Как найти площадь четырехугольника 3 класс?
Что такое площадь для 3 класса?
Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. . Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.
Какая формула у площади квадрата?
S = a × a = a 2 , где S — площадь, a — сторона. Эту формулу проходят в 3 классе.
Что такое площадь как ее найти?
Когда известно значение длины и ширины фигуры
Для вычисления необходимо умножить их друг на друга. S = a × b, где S — площадь; a, b — длина и ширина. Проверить полученный результат поможет онлайн-калькулятор площади прямоугольника.
Как найти площадь прямоугольного треугольника в 3 классе?
Вывод: чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно катеты перемножить и произведение разделить на 2.
.
закреплять материал, изученный на предыдущих уроках:
- нахождение части от числа и числа от части,
- нахождение площади прямоугольника,
- нахождение процентов.
Площадь четырехугольника
Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.
В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади четырехугольника
исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) |
эскиз | формула | |
1 | диагональ и угол между ними | ||
2 | стороны и углы между этими сторонами | ||
3 | стороны (по Формуле Брахмагупты) |
||
4 | стороны и радиус вписанной окружности | ||
5 | стороны и углы между ними |
Площадь частных случаев четырехугольников
Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:
Определения
Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника
В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.
Определения и соглашения
В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.
- Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
- Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
- Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
- Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
- Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
- Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
- Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
- Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).
Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).
Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.
Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.
Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).
На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.
Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.
Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.
Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.
Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:
Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:
S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.
Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:
S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.
Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:
S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.
Заключение
Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов — квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:
- S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2);
- S = rad(( p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ) − a*b*c*d*c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);
- S = ((a + b+ c + d)/2)*r
S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра.
Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.
Видео
Разобраться в этой теме вам поможет видео.
http://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon
http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-vychisleniya-ploshhadi-proizvolnogo-chetyryohugolnika
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Вам дана задача, в которой требуется найти площадь четырехугольника, а вы даже не знаете, что такое четырехугольник? Не волнуйтесь, эта статья вам поможет! Четырехугольник — это любая фигура с четырьмя сторонами. Для вычисления площади четырехугольника нужно определить тип четырехугольника, который вам дан, и воспользоваться соответствующей формулой.
-
1
Определение параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это параллелограммы.
- Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
- Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
- Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
-
2
Площадь прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его ширину (короткая сторона; представьте ее как высоту) и длину (длинная сторона; представьте ее как сторону, к которой проведена высота). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
- ‘Площадь = длина х высота, или S = a х h.
- Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
- Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).
-
3
Площадь квадрата. Квадрат — это частный случай прямоугольника, поэтому используйте ту же формулу, что и для нахождения площади прямоугольника. Но в квадрате все стороны равны, поэтому площадь квадрата равна любой из его сторон, возведенной в квадрат (то есть умноженной саму на себя).[1]
- Площадь = сторона х сторона, или S = a2.
- Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
-
4
Площадь ромба равна произведению его диагоналей, разделенной на два. Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины ромба.[2]
- Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
- Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.
-
5
Площадь ромба также можно найти, если умножить его сторону на высоту, опущенную на эту сторону. Но не путайте высоту со смежной стороной. Высота — это прямая, опущенная из любой вершины ромба на противоположную сторону, и пересекающая противоположную сторону под прямым углом.
- Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.
-
6
Формулы для вычисления площадей ромба и прямоугольника применимы к квадратам, так как квадрат — это частный случай как прямоугольника, так и ромба.
- Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
- Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
- Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
- Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.
Реклама
-
1
Определение трапеции. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Каждая из четырех сторон трапеции может быть разной длины.
- Есть два способа вычисления площади трапеции (в зависимости от данных значений).
-
2
Найдите высоту трапеции. Высота трапеции — отрезок, соединяющий параллельные стороны (основания) и пересекающий их под прямым углом (высота не равна боковым сторонам). Вот как найти высоту трапеции:[3]
- Из точки пересечения меньшего основания и боковой стороны проведите перпендикуляр к большему основанию. Этот перпендикуляр и есть высота трапеции.
- Чтобы вычислить высоту, используйте тригонометрию. Например, если вы знаете боковую сторону и прилегающий к ней угол, то высота равна произведению боковой стороны на синус прилегающего угла.
