являются подобными. Также
приведены длины двух сходственных сторон. Эти данные можно использовать,
для того чтобы вычислить коэффициент подобия:
К = 10/5 = 2
Известно, что квадрат коэффициента подобия равен отношению площадей двух
треугольников, являющихся подобными. Это означает, что в заданном случае
площадь второго треугольника в четыре раза превышает площадь первого из
них. Зная это, можно найти площадь первого треугольника следующим образом:
32:4 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь первого треугольника – 8 см.кв.
Чему равна площадь треугольника АВС, если он является прямоугольным, и
известно, что катеты равны 2,5 см и 4 см?
Произведение катетов прямоугольного треугольника, разделенное на два,
равно его площади. Для того чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно
перемножить катеты (2,5*4=10) и разделить полученное число на 2 (10/2=5).
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 5 см.кв.
Чему равна площадь треугольника, образовавшегося в результате разделения на
два треугольника квадрата, сторона которого равна 4 см?
Для начала нужно рассчитать площадь квадрата:
4*4 = 16 см.кв.
Теперь можно вычислить площадь одного из получившихся в результате
треугольников:
16/2 = 8 см.кв.
Ответ: Площадь треугольника равна 8 см.кв.
Дано: два подобных треугольника, длины двух сходственных сторон которых
равны 3 см и 9 см Площадь одного из треугольников – 9 см.кв. Чему равна
площадь другого треугольника?
Квадраты сходственных сторон двух подобных треугольников относятся как их
площади. Это значит, что:
(9/3)²=х/9,
где х – это площадь треугольника, которую нужно вычислить.
9=х/9,
откуда х=81см.кв.
Ответ: Площадь треугольника – 81 см.кв.
Известна площадь треугольника (208 см), основание которого было разбито
высотой на два отрезка длиной 22 см и 10 см. Чему равна площадь
треугольника, являющегося меньшим из двух образовавшихся?
Сначала нужно найти длину всего основания:
10+22 = 32 см.
Теперь можно вычислить площадь меньшего из двух треугольников:
208 / 32 * 10 = 65 см.кв.
Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 65 см.кв.
Чему равна площадь треугольника через синус, если две его стороны имеют
длины 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно найти
полупроизведение двух его сторон на синус угла, образованного между ними:
S=1/2 * 3*8*sin120=1/2*3*8*cos30=12*√3/2=6√3.
Какова формула расчета площади треугольника?
Площадь треугольника можно найти, если разделить на два число, полученное
в результате умножения высоты (h), опущенной на его основание, на длину
самого основания (а):
S=1/2*(h*a).
Как вычислить площадь треугольника по формуле 3-го класса?
В случае треугольника с прямыми углами, его площадь вычисляется по
формуле:
S=a*b/2,
где а и b – это стороны, которые прилегают к прямому углу.
Во всех остальных случаях рассчитать площадь треугольника можно следующим
образом:
S=a*h/2,
где а – сторона,
h – высота.
Какую формулу нужно использовать, чтобы вычислить площадь треугольника, зная
2 его стороны и угол, образованный между ними?
Для вычисления площади треугольника по длинам двух его сторон и
находящемуся между ними углу, нужно пользоваться формулой:
S = 1a*b*sin γ2.
Возможно ли доказать, что по формуле S= 1/2 Pr можно вычислить площадь
треугольника?
Имеется:
— треугольник АВС;
— О – центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис;
— Н – точка касания окружности на АВ;
— К – точка на ВС;
М – точка на АС.
Нужно провести ОА, ОВ, ОС, а также перпендикулярные радиусы в точки
касания — ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r. Площадь треугольника АВО будет
равна:
S = 1/2АВ*ОН.
Площадь ВОС рассчитывается так:
S = 1/2ВС*ОК.
Площадь АОС:
S = 1/2АС*ОМ
Площадь заданного треугольника АВС можно найти следующим образом:
S АВС = S АОВ + S ВОС + S АОС = 1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ.
