Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.
Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:
Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.
Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:
На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.
Площадь четырехугольника по сторонам
Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:
Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:
используем найденное значение для расчета площади:
Площадь четырехугольника, заданного координатами
Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.
Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A(2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).
Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).
Эту задачу можно назвать разновидностью задачи р площади фигуры в клетках. А клетки можно представить себе или даже нарисовать. Дорисуем фигуру в клетках до квадрата сторонами 8 на 8. Дальше решение стандартное: находим общую площадь (8*8 = 64), разбиваем незакрашенную часть на прямоугольные треугольники и прямоугольник, вычисляем площади и вычитаем и общей площади.
Итак, вокруг закрашенной фигуры выделяем 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 2 и 4 и два прямоугольника (большой со сторонами 2 и 8 и маленький 2 и 6). Площади треугольников 2*4/2=4, площади прямоугольников 2*8=16 и 2*6=12, их суммарная площадь 4*4+16+12 = 44. Вычитаем из 64 эту сумму и получим ответ: 20. Конечно есть и другие способы решения, но данный метод достаточно универсальный (годится и для параллелограммов, и для трапеций), да и запомнить надо только одтн метод, так как задачи в клетках все равно будут.
система выбрала этот ответ лучшим
Master-Margarita
[135K]
3 года назад
Можно вычислить площадь большого квадрата, в который вписан наш искомый квадрат.
Сторона этого квадрата составляет 6 см (8-2=6).
Площадь квадрата вычисляется по формуле:
Отсюда, площадь большого квадрата: S=6*6=36 кв.см.
Из нее надо вычесть площадь квадрата со стороной 4 см. Так как из четырех треугольников можно сложить один квадрат. S=4*4=16.
Теперь осталось лишь найти разницу: 36-16=20 кв.см.
Ответ: 20 кв.см.
Vasil Stryzhak
[11.5K]
3 года назад
Площадь можно вычислить по формуле Пика для многоугольника с целочисленными вершинами.
S = a + b/2 – 1 = 4 +4/2 – 1 = 5,
где а — количество точек внутри многоугольника (красных), а b — количество точек на границе многоугольника (синих). Так как площадь клетки в 4 раза больше единичной, то площадь четырехугольника
5*4 = 20.
В качестве другого варианта, воспользуемся «формулой шнурков» (Гаусса). Построим матрицу из чисел координат. Соединим числа косыми отрезками.
S = (4*4 + 8*8 + 6*6 + 2*2 – 8*2 – 6*4 – 2*8 – 4*6)/2 = 20.
Никольский
[12.8K]
более года назад
Закрашенная фигура состоит из четырех прямоугольных треугольников с катетами 4 и 2
и квадрата со стороной 2.
Находим площади этих фигур.
Сумма площадей прямоугольных треугольников:
4 * ((4 * 2)/2) = 16
Площадь квадрата:
2 * 2 = 4
Площадь закрашенной фигуры: 16 + 4 = 20.
Евгений трохов
[56.5K]
3 года назад
По координатам точек можно найти что каждая сторона четырехугольника равна корень из 20.Значит фигура по крайней мере ромб.
Но на самом деле это квадрат.
Это тоже можно при желании доказать.
Площадь квадрата равна :
20^(1/2) *20^(1/2)=20
Ответ-20
helpau
[3.4K]
3 года назад
1)Разбить на два треугольника,далее применить либо теорему синусов/косинусов,либо формулу Герона.
2)Формула площади Гаусса.
3)Какие-либо соображения из курса аналитической геометрии(в частности,площадь треугольника через определитель матрицы).
Знаете ответ?
Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.
Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже
При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке
должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.
Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.
Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.
Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.
Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости
Точки многоугольника
Точка | X | Y | ||
---|---|---|---|---|
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Условие задачи
Найти площадь четырехугольника ABCD, если его вершины имеют координаты A(1;1), B(-3;2), C(3;1)и D(2;-2).
Решение
Проще всего найти площадь ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ACD. Основание этих треугольников AC=2, а высоты соответственно 1 и 3. Площадь ABCD равна 1+3=4.
Проверьте, что вы соединили вершины четырехугольника по порядку: ABCD.
Ответ:
4.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Решение. Задание 3, Вариант 2» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.05.2023