-
3
Найдите площадь трапеции, используя высоту. Если вы знаете высоту трапеции и оба основания, используйте следующую формулу для вычисления площади трапеции:
- Площадь = (основание1 + основание2)/2 × высота, или S = (a+b)/2 × h
- Пример: если высота трапеции равна 2 см, а основания трапеции равны 7 см и 11 см, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 11)/2 * 2 = 18 квадратных сантиметров.
- Если высота трапеции равна 10, а основания трапеции равны 7 и 9, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80.
-
4
Найдите площадь трапеции, используя среднюю линию. Средняя линия — это отрезок, параллельный основаниям и делящий боковые стороны пополам. Средняя линия равна среднему значению от обоих оснований (a и b): средняя линия = (a+b)/2.
- Площадь = средняя линия х высота, или S = m × h
- По сути, здесь вы используете формулу для нахождения площади трапеции по двум основаниям, но вместо (a+b)/2 подставлена m (средняя линия).
- Пример: если средняя линия трапеции равна 9 см, то площадь этой трапеции: S = m*h = 9 х 2 = 18 квадратных сантиметров (вы получили тот же ответ, что и в предыдущем шаге).
Реклама
-
1
Определение дельтоида. Дельтоид — это четырехугольник с двумя парами сторон одинаковой длины.
- Есть два способа вычисления площади дельтоида (в зависимости от данных значений).
-
2
Найдите площадь дельтоида, используя формулу для нахождения площади ромба (с использованием диагоналей), так как ромб — это частный случай дельтоида, у которого все стороны равны. Напомним, что диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины.
- Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
- Пример: если диагонали дельтоида равны 19 см и 5 см, то площадь этого дельтоида: S = (19 х 5)/2 = 47,5 квадратных сантиметров.
- Если вы не знаете длины диагоналей и не можете их измерить, используйте тригонометрию, чтобы вычислить их. Прочтите эту статью, чтобы узнать больше информации.
-
3
Найдите площадь дельтоида, используя неравные стороны и угол между ними. Если вы знаете неравные стороны и угол между этими сторонами (θ), то площадь дельтоида вычисляется с помощью тригонометрии по формуле:[4]
- Площадь = (сторона1 х сторона2) х sin (угол), или S = (a × b) × sin(θ), где θ — угол между неравными сторонами.
- Пример: Если стороны дельтоида равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 120 градусам, то площадь дельтоида равна (6 х 4) х sin120 = 24 х 0,866 = 20,78 квадратных сантиметров.
- Обратите внимание, что вы должны использовать две неравные стороны и угол между ними; если вы используете две равные стороны и угол между ними, вы получите неправильный ответ.
Реклама
-
1
Если вам дан четырехугольник произвольной формы, то даже для таких четырехугольников существуют формулы для вычисления их площадей. Обратите внимание, что такие формулы требуют знания тригонометрии.
- Во-первых, найдите длины всех четырех сторон. Обозначим их через a, b, c, d (а напротив с, а b напротив d).
- Пример: дан четырехугольник произвольной формы со сторонами 12 см, 9 см, 5 см и 14 см.
-
2
Найдите угол А между сторонами а и d и угол С между сторонами b и с (вы можете найти любые два противолежащих угла).
- Пример: в нашем четырехугольнике А = 80 градусов и C = 110 градусов.
-
3
Представьте, что существует отрезок, соединяющий вершины, образованные сторонами а и b и сторонами с и d. Этот отрезок разделит четырехугольник на два треугольника. Так как площадь треугольника равна 1/2absinC, где C — угол между сторонами a и b, вы можете найти площади двух треугольников и сложить их, чтобы вычислить площадь квадрата.
- Площадь = 0,5 х сторона1 х сторона4 х sin(угол между стороной1 и стороной4) + 0,5 х сторона2 х сторона3 х sin(угол между стороной2 и стороной3), или
- Площадь = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
-
Пример: вы нашли стороны и углы, поэтому просто подставьте их в формулу.
-
- = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110)
- = 84 × sin (80) + 22,5 × sin (110)
- = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939
- = 82,66 + 21,13 = 103,79 квадратных сантиметров.
-
- Обратите внимание, что если вы пытаетесь найти площадь параллелограмма (у которого противоположные углы равны), то формула примет вид: площадь = 0.5*(ad + bc) * sin A
Реклама
Советы
-
Этот калькулятор для вычисления площади треугольника пригодится вам при вычислении площади четырехугольника произвольной формы.[5]
- Чтобы получить дополнительную информацию, прочитайте статьи по вычислению площади квадрата, площади прямоугольника, площади ромба, площади трапеции и площади дельтоида.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 440 857 раз.