Однако ОН=ОК=ОМ=r.
Тогда S АВС = 1/2*r*(АВ+ВС+АС).
Но АВ+ВС+АС= периметр Р, что означает, что
S АВС = 1/2*Р*r.
Как вычислить площадь треугольника при помощи формулы Герона, если дано, что
его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см?
Сначала следует произвести расчет полупериметра (р):
р=(6+8+10):2=12 см.
Далее, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника (S):
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(12*6*4*2)=√576=24 см.кв.
Каким образом можно доказать тот факт, что радиус окружности, которая
описана вокруг треугольника, вычисляется по формуле R=a*b*c/4S, где а,b, с –
это стороны треугольника, S — его площадь?
Высота к стороне треугольника находится по формуле b*sin(C). Отсюда можно
найти его площадь S = a*b*sin(C)/2. При этом следует принимать во внимание
теорему синусов, согласно которой c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R).
Тогда площадь S = a*b*c/4R. Именно это требовалось доказать.
Что представляет собой формула расчета площади треугольника ROF, в случае
если R(0;5),О(0;0),F(2;0)?
Полагаясь на координаты, можно утверждать, что точка R лежит на оси Y и
находится на расстоянии в пять единиц от начала отсчета. При этом точка F
находится на оси X, на расстоянии двух единиц от начала отсчета. Заданный
треугольник является прямоугольным. RO равна 5 единицам длины, FO – двум
единицам длины. В этом случае площадь треугольника ROF равна:
S =RO*FO/2=5*2/2=5(единиц длины)².
Как вычислить площадь треугольника, использовав формулу Герона?
Формула Герона, предназначенная для вычисления площади треугольника,
выгладит так:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ),
где а,b, с – это стороны треугольника,
р – полупериметр, рассчитываемый как Р/2.
Какова формула, по которой можно вычислить площадь треугольника, зная три
стороны и радиус описанной окружности?
Если известны длины трех сторон треугольника (а,b, с), а также радиус
описанной окружности (R), то можно рассчитать площадь треугольника (S) по
следующей формуле:
S = a*b*с/4R.
Как можно найти длину одной стороны треугольника b, используя формулу
расчета его площади S=abc/4R?
В случае необходимости выразить длину одной из сторон треугольника b из
формулы расчета его площади S=abc/4R, нужно произвести умножение всего
выражения на 4R:
S4R=abc.
После этого нужно произвести деление всего на ac:
S4R/ac=b.
Можно ли привести доказательство того, что радиус вписанной в треугольник
окружности (r), рассчитывается по формуле r =2S/a+b+c, в которой а,b, с –
это стороны треугольника, S – его площадь?
В случае соединения вершин треугольника с центром окружности, вписанной в
него, в результате произойдет его деление на 3 треугольника. Радиус в
точке касания будет выступать в роли высоты в каждом из них. Из этого
вытекает формула:
S = pr,
где р – полупериметр.
Возможно ли из формулы S=aha/2, используемой для вычисления площади
треугольника, выразить и вычислить одну из его сторон а, при условии, что
площадь равна 21 см, а высота ha – 7 см?
Ответ на поставленный вопрос выглядит следующим образом:
S=aha/2
a=2S/ha
a=2*21/7=6 см.
Ответ: Длина стороны а равна 6 см.
Какую формулу нахождения площади треугольника следует применять, когда
известно, что три катета равны 3 см, 5 см и 4 см?
Формула S=12 bа для прямоугольного треугольника с двумя катетами (а и b)
и гипотенузой с. В представленной задаче а=3 см, b=4 см, с=5 см. Согласно
таблице Пифагора с²=а²+в². В нашем случае 5²=3²+4², 25=9+16) и S=12*3*4=6
cм. кв.
Какова формула нахождения площади треугольника, длины трех сторон которого
равны 16 см, 24 см и 32 см?
