Как найти площадь четырехугольника по векторам

Четырехугольник и вектор на плоскости

Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:

• ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
• сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
• если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
• любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
• пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
• любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.

Специальные типы

Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:

1. Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
2. Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
3. Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).

Направленные отрезки и операция умножения

Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:

P (x1, y1); Q (x2, y2).

Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:

PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).

Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.

Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:

c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).

Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| — длины соответствующих направленных отрезков.

Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.

Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:

c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).

Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.

Формула площади из геометрии

Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:

S3 = ½*h*a.

Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:

S4 = 2*S3 = h*a.

Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:

sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).

Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:

S4 = a*b*sin (alfa).

Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.

Построение параллелограмма

Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.

Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:

S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.

Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:

S4 = |(a1*b2-b1*a2)|.

Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.

Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.

Задача с тремя точками

Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:

• A (1,-1);
• B (2, 0);
• C (-4, 3).

На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.

Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:

AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).

Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:

S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.

Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.

Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.

Диагонали фигуры

Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.

Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:

S4 = [a-*f-] = |a-|*|f-|*sin (beta).

Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.

Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:

S4 = ½*|[e-*f-]| = ½*|e-|*|f-|*sin (teta).

Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.

Пример решения

Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:

e- = (2, -1); f- = (1, -4).

Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:

S4 = ½*|[e-*f-]| = ½*|-8+1| = 3,5.

В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.

Трехмерное пространство

В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.

Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.

Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма, треугольника и выпуклого четырёхугольника, а также вектора нормали к плоскости.

Для параллелограмма

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение.

По определению векторного произведения двух векторов модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Поэтому для решения задачи найдем сначала векторное произведение , а потом его модуль. Согласно

имеем

а модуль

Искомая площадь параллелограмма

S = 19,26 кв. ед.

Для треугольника

Пример 4. Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин: 

Решение. Найдём векторы  и :

 тогда . Находим .

Имеем

Для выпуклого четырехугольника

площадь выпуклого четырехугольника АВСD

равна половине длины векторного произведения [AC BD]

Для вектора нормали к плоскости

 Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Использование векторного произведения
ВЕКТОРОВ

для вычисления площади

некоторых геометрических фигур

Исследовательская работа по математике

Ученика 10 Б класса

МОУ СОШ №73

Перевозникова Михаила

Руководители:

Учитель математики МОУ
СОШ№73 Драгунова Светлана Николаевна

Ассистент каф. математического анализа 
механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб
Сергеевич

Саратов, 2015

Содержание

Введение.

1. Теоретический обзор.

1.1. Векторы и вычисления с векторами.

1.2. Использование скалярного произведения векторов  в решении задач

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом
пространстве:  определение понятия.

1.5. Координаты векторного произведения векторов.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и
параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного
произведения векторов.

2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство
теоремы

2.3. Проверка на примерах правильности
формулы.

2.4. Практическое
использование векторной алгебры и произведения векторов.

Заключение

Введение

Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа
решения – графический и аналитический. Графический метод связан с
построением графиков и чертежей, а аналитический ‑  предполагает
решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем
случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая
геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая
рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода
координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет
анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные
для практических приложений. При этом в этой науке для расширения
пространственного понимания фигур помимо скалярного произведения векторов
иногда применяется векторное произведение векторов.

В связи с широким распространением трехмерных пространственных
технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием
векторного произведения представляется актуальным.

В связи с этим была обозначена цель данного проекта –
использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых
геометрических фигур.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и  дать
определение векторному произведению векторов в системе координат;

2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью
треугольника и параллелограмма;

3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в
координатах;

4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

1. Теоретический обзор.

1.1.  Векторы и вычисления с векторами

Вектором называется направленный отрезок, для которого
указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка
– точка В. Сам вектор обозначен через  или
 . Чтобы найти координаты вектора ,
зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из
координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

 = {B_x —
A_x ; B_y — A_y}

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на
одной прямой. При этом вектор ‑ отрезок, характеризующийся длиной и
направлением.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и
называется длиной вектора или модулем вектора.

Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна
квадратному корню из суммы квадратов его координат.

С векторами можно совершать различные действия.

Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй
вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго
(рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

Сумму векторов   = {a_x ; a_y}
и = {b_x ; b_y} можно найти
воспользовавшись следующей формулой:

+ =
{a_x + b_x; a_y + b_y}

 

Рис. 1. Действия с векторами

Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом
соединить конец второго с концом первого.

Разность векторов  = {a_x ; a_y}
и  = {b_x ; b_y}
можно найти по формуле:

 —  =
{a_x — b_x; a_y — b_y}

Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор,
который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от
знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном –
противоположно направлены.

Произведение вектора  = {a_x ; a_y}
и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k ·  =
{k · a_x; k · a_y}

А можно ли умножать вектор на вектор?
Конечно, и даже двумя вариантами!

Первый вариант
– скалярное произведение.

Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

Для нахождения произведения векторов
можно использовать угол a между данными векторами, показанный на рисунке 3.

Из формулы следует, что скалярное
произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между
ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны,
то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними
равен нулю.

В координатной
плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное
произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между
прямыми (или их отрезками), если введена система координат.  И если координаты ,
то их скалярное произведение равно:

В трехмерном пространстве существует
3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3
координаты, а  скалярное произведение векторов вычисляется  по формуле:

.

1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном 
пространстве.

 

Вторым вариантом вычисления
произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить
требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец
вектора имеют  по 3 координаты.

В отличие от скалярного произведения
векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами
приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух
векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов
результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в
произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

Очевидно, что при построении
результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение
—  и ,  может быть выбрано два противоположных
направления. При этом направление результирующего вектора  определяется по правилу
правой руки, или правилу буравчика. Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый
вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре
пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая
вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление
вектора-произведения (рис. 7).

Рис. 7. Правило правой руки

1.3. Свойства векторного
произведения векторов.

Длина
результирующего вектора определяется по формуле

.

При этом   ‑
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет
перпендикулярен , а его направление
определяется по правилу правой руки.

Векторное произведение зависит от порядка
сомножителей, именно:

.

       Векторное
произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла
между ними будет равен 0.

Координаты векторов
в трехмерном пространстве  выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора
находим по формуле

.

Длина результирующего вектора находится по
формуле:

.

 

 

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью
треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного
произведения векторов.

Пусть нам дан
треугольник ABC (рис. 8).
Известно, что .

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух
векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного
произведения векторов:

 

Из выше сказанного можно определить
геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

длина векторного произведения векторов равна удвоенной
площади треугольника, имеющего сторонами векторы  и , если их отложить
от одной точки.

Другими словами, длина векторного произведения векторов  и  равна
площади параллелограмма, построенного на векторах  и , со
сторонами  и  и углом между ними,
равным .

.

Рис.
9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

В связи с этим, можно
привести еще одно определение векторного произведения векторов:

Векторным произведением вектора  на
вектор   называется вектор , длина которого численно равна площади
параллелограмма построенного на векторах  и , перпендикулярный к плоскости этих
векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от  к  вокруг
вектора  осуществлялось против часовой
стрелки, если смотреть с конца вектора  (рис.
10).

Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

с использованием  параллелограмма

2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника
в координатах.

Итак, нам дан
треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого
треугольника (рис. 11).

Рис. 11. Пример
решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

Решение.

Для начала,
рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и
АС.

По данной прежде
формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора
равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

Более того, если
мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного
произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую
теорему.

Теорема: Пусть
дан треугольник АВС и координаты его вершин  (рис.
12).

Тогда .

Рис. 12. 
Доказательство теоремы

 Доказательство.

Рассмотрим точки
в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим
координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все
члены, содержащие z1 или z2, равны 0, т.к. z1и z2 = 0.  УБРАТЬ!!!

Итак,
следовательно,

2.3. Проверка правильности формулы на примерах

Найти площадь
треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2}
и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем
векторное произведение этих векторов:

a × b=	i	j	k	=
-1	2	-2
2	1	-1

= i(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

=

 i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) =
-5j — 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =	1	|a × b| =	1	√02 + 52 + 52 =	1	√25 + 25 =	1	√50 =	5√2
2	2	2	2	2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Заключение

2.4. Приложения векторной алгебры

и скалярного и векторного произведения векторов.