Была ли эта статья полезной?
Математика, 3 класс
Урок №22. Площадь прямоугольника
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Как вычислить площадь прямоугольника?
- В каких единицах измеряется площадь?
- Какими способами можно сравнить геометрические фигуры?
Глоссарий по теме:
Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60-61.
2. Рудницкая В. Н. Тесты по математике:3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2016 с. 38-43.
3. Волкова Е. В. ВПР. Математика 3 класс Практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС .М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 36-53.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Упоминание о первых геометрических фигурах встречается еще у древних египтян и древних шумеров. Учёными-археологами (они ищут разные исторические древности) был найден папирусный свиток (бумага древних египтян, изготавливаемая из растения папирус) с геометрическими задачами, в которых упоминались геометрические фигуры. И каждая из них называлась каким-то определенным словом. Одним определенным словом называлась фигура прямоугольник независимо от того какие стороны были у этого прямоугольника. А если у прямоугольника все стороны были одинаковые, то такой прямоугольник имел специальное название – квадрат. Таким образом, значит, что уже в те далекие времена люди имели представление о геометрии и знали изучаемые этой наукой фигуры. Название «геометрическая фигура» придумали древние греки. И названия всем геометрическим фигурам дали тоже древнегреческие учёные.
Найдём площадь геометрической фигуры.
Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать сколько раз в фигуре поместится квадрат со стороной 1 см. Площадь этой геометрической фигуры составляет 18 квадратов. Для удобства подсчёта количество квадратов можно воспользоваться знаниями таблицы умножения. По 6 взять 3 раза получится 18 квадратов.
Найдём площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см.
Для этого достаточно умножить длину на ширину. 6 ∙ 3 = 18 см2
Таким образом, формулируем вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.
S = a ∙ b
S – площадь
a – длина
b – ширина
Задания тренировочного модуля:
1. Заполните пропуски в таблице.
а |
5 |
6 |
3 |
|
b |
8 |
9 |
||
S |
15 |
56 |
24 |
Правильный ответ:
а |
5 |
7 |
6 |
3 |
b |
3 |
8 |
9 |
8 |
S |
15 |
56 |
54 |
24 |
2. Длина прямоугольника 8см, ширина 4 см. Чему равна площадь прямоугольника? Выделите правильный ответ.
12 см; 32 см; 24 см2; 32 см2; 24; 12 см2.
Правильный ответ: 32см2.
Содержание
- — Что такое площадь для 3 класса?
- — Какая формула у площади квадрата?
- — Что такое площадь как ее найти?
- — Как найти площадь прямоугольного треугольника в 3 классе?
Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. … Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.
Какая формула у площади квадрата?
S = a × a = a2, где S — площадь, a — сторона. Эту формулу проходят в 3 классе.
Что такое площадь как ее найти?
Когда известно значение длины и ширины фигуры
Для вычисления необходимо умножить их друг на друга. S = a × b, где S — площадь; a, b — длина и ширина. Проверить полученный результат поможет онлайн-калькулятор площади прямоугольника.
Как найти площадь прямоугольного треугольника в 3 классе?
Вывод: чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно катеты перемножить и произведение разделить на 2.
…
закреплять материал, изученный на предыдущих уроках:
- нахождение части от числа и числа от части,
- нахождение площади прямоугольника,
- нахождение процентов.
Интересные материалы:
Как правильно подобрать цвет натяжного потолка в кухне?
Как правильно подобрать цвет натяжных потолков?
Как правильно подобрать цвет обоев?
Как правильно подобрать цвет рамки для картины?
Как правильно подобрать цвет штор на кухне?
Как правильно подобрать цвет штор в спальню?
Как правильно подобрать цвет штор?
Как правильно подобрать цвет стен в интерьере?
Как правильно подобрать цвет столешницы?
Как правильно заготовить липовый цвет?
Как найти площадь четырехугольника 3 класс.
На этой странице находится вопрос Как найти площадь четырехугольника 3 класс?, относящийся к категории
Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям
учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете
обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С
помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие
вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают
сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.