Как найти площадь четырехугольника по вершинам координат

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Знаете ответ?

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Условие задачи

Найти площадь четырехугольника ABCD, если его вершины имеют координаты A(1;1), B(-3;2), C(3;1)и D(2;-2).

Решение

Проще всего найти площадь ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ACD. Основание этих треугольников AC=2, а высоты соответственно 1 и 3. Площадь ABCD равна 1+3=4.

Проверьте, что вы соединили вершины четырехугольника по порядку: ABCD.

Ответ:

4.