Площадь треугольника можно рассчитать, применяя формулу Герона:
S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
в которой р обозначает полупериметр, вычисляемый как сумма длин всех
сторон треугольника, разделенная на 2: р=(16+24+32)/2=36.
В формуле стороны треугольника обозначены как a, b, c.
S=√36*20*12*4 = 48√15 cм.кв.
S = a*b*c/(4R) – это формула нахождения площади треугольника. В ней a, b и
с – это его стороны, а R – это радиус окружности, которая описана вокруг
данного треугольника. Каким образом можно использовать данную формулу,
чтобы найти площадь треугольника, если а = 11, b = 13, с = 20 и R = 65/6?
Сначала нужно перемножить длины всех сторон треугольника:
a*b*с = 11*13*20 = 2860.
Четыре радиуса окружности равны:
4/(65/6) = 130/3.
Из этого следует, что площадь треугольника будет равна:
S = 2860/(130/3) = 8580/130 = 66 см. кв.
Каковы формулы нахождения площади треугольника?
Существует несколько формул, которыми можно пользоваться для вычисления
площади треугольника:
1. S = 1/2*bh, в которой b – это основание фигуры, а h – проведенная к
нему высота.
2. S = 1/2*ahₐ, где а обозначает длину стороны треугольника, а hₐ —
проведенная к этой стороне высота.
3. Формула Герона: S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ), в которой стороны
треугольника обозначены как а,b, с. Полупериметр (Р/2) обозначен как р.
4. S=р*r, или полупериметр*радиус вписанной окружности.
5. S= 1/2*ab*sinα, где a и b – это стороны треугольника, α – угол,
образованный между ними.
6. S = (a*b*c) / 4R, в которой радиус описанной окружности обозначен R, а
стороны треугольника — а,b,с.
Прямоугольник, периметр которого равен 40 см, вписан в треугольник со
сторонами 20 см, 34 см и 42 см таким образом, что одна из его сторон лежит
на стороне треугольника, являющейся наибольшей. Чему равны стороны
треугольника?
Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c)) = √ (48*(48-20)*(48-34)*(48-42)) = 336 см. кв.
Отсюда следует, что высота, проведенная к стороне 42 рассчитывается так:
Н = 2*336/48 = 16.
Верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x — сторона
II основанию 42, y — сторона II высоте H = 16), из чего следует очевидная
пропорция (16 — y)/16 = x/42, согласно которой отношение высот равно
отношению оснований. По условию x + y = 20. Решив данную систему двумя
уравнениями с двумя неизвестными, получаем следующее:
х = 84/13; y = 176/13.
Длина большей стороны треугольника равна 16 см. Число 0,4 является
разностью длин двух других его сторон. Чему равны стороны треугольника при
условии, что его периметр равен 0,38 м?
Схема решения задачи:
а (большая сторона треугольника) = 16 см.
b-с = 0,4 см., b = 0,4+с.
Периметр (Р) = 38 см.
16+0,4+с+с = 38 см.
2с = 21,6 см.
с = 21,6/2 = 10,8 см.
b = 10,8+0,4 = 11,2 см.
Каким способом можно доказать то, что два треугольника с равными сторонами
равны между собой при условии, что стороны одного из них равны стороне
другого?
Для равносторонних треугольников характерно равенство длин всех трех
сторон. Если одна его сторона равна а, то и обе другие тоже будут равны а.
Если же все стороны треугольников равны, то это равенство соблюдается по 3
признаку.
Длины двух сторон треугольника с периметром 19 см равны 6 см и 4 см. Чему
равна третья сторона данного треугольника?
Известно, что периметр треугольника является суммой длин всех его сторон и
рассчитывается по формуле:
Р = а+ b+с.
В данном случае:
19 = 6+4+с
19 = 10+с
с = 19-10 = 9 см.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника – 9 см.
Наименьшая сторона треугольника имеет длину 5 см. Чему равны другие стороны
этого треугольника при условии, что стороны треугольника, являющегося
подобным ему, равны 8 см, 2 см и 9 см?