Где же нужны векторы? Векторное
пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют
вполне реальное практическое применение в современном мире.

В механике и физике многие величины
имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются
векторными. Вместе с использованием элементарных механических  понятий,
опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие
векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в
теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов.
Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила
(рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются
с помощью векторов.

В физике важны не только сами вектора,
но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять
некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения
коллинеарности векторов ‑ модуль векторного произведения двух векторов равен
произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если
векторы сонаправленны или противоположно направленны.

Еще один пример: скалярное
произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле,
где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

Одним из примеров использования
произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора,
проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

Многое
из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным
произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

Стоит
еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются
возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает
пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул
для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства
большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить
визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях
науки и промышленности.

В то же время результатом
векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является
не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и
длиной.

Направление результирующего
вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых
удивительных положений аналитической геометрии.

Векторное произведение векторов
может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма
по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы,
доказательством теоремы и решением практических задач.

Векторы широко используются в
физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть
представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

Список использованных источников

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б.
и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2013.  383 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и
др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций:
базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2013. 255 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая
математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

????Клетеник Д.В. Сборник задач по
аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

Аналитическая геометрия.

http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_32.htm

Математика. Клевер.

http://www.cleverstudents.ru/vectors/vector_product_of_vectors.html

——Изучение математики онлайн.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Сайт В. Глазнева.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

——Википедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($vec{a}={x_1; y_1; z_1}$ и $vec{b}= {x_2; y_2; z_2}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$[a times b] = {y_1 cdot z_2 – y_2 cdot z_1; z_1 cdot x_2 – z_2 cdot x_1; x_2 cdot y_2 – x_2 cdot y_1}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$[ab] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a cdot b cdot sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $vec{a}$ и $vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.

«Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах» 👇

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Пусть заданы два вектора $ overline{a} = alpha_1 overline{p} + alpha_2 overline{q} $ и $ overline{b} = beta_1 overline{p} + beta_2 overline{q} $, синус угла между ними $ sin varphi $ и длины векторов $ |overline{p}|, |overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:

$$ S = Big | [overline{a}, overline{b}] Big | = |alpha_1 beta_2 — alpha_2 beta_1| cdot |overline{p}| cdot |overline{q}| cdot sin varphi $$

Примеры решений

Пример 1

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+3overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p} — overline{q} $, длины которых равны $ |overline{p}|=2, |overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ varphi = frac{pi}{6} $

Решение

Вычисляем векторное произведение векторов: $$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+3overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$ Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых: $$ = 2[overline{p},overline{p}] — [overline{p},overline{q}] + 6 [overline{q},overline{p}] — 3[overline{q}, overline{q}] = $$ Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [overline{p},overline{p}]=0, [overline{q},overline{q}]=0 $, $ [overline{q},overline{p}]=-[overline{p},overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения: $$ = 2 cdot 0 — [overline{p},overline{q}] — 6 [overline{p},overline{q}] — 3 cdot 0 = -7 [overline{p},overline{q}] $$ Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними: $$ S = |-7 [overline{p},overline{q}] | = 7 |overline{p}| |overline{q}| sin frac{pi}{6} = 7 cdot 2 cdot 1 cdot frac{1}{2} = 7 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ S = 7 $$

Пример 2

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p}-overline{q} $, если известны их длины $ |overline{p}| = 2 $, $ |overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ varphi = frac{pi}{3} $

Решение

Вычисляем векторное произведение: $$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$ Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы: $$ = 2[overline{p},overline{p}] — [overline{p},overline{q}] + 2 [overline{q},overline{p}]-[overline{q},overline{q}] = $$ $$ = 2 cdot 0 — [overline{p},overline{q}] — 2[overline{p},overline{q}]-0 = -3 [overline{p},overline{q}] $$ Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи: $$ S = | [overline{a},overline{b}]| = |-3 [overline{p},overline{q}]| = 3cdot |overline{p}| |overline{q}| sin varphi = $$ $$ = 3 cdot 2 cdot 3 sin frac{pi}{3} =18 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 9sqrt{3} $$

Ответ

$$ S = 9sqrt{3} $$