Сначала необходимо вычислить коэффициент подобия двух этих треугольников.
Он равен отношению сходственных сторон:
к = 5/2.
Теперь нужно рассчитать длины других сторон первого из треугольников. Одна
из них, которая является сходственной стороне второго из треугольников
длиной 8 см, рассчитывается следующим образом:
8*к = 9*5/2 = 20 см.
Еще одна сторона первого треугольника, сходственная стороне другого из
них, которая имеет длину 9 см, вычисляется так:
9*к = 9*5/2 = 22,5 см.
Три стороны треугольника имеют длины 8 см, 24 см и 22 см. Произведение длин
всех трех сторон подобного треугольника равно 66. Чему равны стороны
подобного треугольника?
Следует найти отношение этих сторон:
4/12/11.
Отношение всех сторон подобного треугольника будет таким же.
Одну из сторон подобного треугольника обозначим 4х, вторую сторону – 12х,
а третью – 11х. В результате получается следующее уравнение:
4х*12х*11х = 66
528х^3 = 66
x^3 = 66:528
x^3 = 0,125
x = корень 3-ей степени из 0,125 = 0,5.
Первая сторона треугольника = 4х = 4*0,5 = 2 см.
Вторая сторона треугольника = 12х = 12*0,5 = 6 см.
Третья сторона треугольника = 11х = 11*0,5 = 5,5 см.
Проверка: 2*6*5,5 = 66 см.
Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Его медиана, которая
проведена к третьей из сторон, равна √46 см. Чему равна третья сторона
треугольника?
Имеется треугольник АВС, в котором АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВD – медиана на
АС = √46 см (2*АВ в квадрате+2*ВС в квадрате-АС в квадрате). √46 см. =
½*√(2*36+2*64-АС в квадрате), каждую часть возводим в квадрат,
4*46=72+128-АС в квадрате, АС в квадрате=16, АС=4.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4 см.
Две из трех сторон треугольника равны 1 см и 3 см. Чему равна третья сторона
этого же треугольника?
Если предположить, что третья сторона треугольника равна 1 см, то в этом
случае не получится соблюсти неравенство 1 см+1 см = 2 см. В этом случае 3
см больше 2 см, а должно быть меньше. Если длина неизвестной стороны равна
2 см, то неравенство снова не соблюдается: 2 см+1 см = 3, тогда 3 см =3
см, чего тоже не может быть ввиду того, что одна из сторон треугольника
обязательно должна быть меньше суммы двух других его сторон. Если принять
длину третьей стороны равной 3 см, то получается 1 см+3 см = 4 см, 3<4. В этом случае неравенство выполняется. 3 см +3 см=6 см, 3<6. Неравенство снова соблюдено. Возьмем за длину третьей стороны 4 см: 3 см+1 см=4 см, 4=4. Неравенство не соблюдено. Это значит, что и последующими числами оно не будет соблюдено.
Ответ: Третья сторона треугольника равна 3 см.
Как узнать площадь треугольника, являющегося прямоугольным?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S) с прямыми углами,
следует воспользоваться приведенной ниже формулой:
S = ½* ab,
где a и b – катеты.
Как узнать площадь треугольника с прямыми углами, катеты которого равны 5 см
и 4 см?
Площадь треугольника с прямыми углами равна ½ от произведения его катетов:
S = (5*4)/2=20/2=10 см. кв.
Как узнать площадь треугольника, используя измерения и вычисления?
Для того чтобы получить возможность вычислить площадь треугольника,
необходимо произвести замеры его основания (а) и высоты (h). Тогда площадь
может быть рассчитана по следующей формуле:
S=ah/2.
I. Площадь треугольника через синус
Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.
Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
| Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
| Ответ: Площадь треугольника = 3.000 |
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:
Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:
Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол: 
Подставляем данные в формулу 
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов. 
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:
| Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
| Ответ: Площадь треугольника = 4.243 |